高三数学第二轮专题复习(1)集合与简易逻辑

1、高考数学第二轮专题复习系列(1)集合与简易逻辑一、【重点知识结构】二、【高考要求】1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.2. 理解|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关

2、集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.三、【高考热点分析】集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.四、【高考复习建议】概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交

3、、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.五、【例题】例1：设x,yR,A=a|a=x2-3x+1,B=b|b=y2+3y+1，求集合A与B之间的关系。 3555解：由a=x2-3x+1=(x-)2-，得A=x|x- 2444355b=y2+3y+1=(y+)2- 244A=B例2：已知集合A=x|x2-3x-100，集合B=x|p+1x2p-1，若BA，求实数p的取值范围。解：若B=时，p+1>2p-1p<2p+12p-1 若B时，则-2p+12p32p

4、-15综上得知：p3时，BA。例3：已知集合A=(x,y)|y-3=a+1，集合B=(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=30。如果x-2A B=，试求实数a的值。解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B； 当a=1时，B=，AB=当a=1时，集合B为直线y=15，AB= 当a±1时，集合A：y-3=(a+1)(x-2)，(2,3)A，只有(2,3)B才满足条件。 故(a2-1)2+(a-1)3=30；解得：a=5或a= a=1或a=7或a=1或a=5。 27 2例4：若集合A=3-2x,1,3，B=1,x2，且A B=3-2x,1,3，求实数x。 解：由题设知A B=A，BA，

5、故x2=3或x2=3-2x 即x=±或x=1或x=-3，但当x=1时，3-2x=1不满足集合A的条件。 实数x的值为-3或±。例5：已知集合A=x|10+3x-x20，B=x|x2-2x+2m<0，若A B=B，求实数m的值。 解：不难求出A=x|-2x5，由A B=BBA，又x2-2x+2m<0，=4-8m 若4-8m0，即m1，则B=A 2若4-8m>0，即m<1，B=x|1-2m<x<1+-2m， 211-2m-2 -4m< 21+-2m5故由知：m的取值范围是m-4,+)注：不要忽略空集是任何集合的子集。例6：已知集合A=x

6、|x2-ax+a2-19=0，B=x|log2(x2-5x+8)=1，C=x|x2+2x-8=0， 若A B与A C=同时成立，求实数a的值。解：易求得B=2,3，C=2,-4，由A B知A与B的交集为非空集。故2，3两数中至少有一适合方程x2-ax+a2-19=0又A C=，2A，即9-3a+a2-19=0得，a=5或a=2当a=5时，A=2,3，于是A C=2，故a=5舍去。当a=2时，A=2,5，于是A B=3，a=2。22，A=x|x-3x+2=0B=x|2x-ax+2=0，AB=A，求a的取值构成的集合。 例7：解：AB=A，BA，当B=时a2-16<0，-4<a<

7、4，A=x|x2-3x+2=0=1,2，当1B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B=1，当2B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时B=,2A，a=5舍去，-4<a4。例8：已知A=x|x2-3x+2=0，B=x|ax-2=0且AB=A，求实数a组成的集合C。 解：由A=1，2，由AB=A，即BA，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。另外显然有当a=0时，B= 也符合。所以C=0，1，2。例9：某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；（4）不乘

8、车的人数；（5）只乘一种车的人数。解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。例10：（2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于x的不等式且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，2x2+(3a-7)x+(3+a-2a2)<0的解集，并用a表示出该不等式的解集.3 12解：原不等式即(2x-a-1)(x+2a-3)<0，由x=0适合不等式故得(a

9、+1)(2a-3)>0，所以a<-1，或a>若a<-1，则-2a+3-3. 2a+1a+15=(-a+1)>5，3-2a>， 222a+1<x<3-2a； 此时不等式的解集是x|2a+13a+155=(-a+1)<-，3-2a<若a>，由-2a+3-， 22224a+1. 此时不等式的解集是x|3-2a<x<2例11：（2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知a>1，设命题P:a(x-2)+1>0，命题Q:(x-1)2>a(x-2)+1.试寻求使得P、Q都是真命题的x的集合.解：设A=x|a(x-

10、2)+1>0，B=x|(x-1)2>a(x-2)+1，依题意，求使得P、Q都是真命题的x的集合即是求集合A B， 11x>2-a(x-2)+1>0x>2- aa2(x-1)>a(x-2)+1x2-(2+a)x+2a>0(x-a)(x-2)>01x>2-若1<a<2时，则有， ax>2或x<a而a-(2-111)=a+-2>0，所以a>2-， aaa1<x<a； a即当1<a<2时使P、Q都是真命题的xx|x>2或2-当a=2时易得使P、Q都是真命题的xx|x>3,且x2

11、； 21x>2-若a>2，则有， ax>a或x<2此时使得P、Q都是真命题的xx|x>a或2-1<x<2 a综合略.例12：（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件p:|5x-1|>a和条件q:1>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命22x-3x+1题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a，

12、也能先猜后证，所找到的实数a只需满足1+a1-a11即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于，且552四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件p即5x-1<-a，或5x-1>a，x<已知条件q即2x2-3x+1>0，x<令a=4，则p即x<-1-a1+a，或x>， 551，或x>1； 23，或x>1，此时必有pq成立，反之不然. 5故可以选取的一个实数是a=4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为

13、假命题.例13：已知p:|1-x-1|2，q:x2-2x+1-m20(m>0)；¬p是¬q的必要不充分条件，3求实数m的取值范围. 解：由|1-x-1得-2x10， |2，3由x2-2x+1-m20(m>0)，得1-mx1+m(m>0)，¬p即x<-2，或x>10，而¬q即x<1-m，或x>1+m(m>0)；由¬p是¬q的必要不充分条件，知¬q¬p，设A=x|x<-2，或x>10，B=x|x<1-m，或x>1+m(m>0)，1-m-1，则

