2020-2021中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习附答案解析

1、2020-2021中考数学一圆的综合的综合压轴题专题复习附答案解析、圆的综合1 .如图 1,直角梯形 OABC中，BC/ OA, OA=6, BC=2, / BAO=45°.* %(1) OC的长为(2) D是OA上一点，以BD为直径作OM, OM交AB于点Q.当。M与y轴相切时，sin / BOQ=；(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点 B沿折线B- C-。向点O运动.当点P到达点A时，两点同时 停止运动.过点 P作直线PE/ OC,与折线O-B- A交于点E.设点P运动的时间为t(秒).求当以 B、D、E为顶点的三

2、角形是直角三角形时点E的坐标.【答案】(1)4; (2) 3 ; ( 3)点 E 的坐标为(1,2)、( ：，10)、(4,2).【解析】分析：(1)过点B作BHLOA于H,如图1 (1),易证四边形 OCBH是矩形，从而有OC=BH,只需在4AHB中运用三角函数求出 BH即可.(2)过点B作BHLOA于H,过点G作GF, OA于F,过点B作BR± OG于R,连接 MN、DG,如图1 (2),则有 OH=2, BH=4, MN LOC.设圆的半径为 r,则 MN=MB=MD=r.在RBHD中运用勾股定理可求出 r=2,从而得到点 D与点H重合.易证 AFGA ADB,从而可求出 AF

3、、GF、OF、OG OB、AR BG,设 OR=x,利用 BR2=OB2 - OR2=BG2-RG2可求出x,进而可求出BR在RORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于4BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况(/BDE=90°,Z BED=90 °,Z DBE=90 °)讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立 关于t的方程就可解决问题.详解：(1)过点 B 作 BHLOA 于 H,如图 1 (1),则有 /BHA=90°=/ COA,OC/ BH. BC/ OA,，四边形 OCBH是矩形，. .OOBH, BC=OH. OA=6

4、, BC=2, . AH=0A-OH=OA- BC=6 - 2=4. ZBHA=90 °, Z BAO=45 °,tan / BAH= BH =1,. BH=HA=4,. OC=BH=4.HA故答案为4.(2)过点B作BHOA于H,过点G作GF± OA于F,过点B作BR± OG于R,连接 MN、DG,如图 1 (2).由(1)得：OH=2, BH=4. OC与。M 相切于 N, MN ±OC.设圆的半径为 r,则MN=MB=MD=r.BC± OC, OA± OC,BC/ MN/OA. BM=DM, CN=ON, .-.MN=

5、- ( BGOD) , . OD=2r 2 ,2OD OH =2r 4 .在 RtA BHD 中, ZBHD=90 °, . . BD2=BH2+DH2,(2r) 2=42+ (2r 4) 2.解得：r=2,DH=0,BD是。M的直径，GF± OA, BDXOA,AF GF AG 1即点D与点H重合，BD± 0A, BD=AD./BGD=90 °,即 DG,AB, . BG=AG.GF/ BDAAFGAADBAD BD AB 2，- AF=1AD=2,2GF=1BD=2, .-.OF=4, 2 OG= Vof"_GF2 = " 22

6、=2 亚. 1同理可得：OB=2 而，AB=472，BG=-AB=2 72 .2设 OR=x,贝U RG=2 J5 -x.BR± OG,Z BRO=Z BRG=90 °,BR2=OB2 - OF2=BG2- RG2,. (2石)2-x2=(2右)2- (2 x)2解得：x=W5 , .BF2=OB2-OR2= (275 ) 252 366.5=,. Br在 RtA ORB 中，sin/BOR=BR 6-5 3=5OB 2,5,3故答案为一.5(3) 当/BDE=90°时，点D在直线 此时 DP=OC=4, BD+OP=BD+CD=BC=2, 解得：t=1,则 OP

7、=CD=DB=1.PE上,BD=t,如图2.OP=t. 则有2t=2. DE/ OC, BD& BCO,DEBDOC BC 21DE=2,EP=2,点E的坐标为(1,2).当/ BED=90°时，如图3.,ADBEAOBC, / DBE=OBC, / DEB=Z BCO=90BE DB BE tBC OB '2 _ 2M '. PE/ OC,Z OEP=Z BOC. ZOPE=Z BCO=90 °,AOPEABCO,OE OP OE t * _OB=三'2?5=2'75t.OE+BE=OB=2 .5, 5t+15-t=2 55 .解得

