2022年2022年高考数学_冲刺必考专题解析_数学应用题

1、学习必备欢迎下载数学应用性问题怎么解数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一 , 也是考生失分较多的一种题型 . 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题 . 解答这类问题的要害是深刻懂得题意 , 学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化 , 这就需要建立恰当的数学模型 , 这当中 , 函数 , 数列 , 不等式,排列组合是较为常见的模型 , 而三角 , 立几 , 解几等模型也应在复课时引起重视 .例 1 某校有教职员工 150 人,为了丰富教工的课余生活, 每天定时开放健身房和消遣室.据调查统计, 每次去健身房的人有 10%下次去消遣室, 而在消遣室的人有 20%下次去健身房 .可编辑资料

2、- - - 欢迎下载请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳固？讲解 :引入字母 , 转化为递归数列模型.设第 n 次去健身房的人数为an,去消遣室的人数为bn,就anbn150 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载aa9nn 1102bn 1109an 1102 15010an 1 7an 11030即an7an 11030 .可编辑资料 - - - 欢迎下载a n1007 an110100 ,于是 an100a11007 n 110可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载即an100 7 n 110a1100 .可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载lim an n100 . 故随着时间的推移,去健身房的人数稳固在100 人左右 .可编辑资料 - - - 欢迎下载上述解法中提炼的模型P.132 第 34 题）a7 ann11030 ,使我们联想到了课本典型习题（代数下册可编辑资料 - - - 欢迎下载已知数列a n的项中意可编辑资料 - - - 欢迎下载a1an 1b, cand可编辑资料 - - - 欢迎下载其中 c0, c1,证明这个数列的通项公式是可编辑资料 - - - 欢迎下载bc na ndbc n 1d.c1可编辑资料 - - - 欢迎下载好玩的是 , 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别 , 20XX 年全国

4、高考解答题中的应用题 下文例 9 就属此类模型.例 2 某人上午7 时乘摩托艇以匀速V 千米 / 小时（ 4 V 20）从 A 港动身前往50 千米处的 B 港,然后乘汽车以匀速W千米 / 小时（ 30 W100）自 B 港向 300 千米处的C 市驶去,在同一天的16 时至 21 时到达 C市 , 设汽车，摩托艇所需的时间分别是x 小时， y 小时,如可编辑资料 - - - 欢迎下载所需经费p10035x28y 元,那么 V，W分别为多少时,所需经费最少？并求可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载出这时所花的经费.讲解 :题中已知了字母,只需要建立不等式和函数模型进行求解.可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载由于 y50 及4V V100,2.5y12.5,同理3x10又 9xy14可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载P10035x28y1313x2y, 令z3x2 y. 就 z 最大时 P 最小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载作出可行域,可知过点（10,4）时 , z有最大值38, P 有最小值93,这时 V=12.5 , W=30.视 z3x2 y 这是整体思维的具体表达,当中的换元法是数学解题的常用方法.例 3 某铁路指挥部接到预报,24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失,指挥部准备在24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪埋

6、没正在紧急施工的遂道工程.经测算,其工程量除现有施工人员连续奋战外,仍需要20 辆翻斗车同时作业24 小时.但是, 除了有一辆车可以马上投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔20 分钟有一辆车到达并投入施工, 而指挥部最多可组织25 辆车.问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明可编辑资料 - - - 欢迎下载理由 .讲解 :引入字母 ,构建等差数列和不等式模型.由 20 辆车同时工作24 小时可完成全部工程可知,每辆车,每小时的工作效率为1,480可编辑资料 - - - 欢迎下载设从第一辆车投入施工算起,各车的工作时间为a1,a2, a25 小时,依题意它们组成公差d1 （小时）的

7、等差数列,且 3可编辑资料 - - - 欢迎下载a124,就有a1 480a 2480a254801,即 1 a12a 25 25480 ,化简可得2a18192 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载解得 a123 15,由于 23 1524 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可见 a1 的工作时间可以中意要求,即工程可以在24 小时内完成 .对比此题与20XX 年全国高考文科数学解答题中的应用题,你确定会感觉二者的解法是 大同小异的 . 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想 ,力求查找恰当的解题方案.2例 4 某学校为了教职工的住房问题,方案征用一

