概率与数理统计-ppt课件

1、第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布 本次课讲授第二章第五节、第六节、第七节、第八节 下次课讲授第二章第八节、第九节、第十节、第十一节 下次上课时交作业P17P18 重点：延续随机变量的密度、分布及其关系 难点：同上一、延续型随机变量及其概率分布一、延续型随机变量及其概率分布1.延续型随机变量产生的背景延续型随机变量产生的背景0,0)(,021000 PtttxXPbxaxXXba时时刻刻等等到到人人的的时时间间等等人人，。再再如如：则则上上投投点点，若若随随机机变变量量为为例例如如：在在区区间间如何描画延续型随机变量如何描画延续型随机变量X X的概率分布

2、呢？的概率分布呢？背景1：假设样本空间为区域，那么区域内任一点的概率为零1)(,1 iixXPP 则则不不满满足足连连续续区区域域样样本本的的若若像像离离散散变变量量那那样样定定义义 背景2：假设样本为一延续区间，那么定义随机变量为样本的一子区间，那么随机变量的概率与密切相关密切相关或或)()(cXPcXP 第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布)(),(,1)(,bXcPbadcdcXbXaPbaXba 上上的的概概率率为为点点落落在在区区间间则则上上：定定义义在在即即随随机机变变量量若若abcdLLdXcPabcd )(由由几几何何概概型型： )()(,

3、 0)()(dXcPdXcPdXPcXPabcdabacabadcXPdXPdXcP )()()(又又：)()()()(cXPdXPdXcPdXcP dX cX cd）的概率差）的概率差和和因此，区间的概率又是因此，区间的概率又是dXPcXP ()(第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布件件的的概概率率以以外外的的概概率率为为不不可可能能事事点点落落在在所所以以，因因为为,baXba 2.概率的分布函数的定义：概率的分布函数的定义：)()(xXPxF称称：上上的的连连续续随随机机变变量量，并并称称为为样样本本空空间间）的的函函数数取取值值于于实实数数域域（如

4、如区区间间)(wXX 是随机变量是随机变量X=X(w)X=X(w)的概率分布函数，简称分布函数或分布的概率分布函数，简称分布函数或分布)()()(2112xXxxXxX )()()(2112xXxPxXPxXP )()()(1221xXPxXPxXxP )()(12xFxF 证：证：3.区间上的概率分布：区间上的概率分布：)()()(1221xFxFxXxP 2xX 1xX 1x2x第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布)()()()()()(aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP 由于延续随机变量中，点的概率为零，所以：由于延续随机变量中，点的概率为零，

5、所以：。时时即当即当）概率函数单调不减，）概率函数单调不减，)()(2(2121xFxFxx 4.4.分布函数的性质：分布函数的性质：,(1)0( )1() F x-x间间，概概率率介介于于 10)()(xXPxF )()(0()()(122112xFxFxXxPxFxF 。）(3) 定义在区间定义在区间a , b上的随机变量上的随机变量X的分布函数的分布函数F(x)0)(0)()(,)()( xXbPbxaxXPxFaxbaXxXPxF时时，同同理理：属属不不可可能能事事件件时时，当当，xXbabxX第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布1)()()()(

6、, xXbPbxPxXPxFbx时时即即：xXbabxXbX 1)(, 0)(1)(0)(,1 FFxbbxaxFaxxFba显显然然分分段段函函数数定定义义：上上的的概概率率分分布布函函数数可可用用所所以以，定定义义在在区区间间5.5.离散随机变量的分布函数定义：离散随机变量的分布函数定义： 利用延续型随机变量的分布函数的定义可以定义离散型利用延续型随机变量的分布函数的定义可以定义离散型随机变量的分布函数定义。请留意离散型随机变量的分布随机变量的分布函数定义。请留意离散型随机变量的分布函数与概率分布或与概率函数是不同的概念。函数与概率分布或与概率函数是不同的概念。第五讲第五讲 以密度为根底的