8、：t=5, .-op=5,335Cp-5,5- pc- 2210OE=，- pe=VOEOP =，5 10、,点E的坐标为（一,）.3 3当/ DBE=90°时，如图4.此时 PE=PA=6-t, OD=OC+BC- t=6-t.贝U有 OD=PE, EA= TpE_PAr=V2 （6t） =6& >/2?t,.BE=BA- EA=4/ -（6夜-亚）=亚-2后PE/ OD, OD=PE, Z DOP=90 °,，四边形 ODEP是矩形，.DE=OP=t, DE/ OP,/ BED=Z BAO=45 :在 RtA DBE 中,cosZ BED=-BE- = ,

9、DE=&BE, .t = 42（&A 2 行）=2t -4.解得：t=4, .OP=4, PE=6-4=2, .点 E 的坐标为（4, 2）.综上所述：当以 B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1,2）、（5,吗（4,2）8工点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定 义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性.2.如图，AB是。的直径，弦CD±AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG/ AC交CD的延长线于点 G,连结AE交CD于点F,且EG=FG连结C

10、E(1)求证：/G=/ CEF(2)求证：EG是。的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tanG =-, AH=3j ,求EM的值.4,【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 空叵.8【解析】试题分析：(1)由AC/ EG,推出/G=/ACG,由AB± CD推出AD AC，推出/CEF=/ACD,推出/G=/CEF,由此即可证明；(2)欲证明EG是。的切线只要证明 EG± OE即可；(3)连接OC.设。的半径为r.在RtOCH中，利用勾股定理求出 r,证明AH HC AHCAMEO,可得 ，由此即可解决问题；EM OE试题解析：(1)证明：如图 1.

11、 AC/ EG,ZG=Z ACG, / AB± CD,AD AC， . / CEF=/ACD, ，/G=/CEF, / ECF=/ ECG,AECfAGCE(2)证明：如图2 中，连接 OE. GF=GE, . . / GFE=/GEF=/AFH,- 0A=OE,/ OAE=Z OEA, /AFH+/FAH=90 ；ZGEF+Z AEO=90 ；Z GEO=90 ； .-.GE± OE,.EG是。O的切线.(3)解：如图3中，连接OC.设。的半径为r.在 RtAHC 中，tan Z ACH=tan Z G= AH- = 3 , AH=3/3,HC 4'HC=4y/3

12、 ,在 RtHOC中,. OC=r, OH=r 3向，HC=473,，（r 3后（4百）2225.3r , r=,AH HC. GM/AC, ，/CAH=/M, / ZOEM=ZAHC, AHC MEO, . EM OE3<34.3EM 25.3.EM = 25J8点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定 理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相 似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.3.如图，已知 RtABC中，C=90°, O在AC上，以OC为半径作 OO,切AB于D点，且BC=BD(1)求

13、证：AB为。的切线；(2)若 BC=6, sinA=3,求。的半径；5(3)在(2)的条件下，P点在。上为一动点，求 BP的最大值与最小值.A【答案】（1）连OD,证明略；（2）半径为3; （3）最大值3J5+3 , 375-3.【解析】分析：（1）连接OD, OB,证明OD®4OCB即可.（2）由sinA=3且BC=6可知，AB=10且cosA=-,然后求出 OD的长度即可.55（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交。O于点E、F,当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在AODB和OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;.

