第一讲 函数概念

1、高等数学辅导1高高 等等 数数 学学高等数学辅导2 课课 程程 说说 明明理工类专业的基础课程，它是理工类专业的基础课程，它是以后学习专业理论重要的数学工具，以后学习专业理论重要的数学工具，是必修的重要基础课。是必修的重要基础课。 高等数学辅导3根据教学大纲本学期安排如下根据教学大纲本学期安排如下:1、面授辅导共面授辅导共64学时学时2 、每个同学必须完成作业册上的每个同学必须完成作业册上的3次作次作业，它将作为平时成绩的重要依据之一。业，它将作为平时成绩的重要依据之一。高等数学辅导4 本课程平时成绩占总成绩的本课程平时成绩占总成绩的 40% 40% 。 高等数学辅导5教学任务：复习常量变量、

2、区间；全面学习函 数概念及性质。理解：1、理解函数概念，了解分段函数 2、函数的基本性质：掌握：1、熟练掌握函数的定义域和函数值的 求法 2、判断函数奇偶性的方法 高等数学辅导6重点重点：理解函数概念。：理解函数概念。难点难点：求函数定义域：求函数定义域教学时数教学时数：2教学方法教学方法：面授：面授教学内容提要教学内容提要：高等数学辅导7第一讲第一讲 函数函数一、常量与变量一、常量与变量 在观察经济及自然现象时，常会遇到各种不同在观察经济及自然现象时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程（或问题讨论）中的量，其中有的量在过程（或问题讨论）中 常量：常量： 始终不变，也就是相对地保持一定的始

3、终不变，也就是相对地保持一定的 数值。数值。 变量：变量：可以取不同的数值，或不断的变化。可以取不同的数值，或不断的变化。高等数学辅导8 实例实例1 1：加热一个充满气体的密闭容器，则加热一个充满气体的密闭容器，则存在如下几个量：存在如下几个量： 气体的温度气体的温度 T 和压力和压力 P 整个过程中取越整个过程中取越 来越来越 大的值，它们是变量。大的值，它们是变量。 气体的体积气体的体积 V 和分子数和分子数 t 始终保持不变是始终保持不变是 常量。常量。高等数学辅导9 实例实例2 2：一物体在离地面一物体在离地面H米的高处落下米的高处落下,其初始速其初始速度为度为 v0，则在开始下落到地

4、面的过程中则在开始下落到地面的过程中,该物体所该物体所下落的距离下落的距离 s 与所经历的时间与所经历的时间 t 有下列关系：有下列关系：显然，在这个下落过程中，显然，在这个下落过程中，1/2，v0和和g是常量，而是常量，而时间时间t和距离和距离s是变量。是变量。2021gttVs 高等数学辅导10 在经济生活中，这样的例子还多，如总成本的在经济生活中，这样的例子还多，如总成本的两个组成部分中，固定成本和可变成本等等。两个组成部分中，固定成本和可变成本等等。 注：注：1、一个量是常量还是变量，要根据具体一个量是常量还是变量，要根据具体情况作出分析，同一个量在不同情况下，可能是情况作出分析，同一

5、个量在不同情况下，可能是 常量，也可能是变量。常量，也可能是变量。高等数学辅导11如如 商品的价格在短时间内可以看成是常量，商品的价格在短时间内可以看成是常量，而在较长时间内就是一个变量。而在较长时间内就是一个变量。又如又如 就小范围地区来说，某时刻的温度可看作就小范围地区来说，某时刻的温度可看作常量，而对广大地区常量，而对广大地区 来说，则是变量，这从中来说，则是变量，这从中央电视台天气预报即可看出。如央电视台天气预报即可看出。如 T=17, T=8T=17, T=8等等等。等。高等数学辅导12 2 2、数学讨论中，只考虑量的数值，而不管数学讨论中，只考虑量的数值，而不管它的实际意义。它的实

6、际意义。通常：通常： 常量常量用字母用字母a a，b b，c c 等表示，在数等表示，在数 轴上与定点对应轴上与定点对应 变量变量用字母用字母x x，y y，z z 等表示，在数等表示，在数 轴上与动点对应轴上与动点对应 高等数学辅导13 二、关于区间：二、关于区间： 任何一个变量总有一定的变化范围。任何一个变量总有一定的变化范围。例如例如 某一天的最高温度是某一天的最高温度是2828c c， 最低温度是最低温度是1616c c，这一天的气温的变化范围就是这一天的气温的变化范围就是1616c c到到2828c c，即即 变量变量T T的变化范围是的变化范围是 16-2816-28。高等数学辅导

