结构力学第6章静定桁架的内力计算

1、结构力学结构力学教研室青岛理工大学工程管理系第六章静定桁架的内力分析 1、桁架的各部分名称上弦杆 斜腹杆 竖腹杆 桁高 跨度 节间长度 下弦杆 6.1 6.1 概述概述理想桁架的假定： v 桁架中所有的结点均为理想铰，即光滑无摩擦铰接；v 桁架中所有杆的杆轴绝对平直，且通过其两端铰的中心； v 荷载和支座均在铰结点上，即桁架上所有外力为结点力。 理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主内力，相应的应力叫主应力。而由于与理想假定偏差而产生的附加内力叫次内力，相应的应力叫次应力。 理想桁架中的所有杆均是二力杆v简单桁架： 见图3.5.1 v联合桁架： (a)联合桁架 v复杂桁架： (b)复杂桁架 1)根

2、据桁架的几何组成分类： 2、桁架的分类 三角形桁架、平行弦桁架、梯形桁架、折线形桁架、抛物线形桁架等。 梁式桁架、拱式桁架（有推力横加）。 2)根据桁架外形的几何形状分为：3)根据桁架支座反力的特点分为：3、内力计算方法： v 静定桁架的内力计算基本方法分为： v 在同一坐标中，桁架杆的轴力及投影与杆长及投影有比例关系如下：见下图。实际应用一般是这两种基本方法的灵活选择、联合应用。 结点法截面法YYXXNLFLFLF(简称：力与杆长比例式)规定: 桁架杆轴力以受拉为正。 每次取一个结点为隔离体，利用结点平衡条件，求解杆轴力的方法。1、结点法：6.2 6.2 桁架内力计算的结点法桁架内力计算的结

3、点法用结点法计算图(a)所示静定桁架。 b4bDEACKF =2FAyPF=0AxF=2FByP(a) (b) 例6-2-1对于简单桁架，可以用结点法求出全部杆件的轴力。 按拆二元体的顺序，依次取结点（每次截断两根未计算的杆件）为隔离体，可不解联立方程。 解： 要点对本例，用结点法计算如下： 见图(c) FNAGF =2FAyPFNAEF=0Ax(c) 结点A：51sin52cos022sinPPNAGFFF 0YFPNAGFF253(a) 0XF0cosNAGNAEFFPNAEFF3 (b) FYAGF =2FAyPFNAEF=0AxFXAG (d) 利用比例式(6-1-1)时，结点A的受力

4、图见图(d)， 将斜杆中的待求轴力FNAG用X、Y方向的两个分力FXAG、FYAG代替，计算如下： 0YF022PPYAGFFF23PYAGFF由比例关系，得： PYAGYAGAGNAGFFLLF253 (a) 0XF0XAGNAEFFPXAGNAEFFF3 (b) 结点E：见图(e) FNEGFNED3FP(e) 0YF0NEGF (c) 0XFPNEDFF3(d) 结点G：见图(f) FNGDFNGCPF253(f) 当两个待求轴力杆都为斜杆时，若要不使结点的两个平衡方程耦联只要将直角坐标的一个坐标轴与其中的一个杆轴重合，先建立另一个坐标轴的投影方程即可。 0YF0cos2sinPNGDF

5、FPNGDFF25 (e) 0XF0sin2cos253PNGDPNGCFFFFPNGCFF5(f) 见图(g) 结点的两个平衡方程有时可以写成力矩的形式。 FXGCFXGDFYGCFYGD23PFPF3 (g) 将力系中的某力沿其作用线上滑移到任一点分解，不影响原力系的平衡状态。 据此，将三根斜杆的轴力，均在各杆相对G点的另一端点处分解。由于此时两个竖向未知力分量在一条竖直线上，可由C、D两点分别为矩心的力矩方程求出两个水平未知力分量。计算如下： 0DMPPPXGCFbFbFbF2)223(1PXGCXGCYGCYGCFFLLFPXGCXGCGCNGCFFLLF5(f) 0CMPPPPXGD