8、块土地盖一幢总建筑面积为Am 的宿舍楼 . 已知土地的征用费为2388 元/m2,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层2的 2.5 倍. 经工程技术人员核算,第一，二层的建筑费用相同都为445 元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加30 元/m . 试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用 . （总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解 :想想看 ,需要引入哪些字母. 怎样建构数学模型.可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载设楼高为n 层,总费用为y 元,就征地面积为费用为2.5 A m 2 ,征地费用为n5970 A 元,

9、楼层建筑n可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载445+445+ （ 445+30）+（ 445+30× 2） +445+30×（ n 2） · An元,从而15n30n400 A可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载y5970An15nA30 An400A15n6000n400 A1000A （元）可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当600015nn, n=20（层）时,总费用y 最少 .可编辑资料 - - - 欢迎下载故当这幢宿舍楼的楼高层数为20 层时 ,最少总费用为1000A 元.实际应用题的数列模型

10、是近两年高考命题的热门话题,涉及到等差数列,等比数列 ,递归数列等学问点,化归转化是解答的通性同法.例 5在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h ,同时岸边有一人 , 从同一地点开头追赶小船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h., 问此人能否追上小船. 如小船速度转变,就小船能被人追上的最大速度是多少？讲解 :不妨画一个图形, 将文字语言翻译为图形语言,进而想法建立数学模型.可编辑资料 - - - 欢迎下载设船速为v,明显 v4km/ h 时人是不行能追上小船,当

11、0v2 km/h 时,人不必在岸可编辑资料 - - - 欢迎下载上跑, 而只要马上从同一地点直接下水就可以追上小船,因此只要考虑2v4 的情形, 由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶,当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时,人才能追上小船.设船速为v,人追上船所用可编辑资料 - - - 欢迎下载时间为 t ,人在岸上跑的时间为kt 0k1,就人在水中游的时间可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载为 1Bkt ,人要追上小船,就人船运动的路线中意如以下图的三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载| OA |4 kt,|AB |21kt,| OB| vt , 由余弦是理得vt21kt可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载| AB |2| OA |2| OB | 22 | OA | OB | cos1515°O4ktA可编辑资料 - - - 欢迎下载即 41k 2 t 24kt 2vt 22.4ktvt624可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载整理得12k 2 262 v8 kv 240 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载要使上式在 （0,1）范 围内有实数解,就有0v

13、 24且112可编辑资料 - - - 欢迎下载 2622 v824 12 v40可编辑资料 - - - 欢迎下载解得 2v22 ,即vmax22km / h .可编辑资料 - - - 欢迎下载故当船速在 2,22 内时, 人船运动路线可物成三角形,即人能追上小船,船能使人追上可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载的最大速度为22 km / h ,由此可见当船速为2.5 km/ h 时,人可以追上小船.可编辑资料 - - - 欢迎下载涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点,复课时值得关注.例 6一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度d

14、 的平方成正比,与它的长度l 的平方成反比.a 成正比,与它的厚度（ 1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度）,枕木的安全负荷变大吗？为什么？（ 2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材,用它来截取成长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大？l可编辑资料 - - - 欢迎下载讲解 : （ 1）安全负荷y1ad 2kl 2da k 为正常数）翻转 90后, y2da2kl 2可编辑资料 - - - 欢迎下载y1d,当0dy2a小.a时, y1,安全负荷变大.4 分当0y2ad时, y2y1 ,安全负荷变可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载（2）如图,设截取的宽为a,高为 d,就 a 2d 22R 2 ,即a 24d 24 R2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载枕木长度不变,u=ad2 最大时,安全负荷最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载ud2a2d 24R24d 22d 4 R 2d2 可编辑资料 - - - 欢迎下载223dd22可编辑资料 - - - 欢迎下载d 2d 2422 R2d 2 42Rd 23可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3243 R ,当且仅当d 92R2d2 ,即取 d6 R ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载取 a2R2d 223 R 时, u 最