14、,.ODBAOCB (SSS/ ODB=/ C=90 :.AB为。的切线.sinA= b BC=6,AB=10, BD=BC=6,.AD=AB-BD=4,. sinA= 3 ,cosA=4 ,55.OA=5, OD=3,即。的半径为：3.（3）如图：连接OB,交。为点E、F,由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3, DB=6, -OB= 32 623 5.PB=OB-OE=3.5 3.当P点与F点重合时，PB去最大值， PB=OP+OB=36.5 .点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识 全等三角形判定与性质的理解.关键是对三角函数值、勾股定

15、理、4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab .1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心o；（要求保留作图痕迹，不写作法 ）2若AB的中点C到弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.【答案】（1）见解析；（2） 50m【解析】分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得i1八到 OC AB , AD BD -AB 40，则 CD 20,设 e O 的半径为 r,在 RtVOAD中利用勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.详解：1

16、如图1,点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,qc为Ab的中点，OC AB, 1 AD BD - AB 40 , 2设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2, 222r (r 20)40 ,解得 r 50,即AB所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于 把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.5.矩形ABCD中，点C (3, 8) , E、F为AB、CD边上的中点，如图 1,点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点 C在第

17、一象限，若点 A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位 长度的速度运动，点 B随之沿y轴下滑，并带动矩形 ABCD在平面内滑动,如图 2,设运动 时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.(1)当t=0时，点F的坐标为;(2)当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离;(3)求运动过程中，点 F到点O的最大距离;(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求 t的值.【答案】(1) F (3, 4) ; (2) 8-473;(3) 7;(3)当0、E、F三点共线时，点 F到点O的距离最大，FO=OE+EF=.国1圉2(4) t的值为或.55试题分析：(1)先确定出DF,进而彳#出点F的坐标;

18、(2)利用直角三角形的性质得出/ABO=30。，即可得出结论;(3)当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论;(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当 t=0 时.-AB=CD=8, F 为 CD 中点，DF=4,F (3, 4)； (2)当 t=4 时，OA=4.在 RtABO 中，AB=8, Z AOB=90°,./ABO=30 ；点E是AB的中点，OE=：AB=4, BO=4>/3 ,，点B下滑的距离为8 4石.(4)在 RtADF 中，FD2+AD2=AF2,加=巧2 AD2=5,设 AO=ti 时，。5与乂轴 相

19、切，点 A 为切点，.FAI 0A,ZOAB+Z FAB=90° . / Z FAD+Z FAB=90°,/ BAO=Z FAD. / BOA=Z D=90 :RtA FA& RtA ABO,ABFAAO 8 tlFE ' . 5 3 '.ti=24 ,设A8t2时，OF与y轴相切，B为切点，同理可得，t2=02. 55综上所述：当以点 F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为_24或名.55点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解(2)的关键是得出/AB83

20、0。，解(3)的关键是判断出当 O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解(4)的关键是 判断出RHFA&RtABD,是一道中等难度的中考常考题.6.如图，Rt ABC内接于。O, AC BC , BAC的平分线AD与。O交于点D ,与 BC交于点E ,延长BD ,与AC的延长线交于点 F ,连接CD , G是CD的中点，连接OG.(1)判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明(2)求证：AE BF ；若OG gDE 3(2 J2),求。O的面积.【答案】(1) OG, CD (2)证明见解析(3) 6兀【解析】试题分析：(1)根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；(2)先

21、证明4ACE与4BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；(3)构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解.试题解析：(1)解：猜想 OG, CD.证明如下：如图1,连接OC、OD. OC=OD, G是CD的中点，由等腰三角形的性质，有OG± CD.(2)证明：AB是。的直径，./ACB=90°,而/CAE=/CBF (同弧所对的圆周角相等).在 RtACE 和 RtA BCF 中，/ Z ACE=Z BCF=90°, AC=BC, /CA&/CBF,RtA ACE RtA BCF ( ASA), ，AE=BF.(3)解：如图2,过点O作BD的

22、垂线，垂足为1H,则H为BD的中点，.,.OH=-AD,即2AD=2OH,又 / CAD=Z BAD?CD=BD, OH=OG. Z DBE=Z DAC=Z BAD, /.RtABDE RtAADB在 RtA BDE和 RtADB 中,BD DE 目.2 ,即 bd2=ad?de,AD DBBD2 AD DE 2OG DE 6(2 又 BD=FD，BF=2BD，BF2 4BD2242 柩，设 AC=x,则 BC=x, AB=J2xAD 是/BAC 的平分线， . / FAD=/BAD.在 RtABD和 RtAFD 中，/ Z ADB=Z ADF=90°, AD=AD, /FAD=/B

