高二数学讲义直线与椭圆的位置关系(绝对精品,原创)

1、高二数学讲义第七讲直线与椭圆的位置关系椭圆性质1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.5. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.6. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.7. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).其中e=c/a.8. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆

2、相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.9. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.10. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。11. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.12. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.13. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.一.课内基础练习题一、选择题： 1、已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是

3、（ ） （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）A. B. 2 C. D. 13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 ( )(A)倍 (B)2倍 (C)倍 (D)倍翰林汇4、曲线与曲线(m<9)一定有 ( )(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)围成的面积相等 (D)相同的通径二、填空题5、设椭圆的标准方程为，则k的取值范围是 6、已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点坐标是_ _翰林汇7、已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为

4、。8、ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，那么顶点A的轨迹方程为 . 9直线与曲线 的公共点的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二.应用椭圆性质解题例1、椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为( ) A4B2 C8 D例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程例3.已知方程x2 cos+y2 sin=1,(0,/2)讨论方程表示的曲线的形状例4. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程1.弦长问题例5.设椭圆6x2+2y2=12中有

5、一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为(1)试证过A,B的直线的斜率是定值;(2)求PAB面积的最大值.例6. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长2.对称问题:例7.给定椭圆C:x2+4y2= 4.(1)若A,B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴L在x轴上的截距t的取值范围;(2)对于(1)中的t的取值范围内的to,过点M (to,0)作直线L,设L是曲线C上关于坐标轴不对称的两点A,B的对称轴,求直线L的斜率k的取值范围.3.成比例线段例8.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其焦距与长轴长之比为,过

6、点C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段的比为2.（）用直线l的斜率k(k0)表示OAB的面积;（）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.4.与向量有关例9.设x、yR， i、j为直角坐标平面内x、y 轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,a+b=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由. 5.轨迹问题例10.椭圆x2+2y2=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A(x1,y1),

7、B(x2,y2),在AB上取点Q满足条件: 求Q点的轨迹方程. 例11. 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹例12. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程6.点差法例13. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A、B，为原点，且有直线OA、OB斜率满足KOA·KOB=-1/2，求线段AB中点的轨迹方程 例14. 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称高二A数学

8、讲义第七讲（140210）课后作业本试卷共18题，时间45分钟，满分100分）班级： 姓名： 一.填空选择题1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的焦距与长轴长之比为为( ) A B C D 2.设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为( )A、0B、1C、2D、33.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( )A B C D4. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的焦距与长轴长之比为 _.5、已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则AB

9、C的周长是（ ）（A）2 （B）6 （C）4 （D）126.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；7、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，那么 的值为 。二.简答题1如图，A、B为两个定点，且 | AB | =2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线L 交MA于点P，请你建立适当的直角坐标系.（1）求点P的轨迹C的方程

10、；（2）设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，O为坐标原点，试求OEF的面积. 2、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.3.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由4.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下

11、述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则5.设F1、F2分别是曲线的左、右焦点.（）若P是第一象限内该曲线上的一点，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.老师讲义2014年冬季高二A数学讲义第七讲（140210）直线与椭圆的位置关系椭圆性质14. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.15. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.16. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.17. 若在椭圆上，则过的

12、椭圆的切线方程是.18. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.19. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.20. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).其中e=c/a.21. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.22. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.23. AB是椭圆的不平行于对

13、称轴的弦，M为AB的中点，则，即。24. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.25. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.26. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.一.课内基础练习题一、选择题： 1、已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是（ D ） （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ A ）A. B. 2 C. D. 13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 ( B )(A)倍 (B)2倍

14、(C)倍 (D)倍翰林汇4、曲线与曲线(m<9)一定有 ( B )(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)围成的面积相等 (D)相等的通径二、填空题5、设椭圆的标准方程为，则k的取值范围是 3<k<4或4<k<5 解：由得，且满足条件的的取值范围是，且说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆6、已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点坐标是_(0,2)或(0,-2)_翰林汇7、已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。8、ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(

15、0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，那么顶点A的轨迹方程为 (y±6) . 9直线与曲线 的公共点的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析：将代入得：。，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。二.应用椭圆性质解题例1、椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为( ) A4B2 C8 D解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的

16、距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程解：设所求椭圆方程为(，)由和两点在椭圆上可得即所以，故所求的椭圆方程为例3.已知方程x2 cos+y2 sin=1,(0,/2)讨论方程表示的曲线的形状解析当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当时，方程表示圆心在原点的圆，当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆例4. 以椭

17、圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭圆的焦点为，点关于直线的对称点的坐标为（9，6），直线的方程为解方程组得交点的坐标为（5，4）此时最小所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为1.弦长问题例5.设椭圆6x2+2y2=12中有一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为(1)试证过A,B的直线的斜率是定值;(2)求PAB面积的最大值.解:例6. 已知长轴为12，短轴长为

