热力学与统计物理试题及答案

1、热力学与统计物理一 填空题（共40分）1N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（ Nr ）。系统的状态可以用（ 2Nr ）维空间中的一个代表点表示。2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为，则每一微观状态出现的概率为（ 1/ ），系统的熵为（ kln ）。3玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 fs 1。4玻色系统和费米系统在满足（ 经典极限条件(或e - <<1) 或e >>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。5给出内能变化的两个原因，其中（

2、）项描述传热，（ ）项描述做功。6对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（ 升高 ）；如果温度足够低，则会发生（ 玻色爱因斯坦凝聚 ）。这时系统的能量U0（0），压强p0（0），熵S0（0）。7已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为，粒子的平均能量为（2kTb2/4a ）。8当温度（ 很低 ）或粒子数密度（ 很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9如果系统的分布函数为s，系统在量子态s的能量为Es，用s和Es表示：系统的平均能量为（ ），能量涨落为（ ）（如写成也得分）。10与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数s具有特点（ ds / dt=0 或与时间

3、无关等同样的意思也得分 ），同时s也满足归一化条件。二计算证明题（每题10分，共60分）1假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，2， 3，。， 而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：（1）与总能量3相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（2）根据公式计算每种分布的微观态数；（3）确定各种分布的概率。解：能级： 1， 2， 3， 4， 能量值： 0， ， 2，3， 简并度： 1， 1， 1， 1， 分布数： a1, a2, a3, a4, 分布要满足的条件为： 满足上述条件的分布有：A： B： C： 各分布对应的微观态数为：所有分布总的微观态数为：各分布对应的概

4、率为：2表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。（1）求单粒子的配分函数Z1；（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到xdx， y到ydy内，动量在px到pxdpx， py到pydpy内的分子数dN；（3）写出分子按速度的分布；（4）写出分子按速率的分布。解：（1）单粒子的配分函数 （2） （3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为 （4）有（3）可得分子按速率的分布为：3定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级10，20，其中0大于零且为外参量y的函数。求：（1）温度为T时处于激发态的

5、粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（2）系统的内能和热容量；（3）极端高温和极端低温时系统的熵。解：（1）单粒子的配分函数为： 处于基态的粒子数为：处于激发态的粒子数为：温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：极端高温时：0kT，, 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；极端低温时：0kT，, 即粒子几乎全部处于基态。（2）系统的内能： 热容量：（3）极端高温时系统的熵： 极端低温时系统的熵：S=04对弱简并的非相对论费米气体，求：（1）粒子数分布的零级近似f0 与一级修正项f1；（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能

6、的相对修正量均正比于。解：费米气体分布函数为：（1） ，（2） 5金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，（1）简述：T0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势0的意义；（2）证明：T0K时电子的平均能量，简并压强；f10T=0K0（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。（1）0表示T0K时电子的最能量。电子从0的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。f = 1 ( < 0); f = 0 ( > 0)(2)(3)T>0K时: T>0K时，只有在附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，设这部分电子的数目为Neff， 则。每一电子对CV的贡献为3kT/2, 则金属中自由电子对Cv的贡献为晶格的热容量为Cv3Nk，6固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率i，内能的表达式为：，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。解：（1）爱因斯坦模型： N个分子