专题——圆锥曲线定值问题

1、高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值.具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值.基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.2、把

2、相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关.题型示例一.证明某一代数式为定值：1、如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且 MA=MB.F,A、B 是抛物线上的两动点，且 AF=入 FBB 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.证明 FM-AB 为定值解：由已知条件，得 F(O,1),XO.设 A(x1，巾)，B(x2,y2),由 AF=入 FB,即得(一 x1，1y)=?(x2,y21),所以-x1=入 21y1=近 21)若 M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值;解：设 M（y；心）,直线ME 的斜率为k（l0）,直

3、线 MF 的斜率为k,直线ME 方程为yyok(xy2).，由yok(xyo)yo(ikyo)o解得yF1kyoXF2(1kyo)k2同理1ky1ky2kyo1ky。yEyFXEXF2(1kyo)2(1kyo)k2所以直线 EF 的斜率为定值k22k4kyo丁2yo（定彳 t）利用消元法2、已知抛物线 x2=4y 的焦点为1c1,将式两边平方并把 y1=4x12,y2=4x22代入得 y1=方 y2区1斛、式信Vl=NV2=R且有X1X2=入22=4入3=4,11抛物线万程为丫;彳/,求导得 y=/x.所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是1,、，1112.112y=那1仅一 x1)+y

4、，y=x2(xx2)+y2,即 y=2x1x4x1,yx2x4x2.解析几何中的定值问题是数学中的重要问题， 求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。.证明动直线过定点或动点在定直线上问题224、如图，椭圆 xy41的两焦点F1,F2与短轴两端点B1，B2构成B2F1B1为1200，面ab积为2J3的菱形。（1）求椭圆的方程；（2）若直线l:ykxm与椭圆相交于M、N两点（M、N不是左右顶点，且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.解出两条切线的交点 M 的坐标为（x1+x2xx2x1+x2二.

5、一/1+x2一，所以 FMAB=(2,2)(x2x1,所以 FMAB 为定值，其值为 0.利用不变因素22xy3、已知椭圆1ab0的离心率为e直线lab:yexa与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与该椭圆的一个公共点求证:也为定值。AB解：设AMAB,由题意得A-,0e,B0,aoy2xaex2yb2a，得1,cb2b2c,aAMAB,b2a,a，即eeb22,2ab,1e2且1八为AM0,故AB2一e为定值。利用辅助元y2yi)=-4xi2)=。22解：易得椭圆的方程为匕143ykxm由x2y2，消去y得到4334k2x28kmx4m2120,直线l与椭圆有两个交点，0,即_2_2_2

6、2_48k12m36124km300,而ykxm,V2kx?m代入并整得221kxxx2km2m402/CC,/,24m128km21k厂2km2m4,化简整理得到34k234k22227m16km4k0,m2k7m2k0,m2k或mk72m2k,mk均满足判别式大于0,所以7当m2k时，l:ykx2kkx2,此时，直线过定点2,0当m2k时，l：ykx-kkx2，此时，直线过定点2,07777三.探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆 M,恒过点 F(1,0),且总与直线 l:x1 相切，(I)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程；(n)探究在曲线 C 上，是否存在异于原点的A(

7、x1,y1),B(x2,y2)两点，当y1y216时,直线 AB 恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由.解：(1)因为动圆 M,过点 F(1,0)且与直线l：x1相切，所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线l的距离。所以，点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l为准线的抛物线，且 E1,p2_2_22_8km434k4m12设 Mx1，y1,Nx2,y2,则有xx28km2，x1x234k4m21234k2因为以MN为直径的圆过椭圆右顶点A,所以AMAN0,即x12,yx22,y22所以所求的轨迹方程为y24x(2)假设存在 A,B 在y24x上，所以，直线 AB 的方程：yy1y2y

8、1(xX1)，X2Xi22即yyiy2yi2(x幺)即 AB 的方程为：yyi-(x4),幺4yiy247T.22ly2)yyiyiy24xyi即：(yi令y0,得x4,所以，无论y1，y2为何值，直线 AB 过定点(4,0)练兵场22i、点 P 是椭圆三4i(ab0)上任一点，A、B 是该椭圆上关于原点对称的两点,ab那么kpAkpB是否为定值?思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立?2ii口一，一2、过抛物线y2Px的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD,判断是否为定IAB|CD|值，若是定值，求出该定值。，一，i2,一3、已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y-x的焦点,4离心率等于 2505(1)求椭圆 C 的标准方程(2)过椭圆的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若UL1TuuurUJITuurMAiAF,MB2BF,求证12为定值。224、已知椭圆1当i(ab0)的两个焦点分别为Fi(i,0),F2(i,0),点 P 在椭圆上，ab且满