2020年九年级数学典型中考压轴题训练《四边形》(含答案)

1、2020年九年级数学典型中考压轴题训练四边形1 .如图1,在菱形 ABC阴，对角线 AC与BD相交于点 Q AB= 13, BD= 24,在菱形 ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段 AF绕点A顺时针方向旋转60。得到线段AM连接FM(1)线段AO的长为;求证：AM=3AG(2)如图2,当点F在线段BO上，且点M, F, C三点在同一条直线上时,(3)连接EM若 AFM勺周长为3,廊，请直接写出 AEM勺面积.AE将矢I形ABCD&2 .如图1,在矩形 ABCM, AB= 8, AD= 10, E是CDi上一点，连接AE折叠，顶点D恰

2、好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点 G(1)求线段CE的长；(2)如图2, M N分别是线段 AG DG上的动点(与端点不重合)，且/ DMM /DAM设 DN= x.求证四边形AFG更菱形；是否存在这样的点 N,使 DMN1直角三角形？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由.3 .将一个正方形纸片 AOBC：置在平面直角坐标系中，点 A (0, 4),点0(0, 0) , B (4,0) , C (4, 4)点.动点E在边AO上，点F在边BC,沿EF折叠该纸片，使点 O的对 应点M始终落在边 AC上(点M不与A C重合)，点 B落在点N处，MNW BC交于点P.(I)如图

3、，当/ AEM= 30时，求点E的坐标；(n)如图，当点 M落在AC的中点时，求点 E的坐标；(出)随着点M在AC边上位置的变化， MPC勺周长是否发生变化？如变化，简述理由；如不变，直接写出其值.圉 图4.(1)【问题发现】如图 1,在RtAABC, AB= AC= 4, / BAC= 90 ,点D为BC的中点，以CD为一边作正方形 CDEF点E恰好与点A重合，则线段 BE与AF的数量关系(2)【拓展研究】在(1)的条件下，如果正方形 CDE噪点C旋转，当点B, E, F三点共线时，连接 BE CE AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图 2的情形给出证明；(3)【问题发现】当正方

4、形 CDE璇转到B, E, F三点共线时，求线段 AF的长.5 . (1)如图1, 4AC所口DCE匀为等边三角形，点 A, D, E在同一直线上，连接 BE/ AEB勺度数为;线段An BE之间的数量关系为 ;(2)如图2, 4ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ ACB= Z DCE= 90 ,点 A D, E 在同一直线上，CMK/ DCE DE边上的高，连接BE请判断/ AEB勺度数及线段 CM AE BE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3,在正方形 ABC由，CD=J号，若点P满足PD= 1,且/ BPD= 90。，请直接 写出点A到BP的距离为.图I型邱6 .如图 1,

5、长方形 ABCDK / DA屋 / B= / DC屋 Z D= 90 , AD= BC= 6, AB= CD= 10.点E为射线DC上的一个动点，把 ADEg直线AE翻折得 AD E.(1)当D点落在AB边上时，/ DA号 ;(2)如图2,当E点与C点重合时，D C与AB交点F,求证：AF= FC求AF长.(3)连接。B,当/ AD B= 90。时，求DE的长.7.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.(1)概念理解：如图1,在四边形ABCDK添加一个条件，使得四边形 ABCO 等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；(2)概念延伸：下列说法正确的是 (

6、填入相应的序号)对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形；一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；有两个内角为直角的“等邻边四边形”是正方形；一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“等邻边四边形”是正方形；(3)问题探究：如图 2,小红画了一个 RtABC 其中/ ABC= 90 , AB= 4, BC= 3,并将 RtAABC/ B 的平分线BB方向平移得到 ABC ,连结AA , BC ,小红要使平移后的四边形 ABCA是等邻边四边形”应平移多少距离(即线段BB的长)？8.问题背景:(1)如图 1:在四边形 ABC由，AB= AD / BAD= 120 , / B=

