数学开放题教学探索和实践

1、数学开放题教学的探索和实践摘要：高中数学新课程标准要求数学教师转变教师观，教师由数学课程的执行者转变为数学课程的研究者、开发者。以培养学生的创新意识和实践能力为宗旨的新课程改革得以大张旗鼓的开展。开放题教学是创新教学的一种模式，其宗旨是通过开放性问题的解决，促进学生的自主活动和积极思考，从而使学生的知识与技能、思想与与方法、兴趣和爱好等得到和谐的发展。我们以开放题为一个切入口，通过数学开放题教学的开展，拓宽学生的学习空间，给学生留下充分的自由度，使学生在教学过程中回归到主体地位，极大地提高学生的创造性能力，培养勇于探索的精神，提高实践能力。我们对什么是开放题、开放题的分类、开放题的特征、开放题

2、的教学价值、开放题的编制原则、开放题的教学策略等方面进行了探索和实践。关键词：数学开发题的特征、教育功能、设计原则、编制方法、教学策略 当前的各行各业都在呼唤具有创新精神实践能力的新型人才，而我们的传统教育是以教师为中心，学生是知识的接受器，教师的任务是“传道、授业、解惑”，教学模式不适应时代的需要，造成培养的人才创新能力不强，思维不具开放性，个性没有得到充分发展。教材中的习题基本上是为使学生了解和牢记现有数学的结论而设计的，致使学生在学习过程中产生了死记硬背替代主动参与，以机械方法代替智力活动的倾向，为了改变这一现状首先必须改革学校现有的课程教学，改变学生的现有的学习方式。高中数学新课程标准

3、应运而生，高中数学新课程标准要求数学教师转变教师观，教师由数学课程的执行者转变为数学课程的研究者、开发者。研究性学习轰轰烈烈地开展了起来，但都还停留在探索阶段，还没有形成有效的模式。研究性学习的开展要有合适的载体，作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥。我们选择了开放题教学作为一个切入口，作为研究性学习的一种模式，从开放题教学的教育价值来看，它是一个非常合适的一个载体。一 数学开放题及其特征关于开放题的含义，还没有统一的的界定。一般认为开放题是相对于明确条件和结论的封闭型习题而言的，是一种能引起学生发散性思维的数学习题。这种题型的条件、问题变化不定型，有

4、的条件隐蔽，有的条件多余，有的结论不唯一，有的解法多种。数学开放题的常见题型，按命题要素的发散倾向分为条件开放型、方法开放型、结论开放型、综合开放型；按解题目标的操作摸式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、数学建模型、问题探求型、情景研究型；按信息过程的训练价值分为信息迁移型、知识巩固型、知识发散型；按问题答案的机构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型。根据我们的研究，数学开放题一般具有以下特征：1所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。2没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程

5、中往往需要从多个角度进行思考和探索。3有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。4常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。5在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。6能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。7教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者和指导者。开放题的内容丰富、形式多样、解题思路发散，为学生提供了充分发挥创新意识和创新精神的途径。二 数学

6、开放题的教育功能我们的研究认为数学开放题的教学可以达到六个“有利于”的教学功能：1、有利于培养学生分析解决问题的能力。由于学生在解答开放题时，会表现出不同层次、多种水平的解答方案：有的学生可能只找到一种答案，有的学生能找到多种答案。不同的解答方案和结果会表现出不同的思维水平。学生通过探索的过程、寻找方法和计算的过程，变简单机械模仿过程逐步上升为深化提高知识的过程。在这样的解题过程中，学生的分析问题、解决问题的能力得到培养和提高。2、有利于强化学生的创新意识。传统的封闭性题目答案是唯一的，学生往往找到一个答案就不必也不再进一步思考了。而开放题的答案一般需要根据不同的条件选择不同的结果。这样，可以

7、培养学生不断进取的精神，强化学生的创新意识，提高学生养成创新习惯的自觉性。3、有利于减轻学生的过重负担。学生在解开放题时，不是机械性地就题论题，而是要从众多的模式中选择自己所需的模式，多方面思考解决问题。这样可以使学生举一反三、触类旁通，用最少的时间，做最小量的题目，但能获取较多的知识，从而提高做题的质量，把学生从繁重的作业堆里解放出来，大大减轻学生课业的过重负担。4、有利于形成宽松的教学氛围。由于开放题可达到教学形式的开放，使学生的学习可以是个别竞争，也可以合作完成；可以是畅所欲言，也可以是实践操作。教学时，教师不再把学生一个个扶过河，而是充分信任学生，放手让学生自己开放思路学会过河。在这一