7、随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布 xaixaiiiPaxPxXPxFxXXxXPxF）（包括若干个点，即：包括若干个点，即：离散，则离散，则，若，若)()()()( xaaxapaxappaxapaxxFnnnnii10)(11132212111此式可写成分段函数：此式可写成分段函数：其分布函数的图形是右延续的阶梯曲线如以下图其分布函数的图形是右延续的阶梯曲线如以下图第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布iakkiippppaXPaFi 21)()(1210)()(lim)0( iiaxipppaxXPxFaFi而而且且iiiipaFaFaXP

8、 )0()()(x1 xFO1a2a.1p21pp 3a第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布例例5-1-1的的分分布布函函数数？可可否否是是。试试问问）的的可可能能值值充充满满区区间间（如如果果连连续续随随机机变变量量XexFXx 12)()0 ,)(2().,(1解：利用函数的解：利用函数的0 0，1 1与递增这三个性质判别与递增这三个性质判别1)(, 2112lim12lim)(lim1 FeexFxxxxx不不符符合合）（ 的的分分布布函函数数上上不不是是在在XexFx),(12)( 1)0(, 0112lim12lim)(1120), 0()0 ,

9、(2 FeeFexxxxxxx且且时时，）（第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布义义单调增加。所以只要定单调增加。所以只要定, 0)( xF的的分分布布就就是是随随机机变变量量XxFxxexFx)(,11012)( 例例5-1-2)0 ,)(2(),(1112 ）充充满满空空间间（的的可可能能值值的的分分布布函函数数，如如果果可可否否是是连连续续随随机机变变量量函函数数XXx布布）函函数数不不单单调调，不不是是概概率率（分分解解：)()1(2)(),(,11)()1(222xFxxxFxxxF 单单调调增增加加，时时，）（, 0)(0)1(2)(222 x

10、FxxxxF第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布, 1)0(, 011lim)(2 FxFx 01011)(2xxxxF重重新新定定义义的的分分布布函函数数是是随随机机变变量量则则XxF)(知知求求X 的分布函数的分布函数FX(x)。P-1230.20.50.3X例例5-1-3第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布解解 xXPxFX1 x, 021 x, 2 . 032 x, 5 . 02 . 0 3 x, 3 . 05 . 02 . 0 2 . 07 . 01-11230 xxiixpxXPxF)()()(第五讲第五讲

11、 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布例例5-1-4的概率分布列。的概率分布列。试求试求的分布函数为：的分布函数为：设随机变量设随机变量XxxxxxFX 31318 . 0114 . 010)(来求来求的离散分布，应用的离散分布，应用断点为断点为解：这是一个有断点（解：这是一个有断点（)0()()()3 , 1 , 1 iiiaFaFaXP2 . 08 . 01)03()3()3(4 . 04 . 08 . 0)01()1()1(4 . 0)01()1()1( FFXPFFXPFFXPxp2 . 04 . 04 . 0311第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以

12、密度为根底的随机变量概率分布第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布二二. .概率密度函数的概念概率密度函数的概念1.概率密度函数定义：概率密度函数定义：xxxXxP)(0) x设随机变量设随机变量X 落在区间落在区间 ),(xxx 上的概率为上的概率为: )(xxXxP那么比值那么比值即，记作平均概率密度极限存在时且，若上的平均概率密度。而在称为),(0,xfxxxxXxxxXxPxfx )(lim)(0处的概率密度在为随机变量则称xXxf)(第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布 )()(limlim)(00 xfxxx

13、XxPxxFxxFxFxx)()(xfxF)()(1xfxF求）由（)(),(2xFxf求）若已知（dttftdFdxxfxdFxfxF)()(,)()(),()(xxxxdttfxFFdttfFxFdttftdF）即：）两边积分：()(, 0)()()(,()( ydttfyF）同同理理()(第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布 xXPxF xdxxf X延续型随机变量延续型随机变量 落在区间落在区间 21,xx内的概率为：内的概率为： 122121xFxFdxxfxXxPxx 或或 ,21xx 21,xx ,21xx12)()()()()(1221xx