7、Z ADC= 90 , E, F 分 别是BC CD上的点且/ EAF= 60 .探究图中线段 BE, EF, FD之间的数量关系.小王同 学探究此问题的方法是，延长 FD到点G使DG= BE连结AG先证明 AB白 ADG再 证明 9,可得出结论，他的结论应是 .请你按照小王同学的思路写出完整的证明过程.实际应用(2)如图2,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30的一处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰 艇甲向正东方向以 60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以80海里，小 时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到

8、甲、乙两舰艇分别到达E, F处.且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离是 海里(直接写出答案).9 .在菱形 ABCDK / MDN勺两边分别与 AB, BC交于点E, F,与对角线 AC交于点G, H,已知/ MDI4 / BAD= 60 , AC= 6.(1)如图 1,当 DE! AB DR BC时，求证： ADE2 CDF求线段 GH勺长；(2)如图2,当/ MDNg点D旋转时，线段 AG GH HC的长度都在变化.设线段 AG= mjGH： p, HC= n,试探究p与mn的等量关系，并说明理由.10 .如图，现有一张边长为 8的正方形纸片 ABCD点P为AD边上的一点(

9、不与点 A点D 重合)，将正方形纸片折叠， 使点B落在P处，点C落在G处，PG交DCT H,折痕为EF, 连结BP BH(1)求证：/ APB= / BPH(2)求证：ARHC= PH(3)当A2 2时，求PH的长.J F D11 .如图，已知点 B (a, b),且a, b满足|2 a+b 13|+Ma-Mb+4= 0.过点B分别作BA!x轴、BCXy轴，垂足分别是点 A C.(1)求出点B的坐标;(2)点M是边OAk的一个动点(不与点 A重合)，/ CMA勺角平分线交射线 CB于点N,在点M运动过程中， 旦粤的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由；ZCNM(3)在四边形OABC勺

10、边上是否存在点 P,使得BP将四边形OAB0成面积比为1: 4的两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.12 .在 ABC, AB= AC点M在BA的延长线上，点 N在BC的延长线上，过点 C作CD/ AB 交/ CAM勺平分线于点 D(1)如图1,求证：四边形 ABCD1平行四边形；(2)如图2,当/ ABC= 60时，连接BQ过点D作DH BQ交BN于点E,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形(不包含 CDE ,使写出的每个三角形的面积与 CDE勺面积相等.图1图213 .问题探究,(1)如图，在矩形 ABCW, AB= 2ADD P为CD边上的中点，试

11、比较/ AP*口/ ADB的 大小关系，并说明理由；(2)如图，在正方形 ABCDfr, P为CD上任意一点，试问当 P点位于何处时/ APB最 大？并说明理由；问题解决(3)某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD&上点P处安装监控装置，用来监控 OCa上的AB段，为了让监控效果最佳， 必须要求/ APBt大，已知：Z DOC = 60 , OA= 400米，AB= 200米，问在0加上是否存在一点 P,使彳导/ APBt大，若 存在，请求出此时 OP的长和/ APB勺度数；若不存在，请说明理由.14 .探索发现：如图， DEC! ABC匀为等腰直角三角形，/ E= /ABC= 9

12、0 ,点A在边CD上，B在边EC上，把 DE选 C点旋转 & (0 V” v 180 )得到图，在图中连接AD BE交于点P,则图中：(1) Z APB=; BCEJ0).(1)填空：用含t的代数式表示下列各式AP=, CQ=.(2)当PE=时，求点Q到直线PE的距离.1当点Q到直线PE的距离等于士时，直接写出t的值.B、Q E、(3)在动点P、Q运动的过程中，点 H是矩形AOBC包括边界)内一点，且以H为顶点的四边形是菱形，直接写出点H的横坐标.参考答案1 .解：(1) .四边形ABCO菱形， .ACL BQ OB=BD= 12,在RtAAOB, AB= 13,根据勾股定理得， AO=7aB

