例谈数学解决问题的过程训练

1、例谈数学解决问题的过程训练苏州市教育科学研究院 朱红伟数学教育在于使学生在学习的过程中培养良好的数学素养，并能借助于这些素养，来解决他们在生活和工作中遇到的数学问题，进而可以用数学解决的其它问题，就是运用“数学化”的思维习惯去描述、分析、解决问题。教师在具体的教学中，应收集并提供一些源于实际的学科知识素材，创设一定的问题的情境，引导学生能以数学的眼光，从现实生活中发现问题和提出问题，并探索出解问题的有效方法和策略，这样才能真正体现出数学的价值。对学生数学问题解决能力的培养不是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程，依据学生解决问题的过程来进行分解或整合训练，是较为有效的训练方式。布朗斯福特和斯特恩

2、的五步问题解决过程包括：问题识别、问题表征、策略选择、策略应用、结果评价；而著名心理学家斯腾伯格提出的问题解决过程包括六个步骤：问题的确认、问题的定义、问题解决策略的形成、问题的表征、资源的分配以及监控和评估。笔者认为，在解决实际问题的过程中，小学生解决问题的过程可以具体表达为这几步：数学问题的识别，信息的收集和整理，解决方法和策略的寻找，解决过程的正确表达，解决问题的反思和评价。笔者在对本市的一些小学数学教学质量的调研中发现，由于教师只是笼统的关注了题目是否做对，没有而在教学中对解决问题的过程进行比较细致的专项训练，使得学生解决实际问题的能力提高不快。事实上，教师在教学过程中，特别是在解决实

3、际问题的教学中，要根据不同年段教材的特点，根据不同发展时期学生认知的规律，有意识地对学生进行单项或综合地训练，从而真正提高学生解决实际问题的能力。1数学问题的识别所谓的数学问题识别是指学生能透过具体情景，意识到自己正面临着一个数学问题。只有意识到数学问题的存在，是什么数学问题，才有可能去着手解决问题，这是解决问题的起点，是解决问题的一个十分重要的步骤。同时，我们还要对数学问题进行必要的识别，识别出各类问题的特征，为后续解决问题作好最初地准备。【例1】实验小学500人去电影院看电影。小红手中的座位票21排38号，是最后一个座位，请你估一估，电影院的座位够吗？ (三年级)学生看见题目后，不应该是简

4、单的猜测，而是应该意识到座位是否够，与电影院拥有的座位数有关，只要能求出“电影院的座位一共有多少个”，“够不够”的问题就解决了。【例2】体育运动中心新建一个长方形的游泳池，游泳池的长50米，宽20米，深1.8米。问：（1）这个游泳池的占地面积是多少？（2）如果给游泳池内壁贴边长为4分米的磁砖，大约需要多少块？（3）小明测了一下，水面距池口有20厘米，池中大约放了多少水？（六年级）从题目来看，除了第一个问题是具体的数学问题外，后面两个问题都是生活问题，这就要求学生会用数学的眼光来分析，善于将生活问题转化为数学问题，即第二个问题实际上和求长方体的表面积有关，因为贴瓷砖的是游泳池，所以根据生活常识可

5、以知道，所贴的应该是这个长方体除了上面以外的五个面；第三个问题与求长方体的体积有关，只有正确识别了问题，才能合理思考和解答。问题意识不仅体现了个体思维品质的活跃性和深刻性，也反映了思维的独立性和创造性。强烈的问题意识，作为思维的动力，促使学生去发现问题，解决问题，乃至进行新的发现与创新。所以，问题是解决问题的出发点。没有问题就不会有解释问题和解决问题的思想方法，所以说，问题是思想方法、知识积累和发展的关键，是生长新思想、新方法、新知识的种子。在数学教学过程中，教师经常有意识地进行地训练，对培养学生的问题意识，乃至数学意识十分重要。能够使我们的学生用数学的眼光，来看待生活中的一些问题和现象，能将

6、很多生活中的实际问题“翻译”成数学问题，必定会大大提高学生解决问题的意识和能力。2信息的收集和整理当学生一旦意识到需要解决的问题后，首先要知道拥有哪些信息，再根据问题来分析哪些是解决问题的有效信息。实际上，学生收集信息和整理信息的过程，也就是学生思考问题分析问题的过程，要有意识让学生能找找问题中哪些是相关联的数量，想想这些相关联的数量可以解决什么问题，或者根据问题思考，运用哪些相关联的数量可以解答这个问题。【例3】小军参加了学校的篮球队，经过一段时间的训练，他的投篮命中率最低为50%，最高达75%，现在他要投中15个球，最少只要投篮多少次？（命中率：投中个数占投篮个数的百分比）(六年级)题目中