7、14 如果变量如果变量x x是连续变化的，在中学我们用不是连续变化的，在中学我们用不等式表示其变化范围如等式表示其变化范围如16x28 16x28 ，在高等数学，在高等数学中则用中则用区间区间如如x16,28x16,28。下面是各种区间的名称和记号：下面是各种区间的名称和记号：高等数学辅导15 设实数设实数a a，b b，且，且abab，那么，那么 1 1、满足不等式满足不等式a ax xb b的一切实数的一切实数x x的全体叫做的全体叫做闭区间，记为闭区间，记为aa，b.b.2 2、满足不等式满足不等式axb axb 的一切实数的一切实数x x的全体叫做的全体叫做开区间，记为开区间，记为(a

8、, b ) (a, b ) 0 a b x 0 a b x高等数学辅导16 3 3、满足不等式满足不等式axax b b， a axbxb的的一切实数一切实数 x x 的全体叫做半开区间，分别记的全体叫做半开区间，分别记为为( a, b a, b)( a, b a, b)。 高等数学辅导17 以上各种情形中，以上各种情形中，a, b 叫区间的端点，叫区间的端点，b-a叫区间的长度。叫区间的长度。 上述区间均为上述区间均为有限区间有限区间，还有一类区间也常，还有一类区间也常用到，它们叫用到，它们叫无限区间无限区间高等数学辅导184 4、a,+)a,+)表示不小于表示不小于a a（即大于或等于（即

9、大于或等于a a的）实的）实数的全体，有时也写作数的全体，有时也写作ax+ ax+ 0 a x0 a x5 5、(-,b(-,b）表示小于）表示小于b b实数的全体，有时也写作实数的全体，有时也写作-xb -xb 0 b x0 b x高等数学辅导196、(-,+)表示全体实数，也可以写作表示全体实数，也可以写作 -x +。 高等数学辅导20 注意：注意： -和和+分别读作分别读作“负无穷大负无穷大”和和 “正无穷大正无穷大”，它们仅仅是记号，不是数，不，它们仅仅是记号，不是数，不能能作运算，即作运算，即 “ “”，“”，“ ”“ ”等等无意义无意义。高等数学辅导21三、函数概念：三、函数概念：

10、 1 1、实例、实例 在同一自然或经济现象中，往往在同一自然或经济现象中，往往同时有几个变量在变化着，它们并不是孤立地同时有几个变量在变化着，它们并不是孤立地在变，而是相互遵循着一定的变化规律。在变，而是相互遵循着一定的变化规律。 下面就两个变量的情形看几个下面就两个变量的情形看几个例子：例子：高等数学辅导22 例例1 1、考虑圆面积考虑圆面积 s s 与它的半径与它的半径 r r之间的关之间的关系，由公式系，由公式 s=rs=r2 2 给定。当半径给定。当半径r r取定某一正的数值时，取定某一正的数值时，s s也就随之也就随之有一个确定的值。有一个确定的值。 or高等数学辅导23 例例2 2

11、、设某水泥厂每日最多能生产水泥设某水泥厂每日最多能生产水泥100100吨，固定成本为吨，固定成本为10001000元。每生产水泥元。每生产水泥1 1吨，成本吨，成本增加增加2020元。元。 设每日总产量为设每日总产量为q q，则每日的可变成本为，则每日的可变成本为20q20q，故水泥厂每日的总成本与总产量有如下的关系故水泥厂每日的总成本与总产量有如下的关系 C=20q+1000C=20q+1000高等数学辅导24 q q 的变化范围是的变化范围是00，100100。当在。当在00，100100内取定某一数值时，总成本也随之有一个确定的内取定某一数值时，总成本也随之有一个确定的数值与之对应。数值

12、与之对应。如如 q=10q=10（吨），则（吨），则 c=20c=2010+1000=120010+1000=1200（元）（元）类似的例子在生活中还很多，如计程车的车费与类似的例子在生活中还很多，如计程车的车费与乘车时间的关系乘车时间的关系F=f(t)F=f(t)等等等等。 高等数学辅导25例例3 下图所示为某城市下图所示为某城市2月份某日的气温月份某日的气温TC与时间与时间t（单位：小时）之间的关系曲线，（单位：小时）之间的关系曲线，它表示这天从它表示这天从t=0点钟到点钟到t=24点钟点钟24小时内气小时内气温温TC随时间随时间t而变化的函数关系。而变化的函数关系。高等数学辅导26tTC

