高中数学对数函数

1、当前形势新课标剖析对数函数函数概念与指数函数、对数函数、幕函数在近五年北京卷（理）中考查515分要求层次 内容A B高考对数函数的概念及其性质 要求指数函数y ax与对数函数y logaX互为反函数（a 0,且 a w 1）具体要求C通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的 数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数 函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计 算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数 函数的单调性与特殊点知道指数函数 y ax与对数函数y logaX互为 反函数（a 0且a w 1）北京局考解读2008 年第2题5分第13题5分2009 年第3题5分第13题5分2010年

2、（新课标）第6题5分第14题5分2011年（新课标） 2012年（新课标）第6题5分第8题5分第13题5分第14题5分在上节课我们已经讲了对数，而且我们也知道对数式其实是由指数式转换而来的，那对数函数是否就 是由指数函数转换而来的呢？什么是对数函数呢？对数函数的图象和性质又都是什么样的呢？今天我 们就来看一下对数函数：垃£7.1对数函数及其性质我们先来看一下对数函数的定义：考点1 ：对数函数的定义寸闻知识点睛对数函数：我们把函数 y logax（a 0且a 1）叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是（0 ,），值域为实数集 R .【教师备案】教材中是说：函数X logay a

3、 0, a 1, y 0叫做对数函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集 R”可知，在指数函数y ax和对数函数x logay中，x,y两个变 量之间的关系是一样的.所不同的只是在指数函数 y ax里，x作为自变量，y当做因 变量，而在对数函数 x logay中，y当做自变量，x是因变量，习，卜M上，常用 x表示 自变量，y表示因变量，因此对数函数又通常写成 y logax a 0, a 1 , x 0.对数函数的形式与指数函数的形式一样，也必须是纯粹的如：10g 2 x 1 , log2x 1 , 10g 2 x2都不是对数函数.现在我们已经知道什么是对数函数了，那对数函数的图象是怎么画的呢

4、？它又具有什么样的性质呢? 下面我们就来看一下对数函数的图象和性质：考点2:对数函数的图象与性质知识点睛x1814121248f x3210123从这个图象上让学生体会对数函数的增长速度很慢.并且从图象上看出函数的定义域为0,，值域为 R ,且过定点1,0.对数函数的图象与性质:图象yjx=1y=1ogax (a>1)yI x=1%(1, 0)r/ (1, 0)x/ ： |J' ；y=1og ax (0<a<1)定义域(0,)值域R性质过定点1,0 ,即x 1时，y 0当x 1时，y 0;当0 x 1时，y 0当x 1时，y 0 ;当 0 x 1时，y 0 .在0,上

5、是增函数在0,上是减函数【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观 的感觉，依然可以让学生自己动手画函数的图象，如： 先画f x 1og2 x ,x1814121248f x3210123g x32112012132让学生再画一个 g x log 4 x比较这两个图象.可以发现，当a 1时，a越大，第一象限图象离 y轴越远由的结论老师可以提问，若 0 a 1 ,则图象应该则么样？那我们可以先取个函数h x 10gl x 试试x1814121248f x3210123h x321012321时,logi4观察发现，1og2x与logix的图象关于x轴

6、对称，所以 210g4 x的图象也关于x轴对称，如图，所以当 0 a大，第一象限图象离 y轴越远.老师按照上面的方式讲完对数函数的图象之后, 就可以让学生做下面的练习：则 C1, C2,练习1：愀图若曲线Ci, C2, C3, C4是对数函数10g3x, 1ogx, 10g2x, 1og0.7x的图象, '''一 ， 一 ，5一,C3, C4分别代表哪个对数函数？【解析】由图象可以直接看出 C1 10g 3 x , C2 1og x , C3 10go.7 x,C4 1og2 x或者也可以作直线 y 1 ,则与四条曲线的交点就是对数函 5数的底数.【教师备案】做完上边的

7、练习之后，就可以进一步得出：所有的对数函数也分为两类：a 1和0 a 1对数函数的单调性：a 1时，是增函数；0 a 1时，是减函数，而且 a越大，第一象 限的图象离y轴越远对数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完对数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例1 ,例1主要考察对数函数的图象， 虽然涉及到指数的图象， 但现在还没讲指数与对数的 关系，所以完全可以从指数的图象和对数的图象上去讲解，没必要把指对的关系引进来经典精讲【例1】 如图是对数函数log a x的图象，已知a值取书,则相应于ioG, C2, C3,C4的a值依次是（C.G 434, 平 33,)11

8、0110B.D.当yOV3, 4, 3F，11011035351时，在同一坐标系中，函数yAB【解析】A;D ;A ;在指数函数一讲我们已经讲了哥的比较大小，那对数应该如何比较大小呢？下面我们就来看一下对数 值比较大小：考点3:对数值的大小比较知识点睛如果两对数的底数相同，则由数函数的单调性(底数 a 1为增函数；0 a 1为减函数)比 较. 如果两对数的底数不同而真数相同，如y1 10gm x与y2 logn x的比较(m 0 , m w 1, n 0 ,n w 1).当n m 1时，当x 1时，y1 y2 ;当0 x 1时，y1 y2 .当 0 m n 1 时，当 x 1 时，y1 y2