23、AD,RtAABD RtA AFD (ASA) ,，AF=AB=72X，BD=FD, .CF=AF:-AC=72x X (夜 1) X在RtBCF中，由勾股定理，得:BF2 BC2 CF2 x2 (V2 1) x2 2(2 后 x2,由、，得2(2J2)x2242J2)，»2=12,解得：x2J3或2x/3(舍去)，ABJ2xJ22器2屈,，OO 的半径长为J6,.So。=兀？( J6)2=6兀.点睛：本题是圆的综合题.解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判 定与性质.7.如图，AB是圆。的直径，射线 AMLAB,点D在AM上，连接 OD交圆。于点E,过点D作DC=D

24、A交圆。于点C （A、C不重合），连接 OC、BC CE（1）求证：CD是。的切线；（2）若圆。的直径等于2,填空： 当AD=时，四边形 OADC是正方形； 当AD=时，四边形 OECB是菱形.【答案】（i）见解析；（2）1 ；J3.【解析】试题分析：（1）依据SSS证明OAD0OCD,从而得到/OCD=/ OAD=90;（2） 依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;依据菱形的性质得到 OE=CE则4EOC为等边三角形，则 Z CEO=6O0,依据平行线的性 质可知/ DOA=60 ,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解：. AMXAB,/ OAD=90 :-. OA=OC, O

25、D=OD, AD=DC,.OADAOCD,/ OCD=Z OAD=90 :OCX CD,.CD是。O的切线.(2)二.当四边形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案为：1.二.四边形OECB是菱形， .OE=CE又 OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=60°.1. CE/ AB,/ AOD=60 :在 RtA OAD 中,/ AOD=60 , AO=1, AD=月.故答案为：啊.点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等 边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.8.四边形 ABCD内接于OO,点E为AD

26、上一点，连接 AC, CB, / B=/ AEC.(1)如图1,求证：CE=CD(2)如图 2,若/B+/ CAE=120, / ACD=2/ BAC,求/BAD 的度数;图二(3)如图3,在(2)的条件下，延长CE交。O 于点 G,若 tan/BAC= 53 ,11EG=2,求AE的长.图3【答案】(1)见解析；(2) 600; (3) 7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到ZCED=ZCDE.(2)作 CHU DE 于 H,设/ECh=% 由(1) CE=CD 用“表示 / CAg / BAC,而 /BAD=/BAC+/CAE. (3)连接 AG,作 GNXAC, AM，E

27、G,先证明 / CAG=/BAC,设 NG=5 J3m,可得AN=11m,利用直角n AGM, n AEM,勾股定理可以算出 m的值并求出 AE长.试题解析：(1)解：证明：二.四边形ABCD内接于OO./ B+/D=180 ,° / B=/AEC, / AEG / D=180 ; / AEG / CED=180 ；/ D=Z CEQ .CE=CD(2)解：作 Chl± DE于 H.设/ ECH= a,由(1) CE=CD / ECD=2 a, / B= Z AEC, / B+Z CAE=120 ； / CAEnZ AEC=120 ；/ ACE=180 - ZAEC- /

28、ACE=60 °, / CAE=90 - / ACH=90 - ( 60 + a) =30 - a,/ ACD= / ACH / HCD=60 + 2 a, / ACD=2Z BAC, /BAO3",/ BAD=Z BAG / CAE=30 + a+30 - a=60 :(3)解：连接 AG,彳GN± AC, AM ± EG, / CED=/AEG, /CD田/AGE, /CED=/CDE / AEG=ZAGE,.AE=AG,1.EM=MG=-EG=1 ,2/ EAG=Z ECD=2 %/ CAG=Z CAD+Z DAG=30 - a+2a=Z BAC,

29、 . tan / BAO 511. .设 NG=573m,可得 AN=11m, AG=AG2_AM 2 =14m, / ACG=60 ；1. CN=5m, AM =8 3m m , MG = JaG2 AM 2 =2m=1, . .m=l ,2.CE=C=CG- EG=10m- 2=3,AE= Jam 2 em 2 = W2+(4点2 =7.9.如图，DABCD勺边AD是 ABC外接圆。的切线，切点为 A,连接AO并延长交BC于 点E,交。O于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点 P,且/ BCP= / ACD.(1)求证：PC是。的切线；(2)若/B= 67.5 °, BC=