13、o2 4 6 8 10 12 14 16 18 12108642-2-4-6-8-10高等数学辅导27 抽去以上例子中量抽去以上例子中量s和和r、T和和t、c和和q的实际的实际意义不考虑，我们可看出，它们都表达了两个变意义不考虑，我们可看出，它们都表达了两个变量之间的量之间的相互依赖相互依赖（数学运算）关系，（数学运算）关系， s=rs=r2 2 C=20q+1000 C=20q+1000这种相依关系给出了一种对应法则。这种相依关系给出了一种对应法则。 高等数学辅导28 根据这一法则，当其中一个变量在其变化根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有范围内任意取

14、定一个数值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应，一个确定的值与之对应，变量之间的这种相依关系就是函数的实质。变量之间的这种相依关系就是函数的实质。高等数学辅导292 2、定义、定义 变量变量x,y,xDx,y,xD（变化范围）（变化范围）, ,对于对于D D中任一中任一 x x，按某一对应规律，按某一对应规律f f，都可唯一的确定，都可唯一的确定变量变量y y一个相应的值，则称一个相应的值，则称y y为为x x的函数的函数, ,记为记为 y= f (x), xD y= f (x), xD 其中其中x x叫做自变量叫做自变量 , y, y叫做因变量。叫做因变量。DRf高等数学辅导30 注：注：

15、、函数讨论的是函数讨论的是 变量之间的依赖关系，对象是变量变量之间的依赖关系，对象是变量 。当。当然，常量也是变量的特殊情况。然，常量也是变量的特殊情况。如如 y=1 (y=1 (变量变量y y恒等于恒等于1)1)，即无论，即无论x x取任何值取任何值 , , y y 都恒取都恒取 1 1 ，我们称之为常量函数。，我们称之为常量函数。 实际上是实际上是 Y(x) 1Y(x) 1高等数学辅导31、唯一性唯一性 在微积分中，一般讨论单值函数，即在微积分中，一般讨论单值函数，即有且仅有一个有且仅有一个y y值与之对应。值与之对应。 x1x2yxy1y2 Dx 高等数学辅导32 如如 x x2 2+y

16、+y2 2=1=1 不是单值函数不是单值函数 当当 x=1 x=1 时，时，y= 1y= 1 通常只讨论一支通常只讨论一支 或或 xy xy xy 高等数学辅导33、函数的两要素、函数的两要素 定义域和对应关系两点确定，函数也就确定。定义域和对应关系两点确定，函数也就确定。（也有提函数三要素的，即定义域、对应关系、也有提函数三要素的，即定义域、对应关系、值域三者确定，则函数确定。但经过若干年讨值域三者确定，则函数确定。但经过若干年讨论，现在基本上都是提两要素。论，现在基本上都是提两要素。）高等数学辅导34( (不同的函数用不同的符号表示不同的函数用不同的符号表示， 如如y=f(x),y=g(x

17、)y=f(x),y=g(x)表示两个不同的函数表示两个不同的函数) )如如: :高等数学辅导35212121212212121221,0, 0:,ln,ln20,yyxyxyxDxDyyxyxyxDRDyyxxyxy高等数学辅导36、函数函数y=f(x)，当自变量，当自变量x在在D中取定值中取定值x0，则，则相应有相应有 y0=f(x0)，称，称 y0为为x= x0 点的函数值。点的函数值。记为：记为： f(x0 ),或或f(x)|x=x0, y |x=x0.高等数学辅导37例例1 1、设设f(x)=2xf(x)=2x2 2-5,-5,则则 f(1)=2f(1)=21 12 2+5= -3 f

18、(2) = 3 +5= -3 f(2) = 3 f(a)=2a f(a)=2a2 2-5 -5 f( )=2 f( )=2 ( )( )2 2+5= -+5= -212921高等数学辅导38 例例2 2、f(x)= ,f(x)= ,求求f(1-x), ff(x).f(1-x), ff(x). f(1-x) = f(1-x) = ff(x)= = ff(x)= =x11xx1111)(11xfxx1高等数学辅导39 3 3、函数的表示法有三种函数的表示法有三种: : 在实际应用中在实际应用中, ,三种表示法各有长短三种表示法各有长短, ,根根据不同的情况各有应用据不同的情况各有应用, ,见书见书

19、p p12-1312-13例。例。 下面介绍一种特殊且常用的表示法下面介绍一种特殊且常用的表示法: : 公式法、表格法、图示法公式法、表格法、图示法高等数学辅导40如如 x-1 (- ,0) x-1 (- ,0) y = 0 x=0 y = 0 x=0 x+1 (0, +) x+1 (0, +) D(-,+). D(-,+).在三个范围内用了三个表达式在三个范围内用了三个表达式, ,这种函数叫分段函数这种函数叫分段函数. .实际上是公式法实际上是公式法, ,只不过只不过是用了几个式子而已是用了几个式子而已. .高等数学辅导41 4 4、函数定义域、函数定义域D D的求法的求法 自变量的取值范围