9、；当 0 x 1 时，y1 y2.【教师备案】方法一：图象法两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线 x 1右侧的部分是 底大图低”，它们的图象在位于直线 x 1左侧的部分是 底大图高见下图：方法二：取倒数转化为同底数的对数的大小比较y logm x1一；y log n x10gxm1_ logxn 如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较.经典精讲【教师备案】老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，一是底数相同真数不相同的对数；一(10)是底数不同真数相同的对数；(11)是底数与真数都不相同的对数；老师可以由铺垫得出对于底相同真数不同应该如何比较大小，对于底不同真数相同应

10、该如何比较大小，对于底 和真数都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例 2 了.【铺垫】比较下列各题中两个值的大小 10g5 7与 10g58; 10go.57 与 10go.58 ； 10g2 3和 1； 10go.20.7 和1 ; 10g50.4和 0； 10go.50.3和 0 ； 10g35 和 10g25 ； 10g3 4与 10g5 4 ； 10g30.2与 10g5 0.2 ；(10) 10g0.2 7 与 10go.3 7 ; (11) 10g2 3 和 10go.32 .【解析】10g5710g58； 10go.5 710go.58 ； 10g2

11、3 1 ； 10go.2 0.71； 10g5 0.4 0 ； 10go.5 0.30;【教师备案】由我们可以得出如何看对数10gab的正负"：把a , b都分为区间0,1, ，若a, b都在同一个区间，则是正的，若分别在两个区间则是负的 1og3 5 log 2 5 ； 10g3 4 10g54 ； 10g3 0.2 10g 5 0.2；(10) logo.2 7 10g0.3 7 ;(ll)10g2 3 10g0.3 2【例2】比较大小(填,“”或). 10g0.52011 10g0.52012 ； 10gi.52011 10gi.5 2012 ; 10g0.53 10g0e3；

12、 10g 0.5 0.8 10g0.6 0.8; 10g1.53 10g2 3; 10gi.5 0.8 10g2 0.8款若 a 10g34 ,b 10g 7 6 , c10g 2 0.8,则()A. abcB. bacC. cabD.bcaI若 a 0.32, b 10g 2 0.3, c 10g3 4,贝U ()A. a b cB. b a cC. c a bD.b c a【解析】；.A;C ;【拓展】设a 10g 2 2 , b5A. c a b设 a 10g43 , bA. c a b【解析】B ；B ;10g 3 3 , c 10g 2 3,则a, b, c的大小顺序是( 55B.

13、a c b C. b c a D. c b a310g3 4, c 10gi ,则a , b, c的大小顺序是(34B. b a c C. b c aD. c b a指数和对数之间有着千丝万缕的稀奇古怪的不可告人的关系，那么指数函数和对数函数之间也一定有 着稀奇古怪的，偷偷摸摸的关系，那么我们就把他们的这个关系公诸于世考点4:对数函数与指数函数的关系onS|知识点睛1 .反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而这个函 数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数【教师备案】因为高考基本不考反函数，只需让学生知道同底的指数和对数是互为反函数的

14、就可以了,所以本讲也不重点讲解反函数，但是如果老师要讲解反函数，那老师可以按照下面的顺 序讲解反函数”，下面主要讲了反函数的定义和反函数的性质： i.反函数的定义：在第2节课的时候我们就讲了映射.下面我们来看一下这个是不是映射？根据映射的定义，我们知道它是一个f：A B的映射，若现在我们把它改一下，把它从A B改为从B A ,那这个还是不是映射？如果是映射那又叫什么映射？如果是 映射那它的对应法则又是什么？根据映射的定义，我们知道这也是一个映射，只不过它的对应法则为 开立方”既然它 是上边那个映射反过来的，所以这个映射我们可以记为 f 1:B A.我们也管这种映射 叫做逆映射”那是不是所有的映

15、射都有逆映射？我们来看一下下面的例子：根据映射的定义，我们知道它是一个映射，现在我们看一下它的逆映射:BA根据映射的定义，我们知道它不是一个映射 再比如，我们知道下面一个是映射，如：但是，它的逆映射就不是映射，如:，只有映射，才有逆映射 .因为函数是一个特殊的映射，若把原来的映射构成的函数叫做原函数，那么它的逆映射构成的函数叫做反函数，原函数与反函数是成对出现的，原函数与反函数互为反函数，反函数的反函数将是原函数 .2反函数的性质反函数的定义域是原函数的值域，即原函数与反函数的定义域和值域相互交换若原函数经过一个点 a , b ,则反函数经过点 b , a ,a, b与b, a在平面直角坐标系