14、dttfdttfxFxFxXxP211211)()()()(xxxxxxdttfdttfdttfdttf 122121xFxFdxxfxXxPxx xdxxfxFFXxPxXP)()()()()(特特殊殊地地，第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布2.概率密度的性质：概率密度的性质： ; 0 xf注注: xfy 概率密度的图形概率密度的图形 通常叫做通常叫做 分布曲线。分布曲线。 1)(0)(0)()( babbaadxxfdxdxxfdxdxxfF十十分分重重要要。何何时时为为时时，注注意意求求因因此此，用用0)()()(xfxFxf021xXPxXP x

15、fy x xfO2x1x 21xXxP 假设随机变量假设随机变量X的一切能够值都位于区间的一切能够值都位于区间a , b内内,那么那么:0)(,:1)()(, 1)( xfbxaxdxxfbXaPbXaPba时时，且且此此时时认认为为即即第五讲第五讲 以密度为根底的随机变量概率分布以密度为根底的随机变量概率分布例例5-2-1 (柯西分布柯西分布)设延续随机变量设延续随机变量X 的分布函数为的分布函数为.,arctan)( xxBAxF 求求: (1)系数系数 A 及及 B ; (2) 随机变量随机变量X 落在区间落在区间(-1,1)内的概率内的概率; (3)随机变量随机变量X的概率密度的概率密

16、度. 解解 (1) xBAxFxxarctanlim)(lim , 02 BA ( )limlim+ arctan xxF xABx, 12 BA 解得解得 .1,21 BA. ,arctan121)( xxxF (2) 11 XP 11 FF4121 4121 .21 xFxf (3) . ,112 xx 解解(1)20, 1sinxdx只需定义：只需定义： ., 0;20,sin其其它它xxxf即可即可. (2), 12sin0 xdx不是不是. (3)当当 时时, 23,x, 0sin x与与 矛盾矛盾, 0 xf不是不是. 函数函数 可否是随机变量可否是随机变量X 的概率密度的概率密度

17、, 假设假设X 的能够值的能够值 xsin充溢区间充溢区间: .23, 03 ;, 02 ;2, 01 例例5-2-20)(2, 0 xfxx时时注注意意： 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例5-2-3 (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) 延续随机变量延续随机变量X 的概率密度为的概率密度为 . , xAexfx求求: (1)系数系数 A ; (2) 随机变量随机变量X 落在区间落在区间(0,1)内的概率内的概率; (3)随机变量随机变量X 的分布函数的分布函数. 解解 (1) dxAedxxfx 00dxedxeAxxA2 . 1 .21 A(2)

18、10 XP . ,21 xexfx 1021dxex.21ee (3) 当当 时时, 0 x xdttfxF xtdte21.21xe 当当 时时, 0 x xdttfxF 021dtet xtdte021.211xe 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布讲授下例前，引见常用的伽玛函数的定义：讲授下例前，引见常用的伽玛函数的定义： 01dxexx 0 伽玛函数的性质：伽玛函数的性质： ;1 .21)!1()( nn . 0,211; 0,21xexexFxx21! 021)1(21)121()23( 例例如如：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率

19、分布概率密度与随机变量函数的概率分布1222kAk 即：即：2212kAk012212dtetAtkk解解 dxxf0212dxexAxk1令令,2tx 得得 ,2dtdx 012)2(dtetktk令例例5-2-4 5-2-4 设延续型随机变量设延续型随机变量X X 的概率密度为的概率密度为 . 0 , 0;0,212xxeAxxfxk当当当当其中其中 k 为正整数，求系数为正整数，求系数 A 的值。的值。 0)(, 0 xfx注注意意第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布三、均匀分布与指数分布三、均匀分布与指数分布1.均匀分布：均匀分布：定义定义设延