30、2,求线段PC, PF与弧CF所围成的阴影部分的面积 S.【答案】(1)见解析；(2) 1 【分析】(1)过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得ZM+ZBCM=90°, 再根据 AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圆周角定理可得 / BAC= Z M, / BCF ZACD,从 而可推导得出/ PCM=90°,根据切线的判定即可得；(2)连接OB,由AD是。的切线，可得ZPAD= 90。，再由BC/ AD,可得API BC,从而得BE= CE= 1 BC= 1 ,继而可得到/ABC=/ACB= 67,5 ；从而得到Z BAC= 45 °,由圆周2

31、角定理可得Z BOC=90,从而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根据已知条件可推导得出oe= ce= i, pc= oc= Joe2 ce2短，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,.CM为直径，/ MBC= 90 °,即 / M+ / BCM= 90 °, 四边形ABCD是平行四边形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP= / ACD,. . / M = / BCP, / BCP+Z BCM= 90 ；即/ PCM= 90

32、76;, CMXPC, .PC与。O相切；(2)连接OB,AD是OO的切线，切点为 A,OAXAD,即 / PAD= 90 :1. BC/ AD,/1/AEB=/PAD= 90 , /.API BC. . BE= CE= - BC= 12.AB= AC,Z ABC= Z ACB= 67.5 ；/ BAC= 180 ABC- / ACB= 45 :/ BOC= 2/ BAC= 90 °,-. OB= OC, APXBC,/ BOE= / COE= / OCE= 45p / PCM= 90 ；/ CPO= / COE= / OCE= 45 ； .OE=CE= 1 , PC= OC= Jo

33、e2 ce2 V2，S= Sa poc S 扇形OFC= -、2、, 23602P c【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较 强，准确添加辅助线是解题的关键.10.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块 30。(/CAB= 30。)角的三角板拼在一起，三角板的 斜边AB与量角器所在圆的直径 MN重合，现有射线 C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每 秒2°的速度旋转到与 CB,在旋转过程中，射线 CP与量角器的半圆弧交于 E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时，点E处的读

34、数是 ,此时4BCE的形状是;(2)设旋转x秒后，点E处的读数为V,求y与x的函数关系式；(3)当CP旋转多少秒时，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0<x<45 ; ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题；(2)如图2-2中，由题意/ACE= 2x, / AOE= y,根据圆周角定理可知 /AOE= 2/ACE 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1)如图2 1中，. /ACB= 90 °, OA= OB,.-，oa=ob=

35、 OC,/ OCA= / OAC= 30 °,/ AOE= 60 ；点E处的读数是60 : / E= / BAC= 30 : OE= OB,/ OBE= ZE= 30 ；/ EBC= / OBE+ZABC= 90 °,.EBC是直角三角形；故答案为60。，直角三角形；(2)如图2-2中，. /ACE= 2x, /AOE= y, / AOE= 2/ACE, . y= 4x (0虫w 45 .BC,(3) 如图2-3中，当EB= EC时，EO垂直平分线段,. ACa BC,1. EO/ AC,/ AOE= ZBAC= 30 °,1 ./ ECA= Z AOE= 15

36、,2.x=7.5.若2-4中，当BE= BC时,易知 / BEC= / BAC= / BCE= 30°,/ OBE= / OBC= 60 ；,.OE= OB,.OBE是等边三角形，/ BOE= 60 ;/ AOB= 120 ；1/ ACE= - ZACB= 60 ;.x=30,综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，4BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.11.如图，。的直径AB=26, P是AB上怀与点A、B重合)的任一点，点 C、D为。上 的两点