13、0B区 4m2-1/=5,故答案为5;(2)由旋转知，AM=AF, Z MAR60 ,， AMF等边三角形, .Z AFM= 60 , 点M F, C三点在同一条直线上, ./ AFC= 180 乙 AFM= 120 , 菱形ABCD勺对角线ACW BD相交于O,. OA= OC=二 ACr0A=0C在AOFFgCOFK，/A0F=/C0F=giT ,lof=of. .AOmCOFCSAS , ./ AFO=AFC= 60 ,OA在 RtAOF中，sin Z AFO=OA=(3)如图，由(2)知， AM提等边三角形， AFM勺周长为 3/29,. AF=后,在RtAOF中，根据勾股定理得， O

14、F=J7匹后 =2,，BF= OB- O已 12-2=10,连接EMAB蕾等边三角形，.AE= AB= 13, Z BAE= 60 ,由（1）知，AM= AF, / FAM= 60 ,/ BAE= / EAM/ EAM= / BAFAE阵 ABI3（SAS ,.E阵 BF= 10, /AEM= Z ABF过点M作MNL AE于N, MN AOB50.MN= JL O Sa aeM=4-AE?MN= x 13X 225013= 25.FC图12.四边形ABC匿矩形,.AA BC= 10, AB= C8,，/ B= / BCD= 90 ,由翻折可知： AD= AF= 10. DE= EF,设 EC

15、= x,贝U DE= EF= 8-x.在 Rt ABF中，BF= JaLaB 2=|V 1 02-S = 6，. CF= BC- BF= 10-6=4,在 RtEFC中，则有：（8 x） 2=x2+42,x = 3,EC= 3.(2)证明：如图2中, F C G图2.四边形ABCDB巨形，. AD/ BG/ DAG= / AGB. / DAG= / GAF/ GAF= / AGF.AF= FG. AD- AF,. AD- FG. AD/ Fq.四边形AFG匿平行四边形,. FA= FG四边形 AFGDi菱形.解：. DM睡直角三角形，/ DMN/ DAQ 90 , 只有/ MDM 90 或/

16、MNB 90 .如图3- 1中，当/ MDN= 90时，. AD/ CG.AD_DE CG CE CG= 6,.BG= BGCG= 16,在 RtAABG, AG 7aB2+BG2 = &底，在 Rt DCG, DG= /cD2-/3)；(n)如图，.,点 M是边AC的中点,1 .AM=-AC=2.设 OE=m 则 E阵 OE=m AE=4-mRtAAEIV, eM=aM+aC,即 x2= 22+ (4 - x) 2,解得 x=1.-E (0,亳)；(ID) MPG勺周长不变，为 8.理由：设 AM= a,则 OE= EM= b, MG= 4- a, 在RtAEM巾，由勾股定理得 AE+AM=

17、 EM, (4-b) 2+a2= b：解得 16+a2=8b.16 - a2= 8 (4 - b)/ EMP 90 , / A= / D,RtAAEMh RtACMP，迪立幽二迤即CIMPyF NC CMF4CP 4-a 解得 DMMRDA.&i =叱3 =8.4-b4-b.CMP勺周长为8.国g4.解：(1)在 RtABC中，AB= AC= 4,根据勾股定理得，BC= -fBC= 2V2, 四边形CDE尾正方形， AF= EF= AD- 2 二 .BE= AB= 4, .BE= ：AF,故答案为BE=AF;(2)无变化；如图 2,在 RtABC中，AB= AC= 4, / ABO / ACB

18、= 45 ,sin ZABC=,CB 2在正方形 CDEFK / FEC= ZFED= 45在 RtCEF中，sin ZFEC=1=-,CE CB. / FCE= / ACB45 ,/ FC曰 / ACE= / ACtB- / ACE/ FCA= / ECB. ACm BCE.BE CB V2您cm -T，.B& -AF,线段BE与AF的数量关系无变化；(3)当点E在线段AF上时，如图2,由(1)知，CF= EF= CD= 2/2，在 RtBCF中，CF= 2/2, BC= 4/2,根据勾股定理得，BF= 2 i, .BE= BF- EF= 2s/6-2/2,由(2)知，BE=二AF, .AF