16、中关于y x对称原函数的图象和反函数的图象关于y x对称.单调性：若原函数是 /,则反函数的单调性如何呢？注意单调性本质是自变量和 函数值的变化趋势是否一致，当x/, y/,反过来，若y/, x/,：原函数与反函数的单调性相同.例：判断下列函数是否有反函数，若有，则求出反函数 y x 1 ; y 2x ; y 2x 1 ; (4) y x3 1 ； y 3x ； (6) y x2【解析】有，反函数为：y x 1 ；有，反函数为：y -；21有，反函数为：y - x 1 ;2有，反函数为：y W7；有，反函数为：y log3x；没有，.不是一一对应，1和1都指向1;若加个定义域y x2 x>

17、;0，则有反函数，y Jx ,y x2 x< 0也有反函数，y xx2 .对数函数与指数函数的关系对数函数y logax与指数函数y ax互为反函数，它们的图象关于直线y x对称.【教师备案】对数函数 y logax,指数形式为x ay.可以看成是把指数函数 y ax的x, y对调位置而 得到的.在同一直角坐标系中，它们的图象关于直线 y x对称.【教师备案】老师讲完对数函数与指数函数的关系以后，就可以让学生做例3 了.经典精讲【例 3】若 f(x) ax,g(x)logbx,且 lga lg b 0 , a 1, b 1.则 y f(x)与 y g(x)的图象()A.关于直线x y 0

18、对称 B.关于直线x y 0对称 C.关于y轴对称D.关于原点对称若函数f(x) ax ( a 0,且aw1)的反函数的图象过点 (2,1),则a .若f x 10g 3x的反函数是y g x ,则g 1值为()A. 3 B.3 C. 1 D.13 3【解析】B工2C卜面我们再来看一下对数函性质的应用:| 7.2对数函数性质的应用考点5:与对数相关的复合函数的定义域问题【教师备案】求对数函数的复合函数的定义域的方法与前面讲到的求一般函数的定义域的解法一样,不过在这里应特别注意的是:经典精讲4. y log 2定义域为定义域为定义域为【例4】*求下列函数的定义域 f x logax2 ； f x

19、 log22x 2x 3 ; f x log(x 1)(3 x)； f xlogi x 1老师可以用下边的铺垫给学生讲解求定义域，然后让学生做例【铺垫】求下列函数的定义域1 ； y 1g x 11 ,1 U 1 ,0 U 2,f x ,定义域是 定义域为 定义域为 定义域为经典精讲老师可以用下边的铺垫给学生讲解对数函数的值域问题，铺垫主要是对数函数，让学生从直观上理解 值域，讲完以后就可以让学生做例5,例5主要是对数函数的复合函数.【铺垫】已知函数f(x) log2x,当x1. 一，一，4时，函数值域为2当x当x已知函数g(x) log 1 x ,当 316,0,时，函数值域为时，函数值域为

20、时，函数值域为_当时，函数值域为当1一，927时，函数值域为【解析】1 , 2 ;，394,.1 ,；，2 ;2,3.【例5】*求下列函数的值域 f xlg x 1 ； f x log2 x 1 x > 1 ； f x 也log2 x ； f xlog2 x2 4x 5 ; f x 10gl x2 2x 3 ； (6) f x 10gl x2 6x 1322【解析】y R ; y 1,; y 0,; y 0 ,)； y 2,)； y (,2.【例6】我已知函数f(x) lg ax2 2x 1 . 若f(x)的定义域为R ,求实数a的范围；若f(x)的值域为R ,求实数a的范围.【解析】a

21、的范围为a |a 1 .a的范围为 a |0 w a w 1 .【点评】 第问易忽视a 0情况，第问易犯1g(ax2 2x 1)的值域为R就是ax2 2x 1 0恒成 立的错误，正确理解应该为(0,)x|ax2 2x 1 0 .正确理解定义域为 R与值域为R的含义是解题的关键.【方法总结】 对于形如y 1oga (x)的定义域值域为 R的问题.关键是抓住对数函数 y loga x的定义 域和值域，并结合图象来分析和解决问题.由图可知对数函数 y logax的定义域为(0,)，值域为R .反过来，要使函数y loga x的值域为R ,由图可知，x必须取遍(0 ,)内所有的值(一个也不能少).因此

22、若y loga (x)的定义域为R ,则对于任意实数x恒有(x) 0 ,特别是当 一 .2(x) ax bx c(aw0)时，要使 y loga (x)的te乂域为 R ,则有 a 0,且 0.若已知y loga (x)的值域为R ,则(x)必须取遍(0 ,)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t x而言，必须有t (x)的值域包含(0,)(此时y loga (x)的定义域一般包含于t (x)的定义域之中).反之，若(x)>mm 0 ,则当a 1时，有 y loga (x) > log am ；当 0 a 1 时，有 y loga (x) < loga m ,因此其值域一定为 R .特 别是当 (x) ax2 bx c(a w 0),要使y loga (x)的值域为R ,则有a 0,且 > 0 .考点7:与对数相关的复合函数的单调性问题经典精讲【例71判断下列函数的单调性(4)log 2 x 1 ；log 1x22x2log 2 x 1 在1g |x 1(4)1,1g |x1 ; f xlog 1 x2 6x2上是增函数上是减函数，在 1,求函数f【解析】定义域为10g2log 1210g12当a 1时,当0 a 1时,【点评】本题为复合函数,10ga4x2x