在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性

1、1 1.71.7在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性 本节研究的是在质点系在一个特殊而重要的势力场中的平衡问题. 2 如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能为各质点坐标的函数，其势能函数为有势力在直角坐标轴上的投影与势能的关系为因此主动力在虚位移上所做的元功之和可写成 111222, ;,;.;,nnnVV x y z x y zx y zi,iiiiiVVVXYZxyz iiiiiiiiWF rXxYyZziiiiiiVVVxyzxyz V 3 这样,虚位移原理可以表示成更简单的形式 该式表明,当主动力都是有势力时当主动力都是有势力时, ,具

2、有理想约束的具有理想约束的 质点系平衡质点系平衡的必要和充分条件为的必要和充分条件为, ,质点系的势能在平衡位置的一阶变分为零质点系的势能在平衡位置的一阶变分为零. . 如果用广义坐标 来表示质点系的位置，则势能可以写成广义坐标的函数 按照式（1-19），广义力可写成0V12112, .,Nqqq12,.,NVVqqqiiiikiikkkxyzQXYZqqqiiiikikikxyzVVVxqyqzq kVq 4由式（1-18）知 该式表明，当主动力都是有势力时，具有理想约束的质点系当主动力都是有势力时，具有理想约束的质点系平衡的必要和充分条件为，质点系的势能对每个广义坐标的偏导数平衡的必要和充

3、分条件为，质点系的势能对每个广义坐标的偏导数都等于零。都等于零。 式（1-21）和式（1-22）是势力场中两种不同表达形式的虚功方程，它们也都说明，求解在势力场中的质点系的平衡问题可归为如何写出系统的势能函数的问题。0kkVQq 1 ,2,.,kN122（）5例1-9长为l的均质杆两端分别与A,B两轮连接，如图1-19所示。两轮分别沿铅直墙面和水平 面作只滚不滑运动。杆的A端同一铅直固定弹簧相连。已知杆重为P，两轮重量不计，弹簧的刚度系数为k，弹簧在=0时未被拉伸，求系统平衡位置。解 系统受有势力重力P和弹性力F作用，取弹簧未伸长时自由端为系统的零势能位置。6 用两种方法求解： （1）用在势力

4、场中质点系的平衡条件V=0解。首先，=0时，系统处于平衡，平衡位置如图中虚线所示。建立坐标系，求系统的另一平衡位置。设杆的A端（也即弹簧自由端）的坐标为（x，0），则系统的势能函数为PV =-P22lxlx21-P222PFlxlVVVxkx212FVkx重力势能弹性势能总势能由 得系统的另一平衡位置为V02Pkx ,02PxyK7cos22PllVP x 212FVkx（2）用在势力场中质点系的平衡条件 解.系统有一个自由度,选取角为广义坐标.由于其中，则因只有一个自变量，故cosxll 2211 cos1 cos22PFPlVVVkl 2sin1 cossin2VdVPlkld 21 co

5、ssin02Plkl 821 cos02Plklarccos 12pkl由sin=0得系统的第一个平衡位置为=0；由 得 系统的第二个平衡位置为例例1-101-10 重量为P的平台,用三组相同的弹簧等距离支撑,如图1-20(a)所示.每组弹簧的刚度系数为k,平台长为2l.台面中点为D,如果台面重心有一个偏心距e,试求台面的平衡位置.9解 这是一个二自由度系统.图中O-O为三组弹簧未变形时平台的水平位置,选D点的铅直坐标y和平台对水平线的转角为广义坐标. 将系统的势能表示为广义坐标的函数.以O-O作为系统的零势能位置,以 , , 分别表示A,B,C三点的位移，则系统的势能为将 , , 表示为y和

6、的函数则系统的势能可写成 系统的平衡条件为见式(1-22)(k=1,2)1y2y3y222312111222VPykykyky 1y2y3y123,yylyylyye222111222VP yek ylkyk yl 1000VPk ylkyk ylyVPekl ylkl yl 化简得23020PkyPekl2,32PPeykkl于是得平台的平衡位置为11在势力场中我们可以通过平衡条件确定质点系是否处于平衡及平衡时的位置,而满足平衡条件的质点系可能处于不同的平衡状态,也就是说稳定性不同. 例如图1-21所示A球在一个凹曲面的最低点处于平衡，当受一扰动而偏离平衡位置后，在重力（有势力）作用下，仍回

7、到原来的平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡稳定平衡. .B球在一个凸曲面的顶点上平衡,在受一扰动而偏离平衡位置后,在重力作用下会滚动,不再返回到原来的平衡位置,这种平衡状态称为不稳定平衡不稳定平衡. .C球在一水平平面上平衡,当偏离初平衡位置后,即在新的位置上平衡这种平衡状态称为随遇平衡随遇平衡. .随遇平衡是不稳定平衡中的特殊情况.12 对于上例的三种平衡状态推广到一般情况做如下解释:根据势力场的 性质,有势力是指向势能减小的方向,在稳定平衡位置处,系统受扰动而移动到任何位置,其势能均高于平衡位置处的势能.因此系统在有势力作用下由高势能位置回到低势能位置.系统势能在稳定平衡的平衡位置处有极小

8、值.同样可以知道,在不稳定平衡的平衡位置处,势能有极大值.而随遇平衡时,系统的势能是不变的.对于一个自由度系统,系统具有一个自由度,其势能函数为 由式(1-22)知,平衡时势能有极值,即 设由此式求出的平衡位置为q=当 时, 为极小值,平衡是稳定的 (1-23)当 时, 为极大值,平衡是不稳定的 (1-24) VV q0dVdq0q0220q qd Vdq0220q qd Vdq0q qV0q qV13 对于两个自由度系统,设 为它的广义坐标,其势能函数为由式(1-22)知,系统的平衡条件为 当系统的稳定平衡条件为 时,势能函数有极值.又当 或 时,函数有极小值,系统是稳定平衡;而当 或 时,

9、函数有极大值,系统是不稳定平衡。12q q1,2VVq q120,0VVqq22222212120VVVqqq q 2210Vq2210Vq2220Vq2220Vq14例1-11在例1-9中，若设杆长l=0.6m，杆P=100N，弹簧的刚性系数k=200N/m，试讨论系统平衡的稳定性。解由例1-9得第二种解法得知得系统的平衡位置为势能函数V的二阶导数为 2sin1 cossin02dVPlkld 0100arccos 1arccos 154.322 200 0.6pkl和222coscoscos22d VPlkld 15将 和 分别代入上式，得 =-302r时，物块的平衡是不稳定平衡。054.32220100 0.6cos0200 0.6cos0cos02d Vd 2254.3=47.250d Vd054.3162解解 选图示过点O的水平线为零势能位置。本系统为一个自由度系统，设物块从平衡位置发生一角的小偏转，并取它为广义坐标。其势能为其中V = P ycossin2hyrr17代入上式得以广义坐标表示的势能