37、，若/APD=/BPG则称/CPD为直径AB的 回旋角 若/BPC=/DPC= 60°,则/CPD是直径AB的 回旋角”吗？并说明理由;13(2CD的长为一兀，求回旋角/ CPD的度数；4【答案】(1)/CPD是直径AB的回旋角”，理由见解析;(3)满足条件的AP的长为3或23.【解析】【分析】(3)若直径AB的回旋角”为120°,且4PCD的周长为24+13J3,直接写出AP的长.(2)回旋角”/CPD的度数为45。；(1)由/CPD / BPC得至ij / APD,得到/BPC=/APD,所以/ CPD是直径 AB的 回旋 角”；(2)利用CD弧长公式求出ZCOD= 4

38、5。，作CH AB交。于E,连接PE,利用 /CPD为直径AB的 回旋角"，得到/APD=/BPC, Z OPE= / APD,得到r 一八1/OPE+/ CPD+Z BPC= 180 ；即点 D, P, E三点共线， Z CED= - Z COD= 22.5 ,2得到 / OPE= 90° 22.5 = 67.5 °,贝U / APD= / BPC= 67.5 :所以 / CPD= 45° ； ( 3)分出情况P在OA上或者OB上的情况，在 OA上时，同理(2)的方法得到点 D,巳F在同一条 直线上，得到 4PCF是等边三角形，连接 OC, OD,过点

39、。作OGL CD于G,利用sin/DOG,求得CD,利用周长求得 DF,过O作OHLDF于H,利用勾股定理求得OP,进而得到 AP;在OB上时，同理OA计算方法即可 【详解】/CPD是直径AB的 回旋角”，理由：ZCPD=Z BPC= 60°,/ APD= 180 - / CPD- ZBPC= 180 - 60 - 60 = 60 °,/ BPC= / APD,/ CPD是直径AB的回旋角”；(2)如图 1 ,AB= 26,.OC= OD= OA= 13,设/ COD= n°,-. .13Cd的长为国4n n13 131804n = 45, / COA 45 &#

40、176;,作CH AB交。于E,连接PE/ BPG= / OPE,/ GPD为直径AB的回旋角”，/ APD= / BPG,/ OPE= / APD, / APD+Z GPD+Z BPG= 180 : / OPE+Z GPD+Z BPG= 180 ； 点D, P, E三点共线，1/ GED= ZGOD= 22.5 ,2/ OPE= 90 - 22.5 = 67.5 ,°/ APD= / BPG= 67.5 ,°/ GPD= 45 ；即：回旋角”/GPD的度数为45。， 当点P在半径OA上时，如图2,过点G作G。AB交。于F,连接PF,PF= PG,同(2)的方法得，点D,巳

41、F在同一条直线上，直径AB的回旋角”为120 ；/ APD= / BPG= 30 °,/ GPF= 60 ; .PGF是等边三角形，/ GFD= 60 ；连接OG, OD,/ GOD= 120 ；过点O作OGL GD于G,/1 ,.GD=2DG, /DOG= - /GOD= 60 ,213 3.DG=ODsinZ DOG= 13 x sin60 2 GD=13 3, .PGD的周长为 24+13 3，.PD+PG= 24, PG= PF, .PD+PF= DF= 24,过O作OHDF于H, .DH= 1DF= 12,2在 RtOHD 中，OH= Jod2 DH25在 RtAOHP中，

42、/ OPH= 30°,.OP= 10,.-，AP=OA- OP= 3；当点P在半径OB上时，同的方法得，BP= 3,.AP = AB- BP=23,即：满足条件的 AP的长为3或23.【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论12.如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三点.图 图(1)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接 PA,试求5PA+4PC的最小值；(3)如图，若直线l经过点T (

43、- 4, 0) , Q为直线l上的动点，当以 A、B、Q为顶点 所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.3 23【答案】(1) y -x -x 3; (2) 5PA+4PC的最小值为18; ( 3)直线l的解析式 8443,3人为 y-x3或y x3.4 4【解析】【分析】(1)设出交点式，代入 C点计算即可(2)连接AC、BC,过点A作AEL BC于点E,过 点P作PD)± BC于点D,易证CDMA COB,得到比例式PC -PD ,得到PD=- PC,所BC OB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,当点 A、P、D在同一直线上时，5