20、也就是函数的定义域。自变量的取值范围也就是函数的定义域。自然定义域自然定义域当函数由一个式子表示时，定义当函数由一个式子表示时，定义域就是使该式子有意义的自变量取值的全体。域就是使该式子有意义的自变量取值的全体。如如 s = rs = r2 2 D : (-, +) D : (-, +) y= D :x 0 y= D :x 0 x51高等数学辅导42 实际定义域实际定义域自然定义域基础上再附上实际自然定义域基础上再附上实际意义的范围。意义的范围。如：如：x x表示物体的长度则表示物体的长度则 0 x+0 x0(f(x)0(真数大于真数大于0 0）)(1xf)( xf高等数学辅导44 、 tan

21、 f(x),cot f(x),tan f(x),cot f(x), f f（x x） k+ ,k, k+ ,k, (k=0, 1, 2, (k=0, 1, 2, ) )（正切、余切符号下的式子）（正切、余切符号下的式子）、arcsinf(x)arcsinf(x)、arccosf(xarccosf(x), ), 则则 11 、y=f(x) g(x)y=f(x) g(x)，y=f(x)y=f(x)g(x)g(x)，f(x)f(x)D D1 1， g(x)g(x)D D2 2，则则 y y 的定义域为的定义域为 D D1 1DD2 2 （可推广到若干）（可推广到若干）2)(xf高等数学辅导45、分段

22、函数定义域为各定义域的并集分段函数定义域为各定义域的并集如如 函数函数 8 8 （0 0，2020） y = 0.4 20y = 0.4 20，40 40 20 20 （4040，5050） D:(0,50D:(0,50高等数学辅导46 例例3 3、求下列函数的定义域：求下列函数的定义域： y = y =解：根据上述规律，则解：根据上述规律，则 x-a 0 x-a 0，xaxa， 即即a, +)a, +)为为y= y= 的定义域。的定义域。ax ax 高等数学辅导47 y= 1-x2 0 -1x1-1x1 1-x2 0 x 1 - 1x1为所求，即为所求，即 D 为（为（-1，1）211x -

23、 1 0 1 x高等数学辅导48 y= arcsin(x+1) + y= arcsin(x+1) + -1x+11 x 0 -1x+11 x 0 5x 0 -2x0 5x 0 -2x0则则2,0)2,0)为该函数的定义域为该函数的定义域.(D=D.(D=D1 1DD2 2) )x51高等数学辅导49四、函数的特性四、函数的特性: :1 1、奇偶性奇偶性在对称区间上即在对称区间上即, x-a,a, x-a,a f(-x)=f(x) f(-x)=f(x)偶偶 图形关于图形关于y y轴对称轴对称 f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)奇奇 图形关于原点对称图形关于原点对称其他为非奇偶。其他为非

24、奇偶。高等数学辅导50如如 函数函数y=1,y=x2,y=cosx等为偶函数等为偶函数 y=sinx,y=tanx,y=x3 y=cotx等为奇函数等为奇函数高等数学辅导51注意注意: : x-a, a x-a, a为对称区间为对称区间, ,可以是定可以是定义域义域, ,也可以是其一部分也可以是其一部分. .如如 f(x)=xf(x)=x2 2, x(-l, 2 , x(-l, 2 为非奇偶为非奇偶 -1 o 2 xy高等数学辅导52例例 y=2y=2x x 是奇是奇? ?或是偶或是偶? ?解解: f(-x)=2: f(-x)=2-x -x = = f(x)= 2 f(x)= 2x x f(x

25、)= -2 f(x)= -2x x f(x) f(x)是非奇偶函数是非奇偶函数 x21高等数学辅导53例例 考虑考虑f(x)=ln(xf(x)=ln(x + ) + )的奇偶性的奇偶性解解:f(-x)=ln(-x:f(-x)=ln(-x+ )+ ) (a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2 =ln =ln( ) ( ) lnln =lnx =lnx-1-1=-lnx=-lnx =-ln(x =-ln(x+ )=-f(x)+ )=-f(x) f(x) f(x)是奇函数是奇函数x112 x11222 xxxx 12 x12 x高等数学辅导54 注注: : 偶偶+ +偶偶= =偶偶 奇奇偶偶= =奇奇 偶偶偶偶= =偶偶 奇奇奇奇= =偶偶 奇奇奇奇= =偶偶 奇奇+ +偶偶= =非奇偶非奇偶 ( (常用之简化运算常用之简化运算)高等数学辅导55 2 2、单调性单调性-x-x1 1xf(x)f(x1 1) ) 则则 f(xf(x) ) f(x f(x2 2)0,)0,或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(