14、有AB，故1+m10，且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号， m>0，解得0<m3，此即为“¬p是¬q的必要不充分条件”时实数m的取值范围.例14:（2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数f(x)=logax，其中aa|20<12a-a2.（1）判断函数f(x)=logax的增减性；（2）（文）若命题p:|f(x)|<1-f(2x)为真命题，求实数x的取值范围.（2）（理）若命题p:|f(x)|<1-|f(2x)|为真命题，求实数x的取值范围.22解：（1）aa|20<12a-a，a-12a+20<0，即2<

15、a<10，函数y=logax是增函数；（2）（文）|f(x)|<1-f(2x)即|loga当0<x<1，logax|+loga2x<1，必有x>0， x<0，不等式化为-logax+loga2x<1，loga2<1，这显然成立，此时0<x<1；当x1时，logax0，不等式化为logax+loga2x<1，aa，此时1x<； 22loga2x<1，故x<综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是x|0<x<（2）（理）|f(x)|<1-|f(2x)|即|loga当0<x<a

16、. 2x|+|loga2x|<1，必有x>0， 1时，loga4x<loga2x<0，不等式化为-logax-loga2x<1，111<x<； ，此时2a2a4-loga2x<1，故loga2x>-1，x>当1x<1时，loga4x<0<loga2x，不等式化为-logax+loga2x<1，1x<1； 4loga2<1，这显然成立，此时当x1时，0logaloga2x<1，故x<x<loga2x，不等式化为logax+loga2x<1， aa，此时1x<； 221a&

17、lt;x<. 2a2综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是x|六、【专题练习】一、选择题1已知I为全集，集合M、NI，若MN=M，则有：（D）AM(CuN) BM(CuN) C(CuM)(CuN) D(CuM)(CuN)2若非空集合A、B适合关系AB，I是全集，下列集合为空集的是：（D）AA B B(CuA) (CuB) C (CUA) B DA (CUB)3已知集合A=0，1，2，3，4，B=0，2，4，8，那么AB子集的个数是：（C）A6个 B7个 C8个 D9个4满足aXa,b,c的集合X的个数有 （ B ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55已知集合I、P、Q适合I=P

18、 Q=1，2，3，4，5，P Q=1，2则（P Q） （CuP CuQ）为（ C ）（A）1，2，3 （B）2，3，4 （C）3，4，5 （D）1，4，5 66已知I为全集·集合M，N是I的子集M N=N，则 （ B ）（A）(CuM)(CuN) （B）(CuM)(CuN) （C）M(CuN) （D）M(CuN)7设P=x| x-2,Q=x | x3，则P Q等于 （ D ）（A） （B）R （C）P （D）Q8设集合E=n|n=2k , kZ，F=n|n=4k , kZ，则E、F的关系是 （ B ）（A）EF （B）EF （C）E=F （D）E F=9已知集合M=x|-2<x

19、<2，N= x | x -1|2，则M N等于 （ B ）（A）x|-2<x3 （B）x|-1x<2（C）x|-2<x-1 （D）x|2<x310已知集合I=R，集合M= x | x =系是 （ B ）（A）M P= （B）(CUM) P= （C）M (CUP)= （D）(CUM) (CUP)=11已知集合A=y|y=2x, x R,B=y|y=x2 x R,则A B等于 （ C ）（A）2，4 （B）（2，4），（4，16）（C） y|y 0 （D） x| x<012设全集I=R，集合P=x|(x+4)(2-x)<0，集合Q= x | x+4>

20、0，则 （ D ）（A）P Q= （B）P Q=R（C）(CUP) Q=(CUP) （D）(CUP) (CUQ)=-4二、解答题1、设A=x|4x-x2>ax，B=x|0<x<1；若AB，求实数a的取值范围。 解：由图象法解得：当a>0时，A=x|0<x<4212n，nN，P= x | x =14n，nN，则M与P的关1+a当a0时，A=x|0<x<4 ； ox 要使得AB，必须且只须41+a21，解得a112、已知A=x| |x-(a+1)2|(a-1)2，22B=x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)0。若AB，求实数a的取值范围。解：易得

21、A=x|2axa2+1，由x2-3(a+1)x+2(3a+1)0得(x-2)x-(3a+1)0 当3a+1>2，即a>1时，B=x|2x3a+1 32a2 要使AB，必须21a3， a+13a+1当3a+1=2，即a=当3a+1<2，即a<1时，B=2；要使AB，a=1 31时，B=3a+1x2 32a3a+1 要使AB，必须2a=-1 a+12综上知：a=-1或a1,323、已知集合A=y|y=x2+2mx+4,xR，B=x|log3x+log1x0，且A B，求实数m3的值。解：B=x|1x3，A=x|x4-m2，由4-m2<3得：m(-,-1 1,+)4、已

22、知集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0，B=y|y=A B，求实数a的取值范围。 125x-x+,0x3；若22解：B=x|2x4，由y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0得：(y-a)(y-a2-1)>0因为a2+1>a，所以A=x|x>a2+1或x<a。由A B得：a2+1<4 或a>2所以a(-,) (2,+)5、已知集合A=x|x2+px+q=0，B=x|qx2+px+1=0同时满足A B，A CuB=-2，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。解：条件是说集合A、B有相同的元素，条件是说-2A但-2B，A、B是两个方程