44、PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面积法求出 AE=18 ,即最小值为18 ( 3)取AB中点F, 5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ= 90°或/ ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴, 所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90。或/ ABQ= 90°,即/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点Q, .直线l与。F相切于点Q时，满足/ AQB=90 °的点Q只有一个；此时，连接 FQ,过点Q作QGi±x轴于点G,利用cos/QFT求出 QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分

45、别代入直接l得到解析式即可【详解】解：(1)二.抛物线与x轴交点为A ( - 2, 0)、B (4, 0) . y = a (x+2) ( x- 4)把点C (0, 3)代入得：-8a=3.二抛物线解析式为 y= - (x+2) (x- 4) = - x2+ x+3884(2)连接 AC BC,过点A作AE± BC于点E,过点P作PD)±BC于点D/ CDP= / COB= 90 ° / DCP= / OCB. .CD。COBPC PDBC OB- B (4, 0) , C (0, 3)1- OB= 4, OC= 3, BC= Job2_OC2 =54.PD= P

46、C5，5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 (PA+PD5当点 A、P、D在同一直线上时， 5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小. A (2, 0) , OCX AB, AE± BCSa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE22ABn OC 6 3 18AE= -BC 55-5AE= 185PA+4PC的最小值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆当/BAQ= 90°或/ABQ= 90°时，即AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90 / AQB= 90时

47、，只有一个满足条件的点Q当Q在。F上运动时(不与 A、B重合)，/AQB= 90 °，直线l与。F相切于点Q时，满足ZAQB= 90的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QGi± x轴于点G / FQ90.F 为 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中点 .F (1, 0) , FQ= FA= 3- T (-4, 0), FQ 3.TF= 5, cos/QFT=TF 5»FG 3RtA FGQ 中，cos/ QFT= 一FQ 5“39FG= - FQ= 一12555 xQ= 194 , QG= #Q2 FG2 J32955,54 12若点Q在x轴上方，则Q(一,

48、一)5 5设直线l解析式为：y= kx+b4kb 04 12解得:k b5 53，直线 l： y -x 34#412右点Q在x轴下方，则Q (,)553 八. .直线 l： y x 343综上所述，直线l的解析式为y 3x 3或y【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论13.如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点 D为圆上一点，满足 BD= BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接 CD交圆于点E.点F是BD上一点，连接EF,分 别交AB、BD于点G

49、、H,且EF= BD.(1)求证：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的长.【答案】 见解析；(2) - ,33【解析】【分析】(1)根据EF= BD可得EF= ?d ,进而得到BE = DF,根据 在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而求出/BDE的度数，确定 BE所对的圆心角的度数，根据 /DFH= 90。确定DE为直径，代入 弧长公式即可求解.【详解】(1)EF= BD

50、, Ef= ？D Be = Df / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=/C(2) .AB是直径，BC为切线， ABXBC又 EF/ BC, .ABEF,弧 BF哪 BE,1GF= GE= (HF+EHE HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD, / FBD / FDB= / BDE= / BFH,-.HB=HF= 2cosZ BHG= "° = L / BHG= 60 .HB 2/ FDB= / BDE= 30 °，/DFH= 90； DE为直径，DE= 4 J3 ,且弧 BE所对圆心角=60：，弧 BE= g *46=

51、V3【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键14.如图，点 A, B, C, D, E在。上，AB± CB于点 B, tanD=3, BC=2, H 为 CE延长线 上一点，且 AH= 10 , CH 5 2 .H（1）求证：AH是。的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且 AD交CE于点F,求证：HF=HA;（3）在（2）的条件下，求EF的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） J10 J2【解析】【分析】（1）连接AC,由AB± CB可知AC是。的直径，由圆周角定理可得 / C=/ D, 于是得到tanC=3,故此可知 AB=6,在RtABC中，由勾股定理得： AG= 40,从而可得 AC2+AH2=CH2,根据勾股定理的逆定理可得AC± AH,问题得证；（2）连接DE、BE,由弦切角定理可知 ZABD=Z HAD,由D是CE的中点，可得/CED=/ EBD,再由圆周角定理可得 /ABE=/ ADE,结合三角形的外角即可证明/HAF=/ AFH,从而可证得