16、大,即安全负荷最大. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解,假如学过导数学问,其解法就更为便利,省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.例 7已知甲，乙，丙三种食物的维生素A，B 含量及成本如下表,如用甲，乙，丙三种食物各x 千克, y 千克, z 千克配成100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有56000 单位维生素A 和 63000 单位维生素B.甲乙丙维生素 A（单位/ 千克）600700400维生素 B（单位/ 千克）800400500成本（元 / 千克）1194（ 1）用 x,y 表示混合食物成本c 元.（ 2）确定 x, y

17、, z 的值,使成本最低.可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载讲解 : （ 1）依题意得c11x9y4z,又xyz100c4007x5y .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（2）由600 x800 x700 y400 y400 z500 z56000, 及z63000100xy ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4x6 y3xy320 ,130可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载7x5 y450.c4007 x5 y400450850,可编辑资料 - - -

18、 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当4 x3x6 y320x,即y130y50 时等号成立 .,可编辑资料 - - - 欢迎下载20当 x=50 千克, y=20 千克, z=30 千克时,混合物成本最低为850 元.线性规划是高中数学的新增内容,涉及此类问题的求解仍可利用图解法,试试看 .可编辑资料 - - - 欢迎下载例 8随着机构改革工作的深化进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a 人可编辑资料 - - - 欢迎下载（140< 2a <420,且 a 为偶数）,每人每年可创利b 万元 . 据评估, 在经营条件不变的前提下,可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、每裁员 1 人,就留岗职员每人每年 多创利0.01b 万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的益,该公司应裁员多少人？讲解设裁员 x 人,可获得的经济效益为y 万元 , 就3 ,为获得最大的经济效4可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载y 2ax b0.01bx0.4bx可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载=b100 x 232a70 x2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载依题意2ax 2a 4可编辑资料 - - -

20、 欢迎下载0< x a .2又 140< 2a <420, 70<a <210.可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 当 0< a70a, 即 70< a 140 时, x2a70,y 取到最大值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 当 a70 > a , 即 140< a <210 时, x2a ,y 取到最大值 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载综上所述,当70< a 140 时,应裁员 a70 人.当 140< a <210 时,应裁员a 人.2可编辑资料 - - - 欢迎下载在多字母的数学问题当中,

21、分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？例 9某城市 20XX年末汽车保有量为30 万辆, 估量此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同. 为爱惜城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆.可编辑资料 - - - 欢迎下载讲解设 20XX年末汽车保有量为辆,每年新增汽车x 万辆,就b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2 万辆, b3 万可编辑资料 - - - 欢迎下载b130 , bn 10.94bnx可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载所以,当 n2 时, bn0.94

22、bn 1x ,两式相减得：bn 1bn0.94 bnbn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）明显,如b2b10 ,就 bn 1bnbnbn 10 ,即 bnb130 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载此时 x30300.941.8.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2）如 b2b10 ,就数列bn 1bn为以 b2b1x0.06b1x1.8 为首项,以可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载0.94 为公比的等比数列,所以,bn 1bn0.94nx1.8 .可编辑资

23、料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ i ） 如b2b10 , 就 对 于 任 意 正 整 数 n , 均 有bn 1bn0 , 所 以 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载bn 1bnb130 ,此时, x30300.941.8.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ ii）当 x1.8万 时,b2b10 ,就对于任意正整数n ,均有 bn 1bn0 ,所以,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载bn 1bnb130 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载由

24、bn 1bn0.94 nx1.8 ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载bnbnbn 1bn 1bn 2b2b1b1b2b110.94n 130可编辑资料 - - - 欢迎下载10.94可编辑资料 - - - 欢迎下载x1.810.060.94 n 130 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载要使对于任意正整数n ,均有 bn60 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载x1.8 1即0.94 n 13060可编辑资料 - - - 欢迎下载0.06对于任意正整数n 恒成立,解这个关于x 的一元一次不等式