19、= 2 .二-2, 当点E在线段BF的延长线上时，如图 3,在 RtABC中,AB= AC= 4, .Z ABG= / ACB= 45 , sin /ABC=*=冬在正方形 CDEFK / FEC= Z FED= 45 ,在 RtCEF中，sin/FEC=迪，CE 2,CF = CA一 CE = CB，. / FCE= / ACB= 45 , / FCBZ ACB= / FCB/FCE/ FCA= / ECB. ACm BCE. be_cb_, AF CA Ju B& 二 AF,由（1）知，C已 EF=CD=26，在 RtBCF中，CF=啦,BC= 4/2,根据勾股定理得，BF= 2 I, .

20、BE= BF+EF= 2 h+2 .：,由（2）知，BE= ： ：AF,.AF= 2 .二+2.即：当正方形 CDE璇转到B, E, F三点共线时候，线段 AF的长为 炯 2或2用+2.5.解：（1）如图1, ACBF口 DCE匀为等边三角形，CA= C玲 CD= C耳 /ACB= Z DCE= 60/ ACD= / BCE在 ACDF 口 BC计，rAC=BC .，ZACD=ZBCE, tCD=CE .ACD BCE (SAS . ./ ADC= / BEC DC时等边三角形， CD号 / CED= 60 . 点A D, E在同一直线上，/ ADC 120 ./ BEC= 120 .，/AE

21、B= Z BEC- Z CED= 60 .故答案为：60 .AC BCE. AD= BE故答案为：AD= BE(2) /AEB= 90 , AE= BE+2cM理由：如图2,. ACBF口 DCE匀为等腰直角三角形，CA= CB CD= CEACB= Z DCE= 90 ./ ACD= / BCE在 ACDF 口 BC计，产ECZACD-ZBCElcD=CE： .ACD BCE (SAS . AD= BE, / ADC= / BEC DC时等腰直角三角形， .Z CDE= / CED= 45 . 点A, D, E在同一直线上，/ ADC 135 . ./ BEC= 135 . ./AEB= /

22、BEG Z CED= 90 . CD= CE CML DEDM= ME / DC号 90 ,DM= ME= CM.AE= ADfDE= BR2CM(3)点A到BP的距离为二L或与土理由如下： .PD= 1,，点P在以点D为圆心，1为半径的圆上. . / BPD= 90 , 点P在以BD为直径的圆上.，点P是这两圆的交点.当点P在如图3所示位置时,图3连接PD PB PA作AHL BP,垂足为H,过点A作AH AP,交BP于点E,如图3.二.四边形 ABCD1正方形，/ADB= 45 . AB= AD= DC= BC=V3，/ BA氏 90 .BD=I,. .DP= 1,. BP=75. . /

23、 BPD= / BAD= 90 , A、R D B在以BD为直径的圆上， ./ APB= / ADB= 45 . . PA蕾等腰直角三角形.又 BAD等腰直角三角形，点 R E P共线，AHLBP, 由（2）中的结论可得： BP= 2AH-PCD .V5= 2AHH.AH=在2当点P在如图3所示位置时,连接PD PB PA彳AHI BP,垂足为H过点A作AE! AP交PB的延长线于点 E,如图3.同理可得：B2 2AH- PDV5= 2AH- 1.AH=+1 .2综上所述：点 A到BP的距离为 正二L或乜226.解：(1)由题意知 AD窿AAD E,/ DAE= / D AE.D点落在 AB边

