231双曲线及其标准方程

1、观察动画观察动画 ，类比椭圆定义，总结双曲，类比椭圆定义，总结双曲线定义线定义平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1、F F2 2的距离的差的绝对值的距离的差的绝对值( (2a2a) )等于常数（等于常数（小于小于|F|F1 1F F2 2| |）的点的轨迹叫做双曲线。）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点这两个定点F F1 1、F F2 2叫做叫做双曲线的双曲线的焦点焦点，两焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的间的距离叫做双曲线的焦距焦距（2c2c）你还记得求椭圆方程时如何建立直角坐标你还记得求椭圆方程时如何建立直角坐标系吗？那么求双曲线方程怎样建系？系吗？那么求双曲线方程怎样建系？F1F2

2、M xyO解：如图建立直角坐标系解：如图建立直角坐标系, ,则则F F1 1(-c,0)(-c,0)，F F2 2(c,0).(c,0).设设M(x,y)M(x,y)是双曲线上任意一点，则：是双曲线上任意一点，则： |MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a.|=2a.2a|y)cx(y)cx(|2222 即：即：2222222y)cx(y)cx(4a4ay)cx( 移移项项平平方方得得：222y)cx(acxa 化化简简得得：)ac (aya)xac (22222222 两两端端平平方方化化简简得得：1acyax 0ac ac2222222 即即：222bac 设设0)b01(ab

3、yax2222 ，所所求求双双曲曲线线的的方方程程为为：2ay)cx(y)cx(2222 1byax2222 则则：1、双曲线定义：、双曲线定义：|MF1|-|MF2|=2a(若只若只为正或只为负，则表示双曲线的一支为正或只为负，则表示双曲线的一支)2、ca0；c2=a2+b2 (椭圆椭圆a2=b2+c2) 3、焦点在、焦点在x轴上，轴上，F1(-c，0)，F2(c，0)0)b01(abxayy2222 ，轴轴的的双双曲曲线线标标准准方方程程：焦焦点点在在1、c2=a2+b22、焦点坐标：、焦点坐标：F1(0，-c)，F2(0，c)0)b01(abyax2222 ，双双曲曲线线的的标标准准方方

4、程程为为：例例1 1 已知双曲线的两焦点为已知双曲线的两焦点为(-5,0),(5,0)(-5,0),(5,0)，双曲，双曲线上任一点线上任一点P P到两焦点的距离的差的绝对值等于到两焦点的距离的差的绝对值等于6 6，求此双曲线的标准方程。求此双曲线的标准方程。116y9x22 解：由已知得：解：由已知得：c=5c=5，2a=6,2a=6,即：即：a=3a=3bb2 2=c=c2 2-a-a2 2=25-9=16=25-9=16所求的双曲线方程为：所求的双曲线方程为：练习：写出适合下列条件的双曲线的标准方程：练习：写出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) a=2(1) a=2，b=1b=1，焦

5、点在，焦点在x x轴上；轴上；(2)(2)两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是(0(0，-6)-6)，(0(0，6) 6) ，并，并且经过点且经过点(2(2，-5) -5) ；(3)(3)焦点坐标分别为焦点坐标分别为(0(0，-5)-5)，(0(0，5) 5) ，a=4a=4；(4)a+c=10(4)a+c=10，c-a=4c-a=4；(5) (5) 52c , 6ba 练习：练习：P55 1P55 1、2 2例例2 2：已知：已知A A、B B两地相距两地相距800m800m，在，在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2s2s，且声速为，且声速为340m/s340

6、m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程，求炮弹爆炸点的轨迹方程分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A A、B B两地听到爆炸声的时间差，即可知两地听到爆炸声的时间差，即可知A A、B B两地与爆炸两地与爆炸点的距离差为定值由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点点的距离差为定值由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程的轨迹方程解：如图，以解：如图，以A A、B B所在的直线所在的直线为为x x轴，以轴，以ABAB的中垂线为的中垂线为y y轴建轴建立直角坐标系，由已知可知爆立直角坐标系，由已知可知爆炸点在以炸点在以A A、B B两地为焦点的双两地为焦点的

7、双曲线的右支上曲线的右支上2a=3402a=3402=6802=680所以爆炸点的轨迹方程为：所以爆炸点的轨迹方程为： 从实际问题中建立数学模型。从实际问题中建立数学模型。 a=340a=340又又c=400c=400bb2 2=c=c2 2-a-a2 2=400=4002 2-340-3402 2=44400=44400144400y115600 x22 )0 x( xAyOBM 1 1、已知椭圆的方程为、已知椭圆的方程为 ，求以此椭圆的顶点为焦，求以此椭圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线的标准方程点、焦点为顶点的双曲线的标准方程. .2 2、求下列动圆的圆心、求下列动圆的圆心M M的轨迹方

8、程：的轨迹方程：与与CC:(x+2):(x+2)2 2+y+y2 2=2=2内切，且过点内切，且过点(2,0)(2,0)；与与CC1 1: :x x2 2 +(y-1)+(y-1)2 2=1=1和和CC2 2: :x x2 2 +(y-1)+(y-1)2 2=4=4都外切；都外切；与与CC1 1: : (x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=9=9外切，且与外切，且与CC2 2: : (x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1内内切切116y9x22 解析：这表面上看是圆的相切问题，实际上是双解析：这表面上看是圆的相切问题，实际上是双曲线的定义问题具体解：设动圆曲线的定义问题具体解：设动圆M M的半径为的半径为r