8、过程中，师生之间的教学关系已开放为平等的合作伙伴关系，学生可以怀着轻松、愉快的心情进行学习。这样，教师的教是为学生的学习和探索服务的，并以学生的主动性的发挥作为教师主导水平的标准。这样做，有利于形成宽松和谐的课堂教学氛围。 5、有利于培养学生的思维品质。开放题的教学，变单一的由教师讲解提问为师生共同研究问题的知识与能力的综合训练，变个体操作为集中交流合作，并触发思维的火花。这样，把开放性问题融入课堂教学中，可有效地激发学生敢于从多角度去思考问题，主动参与知识的建构过程，从而培养与发展学生思维的深刻性、广阔性、灵活性和创造性等良好品质。6、有利于学生体验数学的价值。由于开放题题材多数贴近学生生活

9、实际，吸收并引进与现代工农业生产、科技等密切相关的具有时代性、地方性的数学信息资料，以丰富学生的数学认识。使学生把学习延伸到与之联系的现实生活中，并拓宽获得相关领域的新知识，从而认识到数学的价值，体验数学的本质。三 数学开放题的设计原则好的数学开放题，教学时才能充分体现出其教学价值。因此，设计开放题时应遵循以下八个原则。1、思维性原则。开放题的设计应对教材进一步去补充和拓宽、挖掘教材内容的思维因素，从而构建基础性的训练与探索性、思维性训练相结合的习题体系，培养学生思维的创造性。2、开放性原则。开放题的设计应立足于教材内容与学生的基础知识，注意避免不从客观实际出发的主观主义和追求形式的做法，要依

10、据学生的认知规律，有利于开放学生的思维，培养学生思维的开放性。3、灵活性原则。开放题设计形式应灵活多样，生动活泼，不拘一格，可以是一题多解、一题多问等，除文字叙述外，可以配合表格、图画等形式呈现活化状态。4、层次性原则。根据学生的个性发展及差异性，设计开放题应讲究梯度，由浅入深，拾级而上，螺旋上升，层层开放，促进学生往更深层次去思考问题。5、挑战性原则。开放题设计要以接受程度的可能性，不要太繁、太偏、太难、太怪。要让学生通过不同形式的跳法，都能摘到果子。或让学生通过不同途径去选择较优的跳法摘到果子。6、适时性原则。开放题设计要善于捕抓时机，看准火候，可建立起课内外、校内外相结合的教育空间体系，

11、见缝插针，适时运用。真正使开放题起到开放、活化作用。7、操作性原则。开放题设计要增加动手操作及社会实践内容的题目。让学生通过摆一摆、拼一拼、画一画等操作过程，培养学生动手操作能力和实践能力。8、实用性原则。设计开放题要紧密联系生活实际，多设计一些面向生活的开放题。把生活问题提炼为数学问题，调动生活经验用于数学问题的创造性活动积极性，以利于学生运用所学知识解决实际问题，体会数学的实用价值，体验数学知识来源于生活，又服务于生活的真谛。四 数学开放题的编制方法无论是改造陈题，还是自创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充，在研

12、究型课程中适合学生研究性学习的开放题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点。用于研究性学习的开放题尽量能有利于解题者充分利用自己已有的数学知识和能力解决问题。编制的开放题应体现某一完整的数学思想方法，具有鲜明的数学特色，帮助解题者理解什么是数学，为什么要学习数学，以及怎样学习数学。开放题的编制不仅是教师的任务，它的编制本身也可以成为学生研究性学习的一项内容。数学开放题的编制方法：1.以一定的知识结构为依托，从知识网络的交汇点寻找编制问题的切入点。能力是以知识为基础的，但掌握知识并不一定具备能力，以一定的知识为背景，编制出开放题，面对实际问题情景，学生可以分析问题情景，根据自己的理解构造具体的数

13、学问题，然后尝试求解形成的数学问题并完成解答.2.以某一数学定理或公设为依据，编制开放题。数学中的定理或公设是数学学习的重要依据，中学生的学习特别是研究性学习常常是已有的定理并不需要学生掌握，或者是学生暂时还不知道，因此我们可以设计适当的问题情景，让学生进行探究，通过自己的努力去发现一般规律，体验研究的乐趣。3.从封闭题出发引申出开放题。我们平时所用习题多是具有完备的条件和确定的答案，把它称之为封闭题，在原有封闭性问题基础上，使学生的思维向纵深发展，发散开去，能够启发学生有独创性的理解，就有可能形成开放题。在研究性学习中首先呈现给学生封闭题，解答完之后，进一步引导学生进行探究，如探究更一般的结

14、论，探究更多的情形，或探究该结论成立的其它条件等等。4为体现或重现某一数学研究方法编制开放题。数学家的研究方法蕴涵深刻的数学思想，在数学研究性学习中让学生亲身体验数学家的某些研究，做小科学家，点燃埋藏在学生心灵深处的智慧火种。以此为着眼点编制开放题，其教育价值是不言而喻的。5以实际问题为背景，体现数学的应用价值编制开放题。在实际问题中，条件往往不能完全确定，即条件的不确定性是自然形成的或是实际需要，其不确定性是合理的。如包装的外型，花圃的图案，工程的图纸这些是需要设计的，而由于考虑的角度不同，设计者的知识背景、价值判断不同，得出的方案也会不同。以实际问题为背景，编制出设计类型的开放题，用于研究