7、出现了两个命中率，需要对信息进行分析，确定哪个命中率符合解题的要求。由于问题是投篮次数要尽可能少，则命中率必须要高，所以应选择命中率是75。这一题就需要对题目中提供的条件根据数学问题进行分析、筛选，选择出能解决问题的有用条件，然后再来解答。【例4】小亮每天的生活很有规律，右图是他每天上床睡觉和起床的时间。他每天大约有几分之几的时间处于睡眠状态？（五年级）从文字叙述中，只能看见需要解决的问题，而看不见解决问题应该具备的条件，但从配套的图中可以发现，小亮每天睡觉的时间是晚上九时到次日早晨六时，利用这一条件可以解决小亮睡眠的时间。题目中虽然没有说明一天有24时，但这一条件学生根据生活经验应该知道的，

8、这样，通过对题中相关信息的收集和整理，通过利用日常生活的经验，来完善解决问题所需要的相关条件，问题就迎刃而解了。我们要根据数学问题来确定需要哪些信息。数学信息收集的途径很多，可以通过从文字叙述中来收集，可以从配套图例中来寻找，可以从题中提供的图表中摘录，也可以借助生活经验来补充，等等。【例5】从甲地到乙地，上坡路占，平坦路占，其余的是下坡路。一辆汽车在甲乙两地往返一次，共行下坡路42千米。甲乙两地的路程是多少千米？（六年级）题中已经知道下坡路在往返的过程中一共行了42千米，要求甲乙两地的路程，可以利用已知的路程和它所对应的分率来解答。提供画出简易草图，我们很容易看出，汽车从甲地到乙地时，下坡路

9、行了，返回时，原来的上坡路就是下坡路，也就是返回时下坡路行了，这样，通过对信息的整理，很容易就找到了对应关系，问题的解答就容易了。我们要引导学生掌握科学的整理方法，让学生能根据具体的问题，选择不同整理信息的方法，如：摘录条件，给条件排序，列表，画草图或线段图，等等。在整理信息的同时，分析数量之间的关系。因此，数学信息收集和整理的过程也是学生思考、整理、加工、排除干扰因素的过程，经过分析、综合、判断、推理等思维过程，为有序地解决问题作好充分的准备。3解决方法和策略的寻找问题解决的方法和策略是多种多样的。不同的问题，会因为问题的内容和性质的不同，出现不同的方法和策略；同一个问题，会因为学生知识背景

10、的不同，智能发展的差异，出现各种不同解决问题的方法和策略。【例6】一台机床有一对互相咬合的齿轮，已知大齿轮半径为厘米，小齿轮半径为厘米，当大车轮转动周后，小齿轮转动多少周？（六年级）方法一 利用周长解题由于两个齿轮是互相咬合，所以它们经过的周长是一样的，可以先求出大齿轮的周长是：4×2×3.14=25.12(厘米)大齿轮经过的总长度是:25.12×6=150.72(厘米)这样,小齿轮经过的总长度也是150.72厘米,可以求出小齿轮转动的周数是:150.72÷(2×2×3.14)=12(周)方法二 利用反比例关系解题由于两个齿轮是互相咬

11、合, 它们经过的长度相等,可以利用反比例来解题。 解：设小齿轮转动x周。4×2×3.14×6=2×2×3.14×x 4×6=2×x x=12方法三 利用倍数关系解题 因为两个齿轮是互相咬合, 它们经过的总长度相等，又因为大齿轮的半经是小齿轮的2倍，也就是大齿轮的周长是小齿轮周长的2倍，所以大齿轮转动一周相当于小齿轮转动两周，所以可以这样解答： 6×（4÷2）12（周）从这里我们可以得到发现，即使同一个问题，即使都是正确的思考方法，我们也要根据具体的问题来全面分析，只有把握了具体情景中的问题，才能

12、选择合理的、优化的解决问题的方法和策略。【例7】旅行社有甲、乙两种面包车，甲车可乘12人，每辆租金为120元；乙车可乘18人，每辆租金160元。旅行团有58人，怎样租车最省钱？(四年级)了解了这道题的信息后，我们发现，依靠日常的数量之间的关系很难解决，必须进行分析，来确定解决问题的方法。要使得用的钱最省，无非要考虑两个因素：一是要尽可能租单价低的车辆，二是要尽可能使每辆车坐最多的人。从这两点深入研究，我们可以知道，乙车的单价比较便宜，所以应尽可能租用乙车，根据总人数是58人，可以知道乙最多租4辆，这样的话，共需160×4640元；如果租3辆乙车，余下的人数还需1辆甲车，共需160&#