25、,得可编辑资料 - - - 欢迎下载上 式 恒 成 立 的 条 件 为 ： xx11.81.80.94n1.81.8 , 由 于 关 于 n 的 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载10.94 n在n N上 的 最 小 值可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载fn1.810.94n1.8 单调递减,所以,x3.6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载此题是 20XX 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题,其分别变量后又转化为函数的最值问题.例 10为促进个人住房商品化的进程,我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和

26、商业性贷款利率如下：贷款期 年数 公积金贷款月利率 商业性贷款月利率 可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载114.3655.025124.4555.025134.5455.025144.6355.025154.7255.025汪先生家要购买一套商品房,方案贷款25 万元, 其中公积金贷款10 万元, 分十二年仍清.商业贷款15 万元,分十五年仍清每种贷款分别按月等额仍款,问：(1) 汪先生家每月应仍款多少元.144144180(2) 在第十二年底汪先生家仍清了公积金贷款,假如他想把余下的商业贷款也一次性仍清.那么他家在这个月的仍款总数是多少.可编辑资料 - - - 欢迎下载参考数据

27、： 1.004455 1.8966 , 1.005025 2.0581 , 1.005025 2.4651可编辑资料 - - - 欢迎下载讲解设月利率为r ,每月仍款数为a 元,总贷款数为A元,仍款期限为n 月第 1 月末欠款数A1 r a2第 2 月末欠款数 A1 r a1 r a A 1 r a 1 r a232第 3 月末欠款数 A1 r a 1 r a1 r a可编辑资料 - - - 欢迎下载 A1 r a 1 r a1 r a可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载第 n 月末欠款数A1r na1r n 1a1r n 2a1r a0可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载得： aA1r nr1r n1可编辑资料 - - - 欢迎下载对于 12 年期的 10 万元贷款, n 144, r 4.455 可编辑资料 - - - 欢迎下载 a1000001.0044551440.0044551.0044551441942.37可编辑资料 - - - 欢迎下载对于 15 年期的 15 万元贷款, n 180, r 5.025 可编辑资料 - - - 欢迎下载 a1500001.0050251800.0050251.00502518011268.22可编辑资料 - - - 欢迎下载由此可知, 汪先生家前12 年每月仍款942.37 1268.22 2210.59元,后

29、 3 年每月仍款1268.22 元2 至 12 年末,汪先生家按方案仍款以后仍欠商业贷款可编辑资料 - - - 欢迎下载XA1r 1 4 4 a1r 1 4 3 a1r 1 4 2a1r a可编辑资料 - - - 欢迎下载其中 A 150000, a 1268.22 , r 5.025 X 41669.53再加上当月的方案仍款数2210.59 元,当月共仍款43880.12 元需要提及的是,此题的运算假如不许用运算器,就要用到二项开放式进行估算,这在20XX年全国高考第（12）题中得到考查.例 11医学上为争论传染病传播中病毒细胞的进展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验,经检测

30、,病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108 的时候小白鼠将死亡但注射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的98%（ 1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）天数t病毒细胞总数N11223448516632764（ 2）其次次最迟应在何时注射该种药物,才能保护小白鼠的生命？（精确到天）已知： lg 2=0.3010 可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载讲解 （ 1）由题意病毒细胞关于时间n 的函数为y2 n 1 ,就由 2n 1810 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载

31、可编辑资料 - - - 欢迎下载两边取对数得 n1 lg 28,n27.5,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载即第一次最迟应在第27 天注射该种药物.226（ 2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为x2262% ,可编辑资料 - - - 欢迎下载8再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为2%2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载由题意2 262%2 x 10 ,两边取对数得可编辑资料 - - - 欢迎下载26lg 2lg 22x lg 28,得x6.2,可编辑资料 - - - 欢迎下载故再经过6 天必需注射药物,即其次次应在第33 天注射药物此题反映的解题技巧是“两边取对数”,这对实施指数运算是很有效的.例 12 有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方米,每天流出湖泊的水量都是 r 立方米,现假设下雨和蒸发正好平稳,且污染物质与湖水能很好地混合,用 g t 表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污染物质的克数, 我