同济大学_高等数学公式大全

1、高等数学公式高等数学公式导数公式：(tgx)¢=sec2x(ctgx)¢=-csc2x(secx)¢=secx×tgx(cscx)¢=-cscx×ctgx(ax)¢=axlna1(logax)¢=xlna基本积分表：三角函数的有理式积分： (arcsinx)¢=1-x21(arccosx)¢=-x21(arctgx)¢=1+x21(arcctgx)¢=-1+x2òtgxdx=-lncosx+Còctgxdx=lnsinx+Còsecxdx=lns

2、ecx+tgx+Còcscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+Còa2+x2aadx1x-a=lnòx2-a22ax+a+Cdx1a+x=lnòa2-x22aa-x+Cdxx=arcsin+Còa2-x2ap2ndx2òcos2x=òsecxdx=tgx+Cdx2òsin2x=òcscxdx=-ctgx+Còsecx×tgxdx=secx+Còcscx×ctgxdx=-cscx+Caxòadx=lna+Cxòshxdx=chx

3、+Còchxdx=shx+Còdxx2±a2=ln(x+x2±a2)+Cp2In=òsinxdx=òcosnxdx=00n-1In-2nòòòx2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22xa2x2222a-xdx=a-x+arcsin+C22a222u1-u2x2dusinx=，cosx=，u=tg，dx=21+u21+u21+u21 / 12高等数学公式一些初等函数： 两个重要极限：ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双

4、曲余弦:chx=shxex-e-x双曲正切:thx=chxex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： ·诱导公式：limsinx=1x®0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045.x®¥x·和差角公式： ·和差化积公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosbmsinasinbtg(a±b)=tga±tgb1mtga×t

5、gbctga×ctgbm1ctg(a±b)=ctgb±ctgasina+sinb=2sina+b22a+ba-bsina-sinb=2cossin22a+ba-bcosa+cosb=2coscos22a+ba-bcosa-cosb=2sinsin22cosa-b2 / 12高等数学公式 ·倍角公式：sin2=2sincoscos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2ctg2-1ctg2=2ctg2tgtg2=1-tg2·半角公式： sin3=3sin-4sin3cos3=4cos3-3cos3tg-tg3tg3=1-3tg2si

6、ntg2=±=±-cos+coscos=±2221-cos1-cossin+cos1+cossin=ctg=±=1+cossin1+cos21-cossin1-cosabc=2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinCx=2 ·正弦定理： ·反三角函数性质：arcsin2-arccosxarctgx=2-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v'+中值定理与导数应用： n(n-1)(n-2

7、)n(n-1) (n-k+1)(n-k)(k)uv''+ +uv+ +uv(n)2!k!拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'()(b-a)f(b)-f(a)f'()=F(b)-F(a)F'()曲率： 当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=+y'2dx,其中y'=tg平均曲率：K=:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；s：MM'弧长。sy''d M点的曲率：K=lim=.s0sds(1+y'2)31.a3 / 12直线：K=0;半径为a的圆：K=高等数学公式 定

8、积分的近似计算：b矩形法：f(x)abb-a(y0+y1+ +yn-1)nb-a1(y0+yn)+y1+ +yn-1n2b-a(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +yn-1)3n 梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=pAmm引力：F=k122,k为引力系数 rb1函数的平均值：y=f(x)dxb-aa1f2(t)dtb-aa空间解析几何和向量代数：b空间2点的距离：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上的投影：Prju=cos,是u轴的夹角。Prju(a1+a2)=Prja1+P

9、rja2 ab=abcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos=i c=ab=axbxjaybyaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222k az,c=absin.例：线速度：v=wr.bzaybycyaz bz=abccos,为锐角时， czax 向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。4 / 12高等数学公式 平面的方程：1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3+=1abc平面外任意一点到该平

10、面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2x=x0+mtx-xy-y0z-z0 0=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z212+2+2=1abcx2y22+=z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z22+2-2=1abcx2y2z22-2+2=（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用全微分：dz=zzuuudx+dydu=dx+dy+dzxyxyz全微分的近似计算：zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=

11、+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)=0=-2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)=0=-=-xFzyFz5 / 12高等数学公式FF(x,y,u,v)=0(F,G)u隐函数方程组：J=GG(x,y,u,v)=0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)=-=-xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)=-=-yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用： Fv=FuGGuvFvGvx=(t)x-xy-y0z-z0

12、空间曲线y=(t)在点M(x0,y0,z0)0=''(t)(t)'(t0)00z=(t)在点M处的法平面方程：'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)=0 FyFzFzFxFxF(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T=,GGGxGGG(x,y,z)=0yzzx曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03=Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,

13、z0)方向导数与梯度： FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0fff函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l=cos+sinlxy其中为x轴到方向l的转角。f f i+jxy f 它与方向导数的关系是=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)