20、续型随机变量设延续型随机变量 X 的一切能够值充溢某一个有限区的一切能够值充溢某一个有限区并且在该区间内任一点有一样的概率密度，即：并且在该区间内任一点有一样的概率密度，即： ,baxCxf 那么这种分布叫做均匀分布或等概率分布。那么这种分布叫做均匀分布或等概率分布。, ,ba间间abC1 100)()( abCdxdxCdxdxxfFbbaaOabab1 xfx第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 . , 0;,1bxaxbxaabxf或或当当当当 xXPxFxaadxabdx10abax 当当 axb时，时，当当 xa时，时， ; 0 xXPxF当

21、当 xb时，时， 1)()()( xbbaadxxfdxxfdxxfxXPxF第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：Oab1 xFx 0 ;0 ; ;1 .1 .xax -aF xaxbb -axb第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 dxxf 0 dxex10 xe 显然显然指数分布指数分布 e的分布函数为的分布函数为 2.指数分布指数分布定义定义2 2 . 0 , 0 ; 0, xxexfx当当当当 其中其中 0 为常数。

22、为常数。设延续型随机变量设延续型随机变量X X 的概率密度的概率密度此类分布为指数分布，此类分布为指数分布， . eX假设随机变量假设随机变量X 服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布 , e记作记作0)(0 xfx时时注意：注意：10)()(000 xxtxtxeedtedtdttfxF 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布O xfxO1 xFx ,;,. 1000 xexF xx 即：即：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布因随机变量因随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,那么那么 X 的

23、概率密度的概率密度:解解: ,.1230,xfx 其其它它独立观测独立观测,试求至少有试求至少有2次观测值大于次观测值大于3的概率的概率.设随机变量设随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,现对现对 X 进展进展3次次例例5-3-1(1989)观测值大于观测值大于3的概率的概率:+3(3) =( )p = P Xf x dx .5312=33dx22333321220(2) =( )( ).33327p mCC 3次观测中有次观测中有2次观测值大于次观测值大于3的概率为的概率为:第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解 1000 XP.3

24、68. 01e1000100010001dxex知某电子管的寿命知某电子管的寿命X X 小时服从指数分布：小时服从指数分布： . 0 0;0100011000 xxexfx求这种电子管运用求这种电子管运用1000小时以上的概率。小时以上的概率。例例5-3-2 某仪器装有某仪器装有3只独立任务的同型号电子元件只独立任务的同型号电子元件,其寿命其寿命(单位单位:h)都服从同一指数分布都服从同一指数分布,概率密度为概率密度为:例例5-3-3(1989)：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 ;.6001060000 x-exf xx 试求试求:在仪器运用的最

25、初在仪器运用的最初200小时内至少有一只元件损坏的概率小时内至少有一只元件损坏的概率 . 解解设随机变量设随机变量X表示电子元件的寿命表示电子元件的寿命(单位单位:h),P(A)=P( 0 X 200 )20060001600 xedx .1-31- e2000133 XAA寿命为寿命为为每次电子元件损坏即为每次电子元件损坏即次的概率，其中次的概率，其中至少发生至少发生次重复独立试验次重复独立试验概率，即求概率，即求个元件至少一个损坏的个元件至少一个损坏的求求)0(1)1(33PmP 1331031031)()1(1 eeeC第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数

26、的概率分布四、随机变量的函数的分布四、随机变量的函数的分布设设 g(x) 是定义在随机变量是定义在随机变量X 的一切能够值的一切能够值 x 的集合上的函数的集合上的函数,假设存在随机变量假设存在随机变量Y，当变量当变量X 取值取值 x 时，时， Y 有独一值有独一值 y = g (x)与与之对应，那么称之对应，那么称Y Y是随机变量是随机变量 X X 的函的函数数)(XgY ( (一离散型随机变量的函数的概率分布一离散型随机变量的函数的概率分布1.1.定义：设随机变量定义：设随机变量X X 的概率分布为：的概率分布为：X1x)(1xp2xnx)(ixXP )(nxp)(2xp那么随机变量函数那