15、性学习，可以培养学生创新精神和实践能力。五 数学开放题教学的策略所谓教学策略是当教学目标确定以后，根据已定的教学任务和学生的特征，有针对性地选择和组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和手段，从而形成具有效率意义的特定的教学方案。教学策略具有综合性、可操作性和灵活性的特点。教学策略都是以构成教学过程的主要因素为中心，形成策略框架，将其它相关要素有机地依附于这个中心上，形成相对完整的策略。据此可按教学策略的构成要素区分为内容型、形式型和方法型。所谓内容型策略是指如何有效地提供学习内容，是教学策略的核心。形式型策略是以教学组织形式为中心的策略。方法型策略是以教学方法为中心的策略。对应教学策略的

16、三种基本类型，我们提出开放题教学策略分别为渗透型、主体型和元认知型。1 渗透型教学策略开放题取材背景广泛，如生活、应用、趣味等方面，但因其条件不充分、方法多样、思维空间大、思维难度高等特点，学生解题往往感到困惑，不知如何下手等。因此，教学中如何针对性地选择开放题，使题目涉及的知识和方法比较接近于学生现有的实际水平，显得非常重要。这正是渗透型教学策略的原因所在。所谓渗透型教学策略是指教学内容的选取策略，即指课堂教学中开放题的选取和教材知识点有机地结合。这样，不仅使题目涉及的知识和方法接近于学生的实际水平，更重要的是使学生熟练掌握所学的知识并能灵活的应用。渗透型教学策略的操作包括两种方式：一是教材

17、中的例、习题改造成开放题；二是结合教材知识点编造趣味性、应用性的开放题。2 主体策略因为学生是学习的主体，所以在教学中应发挥学生的主体作用，在开放题教学中更应如此。因为，开放题特征告诉我们，解开放题没有固定的程序可以遵守，要求学生除具有必备的知识储备，熟悉常规思考问题的方法(如一般与特殊、同向思维和异向思维等)外，更重要的是学生对题目条件的深刻分析与理解，以及数学思维的纯熟运用。因此，开放题的教学不是一种解题模式的训练，而是分析问题、解决问题以及创新意识和创新能力的培养。模式的训练是一种机械的被动的行为，个体仅是接受。而能力的培养是主动的积极的行为，个体需要同化、顺应、顿悟和发展。所谓主体型策

18、略是指教学方式选取的策略，即在教学过程中，对问题的分析、求解和论证，学生始终处于积极的主动的状态，而不是被动的接受状态；教师是问题解决的参与者，教师的作用仅是提示、引导和评价。主体型教学策略的重要性不只是反映在观念上，而是要落实在具体的教学措施上。在教学中主要采用了以下措施：（1）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境。采用多种方式呈现题目，如实物、多媒体画面、动感的图形等。（2）从学生已有的经验出发提出问题，引起学生对结论有迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置。（3）课堂教学中留出相对充分的时间给学生，让学生自由发言、讨论。打破教师根据事先准备控制课堂教学过程的习惯，代之形成根

19、据学生课堂的反应确定教学过程的习惯。（4）让学生编题并解答。教会学生开放题的编制方法，让学生自己编题，并在课堂上讨论解决。（5）采用集体教学、小组教学、个别教学相结合的方式。合理分组让小组成员能畅所欲言，并让不同学习水平的学生，解决不同的层次的问题。3 元认知策略元认知是主体对自身所从事的认知活动的自我意识、自我评价和自我调整。而且，其涉及的对象又不仅指具体的认知活动，而且还包括整体性的认知结构和认知策略等。元认知是影响解数学开放题能力的重要因素，这由开放题本身的特征所决定。由于开放题的条件不充分、结论多样、多层次、方法多样、思维空间大等特征，解题的过程必然也有一个探索的过程。而这个探索的过程

20、是由起初的模糊，逐步转变成明确的计划、自觉的实施和必要的检验。而后者主要取决于自觉的反省和及时的调整，也即主要依赖于解题者的元认知能力。所谓元认知策略是指教学方法的选取策略，即通过学生元认知能力的培养，而提高学生解开放题的能力。实践中发现：不善解题的人往往不假思索地采取某一种方法或解题途径，或总是在各种可能的解题途径之间徘徊，而对自己干什么，特别是为什么要这样干，始终缺乏明确的认识。另外，在沿着某一解题途径走下去时，则又往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估，并由此作出必要的调整，直到最终陷入僵局而不知所措。而善于解题的人往往是在具体地采取某一种方法或解题途径前，对各种可能性进行仔细地考虑，在整个