24、上时，/ DAEVD AE= 90 , ./ DAE= / D AE= 45 ,故答案为：45;(2)如图2,由题意知/ ACD= /ACD ,四边形ABCDI矩形，.AB/ CD/ ACD= / BACACD = / BAC. AF= FG设 AF= FC= x,则 BF= 10-x,在 RtBCF中，由 BP+BC=CP得(10 x) 2+62=x2,解得 x=6.8 ,即 AF= 6.8 ;(3)如图3,圉3. AD E0 ADE ./ AD E= / D= 90 , / AD B= 90 ,B、D、E三点共线,又ABD s、BEQ AD = BQ. .ABD BECBE= AB= 10

25、,BD = VaB2-ADz 2=V102-62=DE=D E= 10- 8=2;如图4,. Z ABD +ZCBE=Z ABD +Z BAD =90 ,.Z CBE= Z BAD ,在 ABD和 BE什，Nd =zbce- AD =BC , ，/baeT =Zcbe.A ABD BEQ. BE=AB= 10, . DE=D E= 8+10= 18.综上所知，DE=2或18.7.解：(1) AB= BCM BC=CD或 AD=CD或 AB=AD 答案：AB= AD(2)正确，理由为：.四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形”， .这个四边形有一组邻边相等,.这个

26、“等邻边四边形”是菱形；正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等可得到：两组对边相等，则该四边形 是平行四边形，所以根据“邻边相等的平行四边形为菱形”推知：一组对边平行，另一 组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；不正确，理由为：有两个内角为直角的“等邻边四边形”不是平行边形时，该结论不 成立；正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等可得到：两组对边相等，则该四边形 是平行四边形，所以根据“邻边相等的平行四边形为菱形”推知：一组对边平行，另一 组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；再由由一内角是直角的菱形为正方形推知， 的说法正确.故答案是：；(2)由平移可知：BB / CC ,且BB =CC

27、 ,四边形 B BCC是平行四边形.当 BC= CC =2 时，此时 BB =2;当 A C =CC =AC=7!i=V=2盯时，BB =蓊；当A C = A B= 2-旧时，延长 A B交BC延长线于 D.设BD= xAB由于 AB/ A B , / ABC= 90丁./A DB= 90 , B DB是直角三角形.又BB是/ ABC勺角平分线，. ./B BD= / BB D= 45 , . B D= BD= x.:A E2=BD+A D2,即(x+4) 2+x2= 20,解得 x=- 2.而 BB =炎x= 2/ - 2/2 ABO/ABC勺平分线BB方向平移得到 RtA B C,. ./

28、A BB =180 -/DB B= 135 ,在钝角 AB B中，. A BA B =4, A B B C = BC.A B BC.即A B不可能等于 BC.BB =2, 2叵 2小-班时，四边形 A BCC是“等邻边四边形”.8 .解：(1) AEf AGF EF= BBDF.理由如下：在 ABm口ADG,；AB=AD4 ZB=ZADG,:BE=DG .ABE ADG(SAJS ,.AE= AG / BAE= / DAG. / EAF=-ZBAD/ GAF= / DAG/ DAF= / BAE/ DAF= / BAD- / EAF= / EAF/ EAF= / GAF在 AEW GA冲，曲A

29、GZEAF=ZGAF,螳二 AF .AEF AGF(SAS ,EF= FG. FG= DGDF= BRDF, .EF= BEDF;故答案为 AEF AGF EF= BEfD月(2)如图2,连接EF,延长AE、BF相交于点C, . /AOB= 30 +90 + (90 70 ) = 140 , / EOF= 70 Z EOF / AOB）=180。，. OA= OB / OAC/OB0（90 30 ） + （70 +50，符合（1）中的条件， 结论EF= ABBF成立，即 EF= 1.2 X （ 60+80） = 168 （海里）.故答案为：168.9 .解：（1）. DEL AB DF! BG

30、AED= / CFD= 90四边形ABCDI菱形， ./ BAD= / BCD AD= AC. .AE坐 CFD（AAS ;.四边形 ABCD1菱形,.AB/ DCADC/ BAD= 180 ,BAD= 60 ,. Z ADC= 120 ,/ MDN 60 , ./ ADEZ CDF= 60由知， AE挈 CFD .Z ADE= / CDF ./ ADE= / CDF= 30 ,.AC是菱形ABCD勺对角线， ./ DAC= / ACD= 30 , ./ DGH= / DHG 60 =/ HDG DG= GH= CH= AC= 2; 2)如图将CDHg点D顺时针旋转120得到 ADC, ./D