27、么随机变量函数 XgY 的概率分布是：的概率分布是： Y)(11xgy )(1yp)(iyYP )(nyp)(2yp)(22xgy )(nnxgy 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布2.定义阐明：定义阐明：最最关关键键式式的的分分布布，所所以以定定义义中中等等）函函数数分分布布就就是是自自变变量量（., 2 , 1),()()(1 ixPxgYPyYPxiiii)(, 2 , 1),()(, 2 , 1),(.21ijkjijiiijiijiixPkjxgyPyPkjxgyxyxyY 则则如果如果可能对应多个可能对应多个即一个即一个值不一定唯一，值不

28、一定唯一，对应的对应的）由定义，每一个）由定义，每一个（第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例5-4-1 设随机变量设随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：-2 -2 -1 -1 01230.100.20 0.250.200.150.10求：求：(1)随机变量随机变量Y1= - 2X的概率分布；的概率分布；(2)随机变量随机变量Y2=X 2的概率分布。的概率分布。XP(X=xi )解解 1 由知有由知有)(1iyYP 420-2 -2 -4 -4 -6 -6 0.100.20 0.250.200.150.10XY21 把随机变量的能够值由小到大陈列

29、把随机变量的能够值由小到大陈列的概率分布为的概率分布为XY21 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布)(1iyYP -6 -6 -4 -4 -2 -2 0 240.100.150.200.250.200.101Y2 显然有：显然有： iyYP 24101490.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.1022XY iyYP 201490.250.400.250.102Y整理得整理得的概率分布的概率分布2Y第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布求随机变量求随机变量 的概率分布。的概率分布。 XY2sinX

30、 ixXP 12n21221n21例例5-4-2 设随机变量设随机变量的概率分布为：的概率分布为：X解解由于由于2sin n,43nk, 1, 2nk, 0, 4 -1nk, 1, , 1 2 3k所以，随机变量函数所以，随机变量函数 只需三个取值只需三个取值-1，0，1。 XY2sin）, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPYP第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布1YPk37411112224321121,152) 14()7()3(, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPxPkxPxPYP） 0 YP 1 YP同理可解

31、：同理可解：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 0 YPk2422121212221121,31 1 YP54 -3111222k421121,158整理得整理得 的概率分布的概率分布 Y iyYP Y-1-10115231158第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布二延续随机变量函数的分布二延续随机变量函数的分布)()(yYPyFY)(yXgP设设X是延续型随机变量，其密度函数为是延续型随机变量，其密度函数为 ,又又x的函数的函数 存在反函数存在反函数 ，那么函数，那么函数 也是一个延续型随机变量，也是一个延

32、续型随机变量，且：且：)(1xg)(xgY )(xgY )(xf1.定义：定义：)()( yYPyFY )(yXgP )(1)(ygXdxxf2.定义阐明定义阐明(1) 设函数设函数 g(x) 单调添加单调添加, 那么它的反函数那么它的反函数 x = g -1( y ) 也单调添加也单调添加. )(1ygXP )()(yFyfYY 义义：由由密密度度与与分分布布的的关关系系定定 xgy xyO yg1 y第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布)()()()()(1)(1 FygFdyddttfdydyFyfygxYY将将上上式式代代入入，即即： )()(

33、)()()()(11111 ygygFygxFdydyfyxygxFdydygFdydY）的的复复合合函函数数的的中中间间变变量量是是关关于于 )()( )()( )()()()(1111 ygygfygxfygxxFyfxgyY单单调调增增加加时时：即即(2) 设函数设函数)(xg是单调减函数，是单调减函数，那么它的反函数函那么它的反函数函数数 )(1ygx 也是单调减函数。也是单调减函数。第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布)()(yYPyFY )(yXgP )(1ygXP dxxfygX)()(1 ) )()() )()()()(111 ygxf

34、ygygxFyFyfYY xgy xyO yg1 y第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布)()()(11ygxFygxFF 的的密密度度的的一一般般方方法法求求的的密密度度已已知知)()(. 3XgYxfXX 例例6-3-3 .0)(都都是是常常数数及及的的概概率率密密度度，其其中中，求求随随机机变变量量函函数数的的概概率率密密度度为为设设连连续续随随机机变变量量 babXaYxfXX解解)()()( ybXaPyYPyFYyY 的的分分布布函函数数，随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随