14、=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)为极大值2AC-B>0时，A>0,(x0,y0)为极小值2则：值AC-B<0时，无极AC-B2=0时,不确定6 / 12高等数学公式重积分及其应用：f(x,y)dxdy=f(rcos,rsin)rdrdDD'曲面z=f(x,y)的面积A=Dzz1+ + ydxdyx22=Mx=Mx(x,y)dD(x,y)dDD,=MyM=y(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=y2(x,y)d,对于y轴Iy=x2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a

15、),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fD(x,y)xd(x+y+a)2222Fy=f3D(x,y)yd(x+y+a)2222Fz=-fa3D(x,y)xd(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标：x=rcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=F(r,z)rdrddz,y=rsin,z=z其中：F(r,z)=f(rcos,rsin,z)x=rsincos2球面坐标：y=rsinsin，dv=rdrsinddr=rsindrddz=rcos2r(,)2F(r,)rsindr0f(x,y,z)dxdydz=F(r,)rsindrdd=dd2=1Mxdv,=1Mydv

16、,=1Mzdv，其中M=dv转动惯量：Ix=(y2+z2)dv，Iy=(x2+z2)dv，Iz=(x2+y2)dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x=(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y=(t)Lx=t22''f(x,y)ds=f(t),(t(t)+(t)dt(<)特殊情况：y=(t)7 / 12高等数学公式 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x=(t)设L的参数方程为，则：y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)'(t)+Q(t),(t)'(t)dtL两类曲线积分之间的关系：Pdx+Qdy

17、=L(Pcos+Qcos)ds，其中和分别为LL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：(-)dxdy=Pdx+Qdy格林公式：(-)dxdy=xyxyDLDQP当P=-y,Q=x-=2时，得到D的面积：A=xy·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：QP在时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)Pdx+QdyLdxdy=2xdy-ydxDL1QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y)=(x0,y

18、0)P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds=Dxyfx,y,z(x,y22+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy对坐标的曲面积分：，其中：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，取曲面的上侧时取正号；R(x,y,z)dxdy=±Rx,y,z(x,y)dxdyDxy，取曲面的前侧时取正号；P(x,y,z)dydz=±Px(y,z),y,zdydzDyz号。Q(x,y,z)dzdx=±Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系

19、：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)ds高斯公式：(PQR+)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度：PQR 散度：div=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若div<0,则为消失.xyz 通量：Ands=Ands=(Pcos+Qcos+Rcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdv=Ands8 / 12高等数学公式 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RQPRQP-)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy=Pdx+Qdy+RdzyzzxxycosyQcoszRdyd

20、zdzdxcos上式左端又可写成：=xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无=yzzxxyijk 旋度：rotA=xyzPQR 向量场A沿有向闭曲线Pdx+Qdy+Rdz=Atds常数项级数：1-qn等比数列：1+q+q+ +q=1-q(n+1)n 等差数列：1+2+3+ +n=2111调和级数：1+ +是发散的23n2n-1级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：<1时，级数收敛设：=limnun，则>1时，级数发散n=1时，不确定2、比值审敛法：<1时，级数收敛U设：=limn+1，则>1时，级数发散nUn=1时，不确定3、定义法：sn=u

21、1+u2+ +un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,un>0)的审敛法莱布尼兹定理： unun+1如果交错级数满足su1,其余项rnrnun+1。limu=0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：9 / 12高等数学公式(1)u1+u2+ +un+ ，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+ +un+如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(-1)n调和级数：n发散，而n1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp>1时收敛幂级数：1x&l

22、t;1时，收敛于1-x1+x+x2+x3+ +xn+ x1时，发散对于级数(3)a0+a1x+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定1 0时，R=求收敛半径的方法：设limnan+1=，其中an，an+1是(3)=0时，R=+an=+时，R=0函数展开成幂级数：f''(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)+ +(x-x0)n+ 2!n!f(n+1)() 余项：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰

23、勒级数的充要条件是：limRn=0n(n+1)!f''(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +x+ 2!n!一些函数展开成幂级数：m(m-1)2m(m-1) (m-n+1)nx+ +x+ (-1<x<1)2!n! 352n-1xxxsinx=x-+- +(-1)n-1+ (-<x<+)3!5!(2n-1)!(1+x)m=1+mx+欧拉公式：eix+e-ixcosx=2 eix=cosx+isinx或ix-ixsinx=e-e2三角级数：10 / 12高等数学公式a0+(ancosnx+bnsi

24、nnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x。f(t)=A0+Ansin(nt+n)= 正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在-,上的积分0。傅立叶级数：a0f(x)=+(ancosnx+bnsinnx)，周期=22n=11f(x)cosnxdx(n=0,1,2 )an=-其中b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )n-1121+2+2+ =8351112+ =24224262正弦级数：an=0，bn=余弦级数：bn=0，an=11121+2+2+2+ =623411121-2+2-2+ =122342 2f(x)sinnxdxn=1,2,3 f(x)=b0nsinnx是奇函数f(x)cosnxdxn=0,1,2 f(x)=0a0+ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：a0nxnxf(x)=+(ancos+bnsin)，周期=2l2lln=1l1nxdx(n=0,1,2