18、6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，所以， 从而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是，的横坐标再根据焦半径，从而求出2.对称问题:例7.给定椭圆C:x2+4y2= 4.(1)若A,B是

19、曲线C上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴L在x轴上的截距t的取值范围;(2)对于(1)中的t的取值范围内的to,过点M (to,0)作直线L,设L是曲线C上关于坐标轴不对称的两点A,B的对称轴,求直线L的斜率k的取值范围.解:,由(1)中解t的表达式知,显然点P在椭圆的内部,3.成比例线段例8.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其焦距与长轴长之比为,过点C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段的比为2.（）用直线l的斜率k(k0)表示OAB的面积;（）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.答案：（）设椭圆E的方程为(ab0)，由e=a2=3b2 故椭圆方程

20、x2+3y2=3b2 1分设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（1，0）分有向线段的比为2，即 由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0 由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB= （）因SOAB=,当且仅当SOAB取得最大值 此时x1+x2=1,又=1 x1=1,x2=2 将x1,x2及k2=代入得3b2=5椭圆方程x2+3y2=5 4.与向量有关例9.设x、yR， i、j为直角坐标平面内x、y 轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,a+b=8.(1

21、)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由. 答案：(1)解法一：a=xi+(y+2)j, b=xi+(y-2) j，且a+b=8，点M(x,y)到两个定点F1(0，-2)，F2(0，2)的距离之和为8.(2)l过y轴上的点(0，3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.=0，P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.直线l的斜率存在，设l方程为y=kx+3，A(x1,y1),B(x2,y2) 此时，=(18k)2-4(4+3k2)(-21)0恒成立，

22、四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OAOB，即OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，x1x2+y1y2=0例10.椭圆x2+2y2=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB上解:即Q点轨迹方程是:2x+y=4 (在椭圆内部的部分,不含端点)5.轨迹问题例11. 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的

23、椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为（2）设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）例12. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：6.点差法例13. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A、B，为原点，且有直线OA、OB

24、斜率满足KOA·KOB=-1/2，求线段AB中点的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上两端同除以有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例14. 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于

25、该直线对称分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点的斜率，设直线的方程为由方程组消去得。于是，即点的坐标为点在直线上，解得将式代入式得，是椭圆上的两点，解得(法2)同解法1得出，即点坐标为，为椭圆上的两点，点在椭圆的内部，解得(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为，在椭圆上，两式相减得，即又直线，即。又点在直线上，。由，得点的坐标为以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1

26、)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式例15.(备用题)已知曲线M是由方程:的点所组成,其中c为正常数.(1)判断曲线M的形状,简单说明理由;(2)若直线交M于不同两点为P,Q,它们的中点为R,且,求曲线M的方程;(3)对于(2)中所求的曲线M,过点A(-2,0)的直线交M于B,C,交直线x=-9/2于点D,并且点A,D分BC所成的比分别为1,2,求证: 1+2=0.解:当c>3时,为双曲线;当0<c<3时,为椭圆.(3)略.高二A数学

27、讲义第七讲（140210）课后作业答案本试卷共18题，时间45分钟，满分100分）班级： 姓名： 一.填空选择题1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的焦距与长轴长之比为为( ) A B C D 解析 B . 2. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为( )A、0B、1C、2D、3解析 A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， 3. (广东广雅中学20082009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( )A B C D解析 D.

28、 ,两式相减得：，4. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的焦距与长轴长之比为 _. 解析 三角形三边的比是5、已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ C ）（A）2 （B）6 （C）4 （D）126.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；解：已知为所求；7、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;8. (广东省汕头市金山中学20082009学年高三第一次月考)已知A、B分别是椭圆的左右两个焦

29、点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，那么 的值为 。解析（1）点是线段的中点 是的中位线 又 椭圆的标准方程为=1 （2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理， 二.简答题1如图，A、B为两个定点，且 | AB | =2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线L 交MA于点P，请你建立适当的直角坐标系.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，O为坐标原点，试求OEF的面积. 答案：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂

30、直平分线为y轴，建立直角坐标系；则A（-，0），B（，0），| AP | + | PB | = | PA | + | PM | =42，P点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（4分）2a=4，2c=2，a=2，c=，b=1，P点的轨迹方程为+y2=1.（6分）（2）设E（x1，y1），F（x2，y2）即5y2-2y-3=0.解得y1=-，y2=1，设直线x-y+1=0与x轴的交点为P（-1，0）SOEF=SOPE+SOPF=| OP | | y1 | +| OP | · | y2 |=| OP | ·（| y1 | + | y2 |）=×1×.2、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2