35、机变量函数的概率分布无无穷穷区区间间上上）都都在在全全与与的的开开区区间间（注注意意区区间间确确定定区区间间：由由求求YXYXY)1(的分布。的分布。密度积分再转化成密度积分再转化成的的转化成区间转化成区间的分布。通过区间概率的分布。通过区间概率的分布转化成的分布转化成将将XXXY)2(对对应应的的区区间间。或或）将将断断点点分分配配到到（的的密密度度；的的分分布布导导数数的的求求对对104)3(yYybxay 为单调函数，为单调函数，,bayx .1bx 单调递减单调递增，0, 0bb，则有，则有设设0 )1( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()()()( ba

36、yfbbbayfdxxfdydyFyfXXbayXYY，则有，则有设设0 )2( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()( bayfbbbayfyfXXY )(|1)( bayfbyfXY 的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量函函数数bXaY 第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解:,的的分分布布函函数数随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数Yy yYPyFY , 0 的的取取值值区区间间是是因因为为X .1 , 0的的取取值值区区间间是是所所以以Y1yyxo1x2x 例例6-3-4：设随机变量：设随机变量X在区间

37、在区间 服从均匀分布，即概率密度服从均匀分布，即概率密度,001)( 其其它它 xxfX.sin的的概概率率密密度度求求随随机机变变量量XY , 0; 0)(,0 )1( yFyY时时当当; 1)(,1 )2( yFyY时时当当如如图图，有有时时当当,10 )3( y yXP sin YFy0sinPXarcy sinParcyX 第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布的的分分布布函函数数所所以以，随随机机变变量量 Y . 1, 1; 10,arcsin2;0, 0)(yyyyyFY 上式两边对上式两边对y求导数，即得求导数，即得Y 的概率密度的概率密度

38、,;,2201( )10Yyfyy 其其它它. .011arcsinyarcsinydxdx.arcsin2y 第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解1:,的的分分布布函函数数随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数Yy yYPyFY 2= P Xyyxoyy, 0y 当当 0YFy =;, 0y 当当 YFy2= P Xy( )y-y=f x dx= PyXy .01y-y-x=e dx-e例例6-3-5：设随机变量：设随机变量X的概率密度的概率密度:,0( )0-xXexfx 其其它它求求: 的概率密度的概率密度.2=YX 1000-yY-e

39、yFyy 10200.-yYeyyfyy 第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例6-3-6(1988)：设随机变量：设随机变量 X 在在1,2上服从均匀分布上服从均匀分布,2XYe求随机变量求随机变量的概率密度函数的概率密度函数( ).Yfy解解1: 因随机变量因随机变量 X 在在1,2上服从均匀分布上服从均匀分布: ;.1120Xxfx 其其它它对恣意实数对恣意实数 y ,随机变量随机变量Y的分布函数为的分布函数为:2( )()()XYFy = P Yy = P ey 当当 y 0 时时,分布为不能够事件概率分布为不能够事件概率( )0,YFy =

40、当当 y 0 时时,21ln2( )()1 =(ln ) =( )2XYyXFy = P eyP Xyfx dx 第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布,1ln2( ) =00yYFydx = 当当 0 y 时时,2e当当 时时,4e( ) = 1.YFy1ln2,2y224401( )ln 121 YyeF y =y-eyeye.2412( )0Yeyeyfy =其其它它第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布四、部分习题讲解四、部分习题

41、讲解例6-4-197年研7分从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律概率分布和分布函数。种种情情况况的的概概型型。遇遇到到红红灯灯）是是否否发发生生两两试试验验每每次次事事件件是是三三次次独独立立相相互互独独立立，因因此此，本本题题分分析析：三三个个岗岗遇遇到到红红灯灯(A即：即：其概率函数为：其概率函数为：则则个岗遇到红灯的次数，个岗遇到红灯的次数，为为解：设解：设. 3 , 2 , 1 , 0,)53()52().52, 3(333 kCkXPBXXkkk第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布.1258)3(,12536)2(,12554)53()52()1(,12527)53()5