31、AC=/DCH= 30 , C D= DH AC = CH= n, /ADC=/CDH/ GDC = / AD(+ / ADS 120 - Z MDN 60 = / MDN连接CG. .CD竽 HDG ASA ,C G= GH= p,过点G作GPL AC于P,在 RtAPG中，/ PAG= /CA/CAD= 60 ,AP= ag=同 PG=号m在 RtPCG 中，PC=ACAP= CH- AP= n-ym根据勾股定理得，ce=pc 2+pG,. AC= 6,n+n+p= 6，联立整理得，mn= 12- 4p.10. ( 1)证明：: PE= BE, .Z EPB= / EBP又. / EPH=

32、 / EBC 90 , / EPIH- / EPB= / EBO / EBP即/ BPH= / PBC又四边形ABCD;正方形. AD/ BC ./ APB= / PBC ./ APB- / BPH(2)证明：过B作BQLPH垂足为Q,由(1)知，/ AP& / BPH在 ABPf QB冲， fZA=ZBQP=90Q/APB=/BPH ,BP=BP. .AB国 QBP(AAS ,.AP= QP BA= BQ又 A艮 BC,BC= BQ又. / C= / BQH= 90 ,BCK 口 BQK直角三角形,在 RtABChlW RtABQH,r BC=BQI. BH=BHRtABCIHRtABQH(

33、HL),. CH= QH，ARHC= PH(3)解：由(2)知，A鼻 PQ= 2,PD= 6.设 QH= HC= x,则 DH= 8-x, PH= ARHC= x+2在 RtPDH中,pD+dH= pH,即 62+ (8 x) 2 = (x+2) 2,解得x=4.8 ,PH= ARHC= 2+4.8 =6.8 .11.解：(1) |2 a+b- l3|+Va-3b+4=0.pa+b-13=0 I1 a-3b+4=0 j a=5 |b=3，B (5, 3);Zcrn的值不变，其值为1,理由：BCy轴,. BC/ x 轴, ./ CNMt / AMN. MN/ CMA勺平分线,，/ CMN= /

34、AMN-.4ZCNM1;(3)由(1)知，B (5, 3),. BAIx 轴、Bd v，A (5, 0) , C (0, 3),. BA!x 轴、Bdy,./ OCB= / OAB= 90 =Z AOC四边形AOB基矩形，.AB= OC= 3, BC= OA= 5,S 四边形 oab与 OAOC= 15,当点P在OC上时，设P (0, g ,，cp= 3 - m-(3 - n),4的两部分,-1 SAbpc= -BC?CF= x 5 (3 nj)=-.BP将四边形OAB8成面积比为1：SAbpC= E-S四边形 oabC= 3,5(3 - nj =3,9P (0, 丁)当点P在OA上时，设P

35、(0, n),Sabpp -ABAP= -X3 (5-n)= (5-n),4的两部分, .AP= 5- n, BP将四边形OAB扮成面积比为1:SaBPF JS 四边形 OABC= 3,.3(5 - n)=3,n = 3,P (3, 0),即：满足条件的点 P的坐标为（0,言）或（3, 0）.512. （ 1）证明：.AB= AC,/ ABG= / ACB .Z CA附 / ABC/ACB= 2/ABC. ADW / CAM / CAM / MAD/ ABC= / MAD. AD/ BC. CD/ AR 四边形ABCD1平行四边形； 2） /ABO60 , AC= AR.ABB等边三角形， .AB= BC，四边形ABCD1菱形，.ACLBQ. DEL BQ. AC/ DE. AD/ CE四边形ACEDI平行四边形，. BC= AD= CE，图中所有与 CD