11-12学年高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修2-2

1、 23数学归纳法数学归纳法 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤 本节重点：数学归纳法的原理及步骤 本节难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧 在应用数学归纳法的过程中： 第步，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等 第步，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法 这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的 另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设nk(kn0)时结论成立，括号内限制条件改为kn0就错了 用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明

2、恒等式和不等式中，n1时究竟有几项，从nk到nk1的过渡到底项有哪些变化，添了几项，减了几项 1数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (归纳奠基)证明当n取时命题成立 (归纳递推)假设第一个值n0(n0N*)nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立 2应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题 (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可正整数n 点评证明过程的关键是第二步由nk到nk1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形 分析按照数学归纳法的步骤证明，在由nk到nk1的推证过程中应

3、用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一 点评用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式 例3求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR. 分析证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决 证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立 (2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1

4、)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题也成立 由(1)，(2)知，对一切nN*，命题都成立 点评对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除在推证nk1时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧：a(a1)2k1a(a1)2k1.另外，在推证nk1命题也成立时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则ak1(a1)2k1(a2a1)q(a)(q(a)为多项式)， 所以(a1)2k1(a2a1)q(a)ak1， 所以nk1时，a

5、k2(a1)2k1 ak2(a1)2(a1)2k1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)ak1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)(a1)2ak1 (a1)2(a2a1)q(a)ak1(a2a1)， 显然能被a2a1整除，即nk1时，命题亦成立 求证：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除 证明(1)显然，当n1时，命题成立，即x1y1能被xy整除 (2)假设当n2k1(kN*)时命题成立，即(xy)能整除x2k1y2k1则当n2k1时， x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1 x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1 xy能整除(x2k1y2k1) 又xy能

6、整除(xy)(xy)y2k1 (xy)能整除(x2k1y2k1) 由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xnyn能被xy整除. 例4平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2n2(nN*)个区域 分析本题关键是弄清第k1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的 证明(1)当n1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立 (2)假设当nk(kN*)时命题成立，即k个圆将平面分成k2k2个区域则当nk1时，第k1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k1个圆分成2k段弧，每段弧将

7、各自所经过的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k1个圆将平面分成k2k22k个区域，即(k1)2(k1)2个区域，故当nk1时，命题也成立 由(1)、(2)可知，对一切nN*，命题都成立 点评用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 例5是否存在常数a，b，c使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明

8、你的结论 分析先取n1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对一切的nN*，a，b，c所确定的等式都成立 点评本题是探索性命题，它通过观察归纳猜想证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力 已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)， (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式； (2)用数学归纳法证明an的通项公式 解析(1)a2S1a15， a3S2a1a210， a4S3a1a2a3551020， 猜想an52n2(n2，nN*) 一、选择题 1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是() A1B13 C123 D1234 答案C 解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C. 答案D 答案B 答案1234 解析当n1时，n34， 所以等式左边为1234. 5用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345n(n1)(n2)(n3)，从nk到nk1左边需增