13、215;3120600元；如果乙车租2辆，余下的人数还要租2辆甲车，共需160×2120×2560元；如果乙车租1辆，余下的人数还要租4辆甲车，共需160120×4640元；如果全租甲车，则需要5辆甲车，共需120×5600元。因此，租2辆甲车和2辆乙车最省钱。从这道题的思考过程来看，我们首先要确定解答问题的方向和突破口，确定从哪里入手最容易把握，然后在一定的范围内进行列举，再对各种方案进行比较，筛选出比较好的解决问题的方案。教师在实际教学中要给学生渗透一些数学思想，如：符号思想、化归思想、对应思想、模型思想、转换思想等等；同时也要教给学生一些数学方法，

14、如：观察与实验、演绎与归纳、比较与分类、分析与综合、抽象与概括、类比与映射、猜想与联想等等。鼓励学生从多角度分析、思考问题，寻找不同的解题方法和策略，从而提高学生解决问题的能力。4解决过程的正确表达我国的数学课程标准确定“解决问题”教学目标要强调让学生“能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果”。 德国也在数学教学的分类学习目标中又提出“运用数学方法表述某些客观环境现象的能力，即认识、发现客观外界中事 物的数学关系，并用数学语言表述这种关系。” 由此可见，能用简单的数学的语言有层次地表达思考问题的过程与结果，是培养学生解决问题能力的一个重要方面。795887语文数学英语平均分【例8】下面是小

15、王单元考试的成绩记载表，表中有两个数字不清楚，分别用字母A、B表示这两个数字，求、各代表什么？（五年级） 通过对问题中的信息进行分析、思考，可以确定只要先算出总分，再减去语文的成绩，就是数学和英语的总分： 87×379182（分） 但由于A和8都是十位上的数，有的学生理解意思，却不能准确表达出它的数值，导致无法正确解答。 实际上既可以把十位上的8和个位上5合起来看作一个数，将AB看作一个数，则：1828597，所以，A是9，B是7。 也可以根据5加B的末位是2推理出B只能是7，然后用1828795，知道A是9。很多学生在数学解题时，解题格式不规范，很少有必要的文字说明，或对出现的数学

16、量符号不作交待，等等，都会导致解题过程思路混乱和错误。正如伽利略所说：“自然界的伟大的书是用数学语言写成的。”一切数学的应用，都是以数学语言为其表征的。数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段。要有意识地引导学生学会用简明准确的数学语言来表述有关数学问题。【例9】下表的红框中两个数的和是3。在表中移动这个红框，可以使每次框出的两个数的和各不相同。（1）一共可以得到多少个不同的和？12345678910（2）如果每次框出3个数，一共可以得到多少个不同的和？（3）如果每次框出4个数、5个数呢？再试着框一框，看看分别能得到多少个不同的和？（4）你能发现什么规律？（五年级）十个数，每次框出2个

17、数从左往右依次移动红框，可以移动8次，得到（81）个不同的和。十个数，每次框出3个数从左往右依次移动红框，可以移动7次，得到（71）个不同的和。十个数，每次框出4个数从左往右依次移动红框，可以移动6次，得到（61）个不同的和。用文字表达的话，既烦琐也不能很快看出规律。如果用表格来表达的话，通过比较能很快发现规律。总数每次框几个数平移的次数得到几个不同的和10289103781046710556在解答问题的过程中，有时不是都能用算式等来表示出问题思考的过程和结果的，有时也可能需要借助列表、画图、列举、文字叙述等方式来表达的，只要能够表达地清晰、有序，表达地有利于分析、解释，就是合理地表达。5解决

18、问题的反思和评价解决问题的反思考和评价作为解决问题过程的一个重要组成部分，是问题者对解决问题的过程和结果的把握和关注，能确保解决问题的过程的合理、有效，是获得成功的一种基本能力，只有具备了解决问题的反思和评价能力才能即使发现和纠正错误或偏差，才能确保成功解决问题。【例10】陈师傅要把长18厘米，宽13厘米，高6厘米的长方体木块锯成棱长3厘米的正方体木块。他能锯多少块这样的正方体？ (六年级) 从题目看，要求大长方体可以分割成多少个小正方体，学生一般采用的方法是用大体积除以小体积，可以这样算：18×13×6÷（3×3×3）52（个）如果这样计算，所得到的结果是不正确的。因为宽边是1