6、FbFbFbFbF)2233(1PXGDXGDYGDYGDFFLLF21PXGDXGDGDNGDFFLLF25 (e) 结点C：见图(h) 0YFNCDPFFFNCDPFPF2PFPF2(h) 结点D：见图(i) 2PFPFPF3PFPF32PF(i) v该结点上的各杆轴力已有前各步计算得出，在此用于校核。DEACKPF5PF250PF3PF253PF3PF(j) 用图(j)表示桁架内力计算的最终结果。 2、结点法的特殊情况 在桁架计算所取的隔离体（结点法中的结点，或截面法中的桁架的一部分）所截断的杆件中，若有一根杆件的位置或方向独立于其它杆件，使该杆的轴力可由该隔离体独立确定，则这个杆件就叫

7、做该隔离体的单杆。 单杆概念结点单杆的情况： (a) (b) 图6-2-1 在桁架的内力计算中，利用单杆的概念，先确定出单杆的内力，不仅简捷计算过程，有时是解题的关键路径。例6-2-2 先判断图(a)、(b)两图所示桁架中的零杆，然后再说明用结点法计算余下各杆轴力的次序。 当结点上无荷载作用时，结点上单杆轴力等于零，称为零杆。解： 图(a)，桁架中的零杆如图(a)右虚线所示。然后可分别由结点D、C计算余 DCCD(a) 图(b)，桁架中的零杆如图(b)右虚线所示。然后求支座反力，再依次取结点计算余下各杆轴力。次序可为：A、D、C或 B、C、D，或分别A、B再D或再C。FPC2FPFPC2FP(

8、b) 例6-2-3 分析图(a)所示静定桁架，试找出用结点法计算时的简单途径。解：见图(a)所示桁架 FP(a) v由结构整体在水平方向上的平衡条件，可确定出水平支座反力，见图(b)。 上部结构是对称的，只有一个水平支座约束不对称，是该桁架的两个特点。一般可利用对称性简化计算过程。 思路和做法如下:FPFP(b) v根据叠加原理，可将图(b)示出的已知外力分解成正对称和反对称两组外力后，分别作用在结构上，见图(c)、(d)所示。 F /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2P(c) (d) v内力分析和解题路径： 在正对称荷载下，桁架应具有正对称的内力分布，即

9、在桁架的对称轴两侧的对称位置上的杆件，应有大小相等、性质相同（拉或压相同）的轴力。 考查结点K，见图(e) 图(c)：(e) 结点上两斜杆的轴力应满足大小相等、性质相反（一拉一压）。这是K形结点(根据结点的形状，又叫K形结点)上两斜杆在其结点上无结点荷载情况下的典型内力特点。与前面特点矛盾，故KD、KF为零杆。 考查结点考查结点E E：见图：见图(f)(f)EJ为零杆，继而JA、JB为零杆。(f) 图(d)：在反对称荷载下，桁架应具有反对称的内力分布，即在桁架的对称轴两侧的对称位置上的杆件，应有大小相等、性质相反的轴力。 6.36.3 桁架内力计算的截面法桁架内力计算的截面法截面法：用一个假想

10、的截面，将桁架截成两部分，取其任一部分为隔离体，建立该隔离体的平衡方程，求解杆轴力的方法。截面法所截开的杆件中，轴力未知的杆件一般不应超过三根，这样可不解联立方程仍以上一节例6-2-1为例，见图6-3-1。 IIF =2FAyPF=0AxF=2FByP(a) hFNGD2bF =2FAyPF=0AxFNGCFNEDb(b) 用截面II截开桁架第二节间的三根杆，取左侧部分为隔离体。然后，分别截断见图(b),未知杆力在隔离体上的一般表示。 0DM)2222(1bFbFbFhFPPPNGC由几何关系得： 52bh 代入上式， PNGCFF5参照图(b)计算如下： 0GMPPPNEDFbFFbF3)2

11、2(2 0YF022sin)(PPPNGCNGDFFFFFPNGDFF25见图(c)有时利用未知杆力在隔离体上的分力表示，可避免求斜杆力臂的麻烦。FXGC2bbF =2FAyPF=0AxFYGCFXGDFNEDFYGD(c) 对于联合桁架，若要求计算出全部杆的轴力，用截面法求简单桁架之间的约束力，是必经之路，也是关键步骤。D3dFPFP3dCAHGEKB(a) 例6-3-1 试对图(a)所示桁架，1)分析并确定求解整个桁架内力的路径；2)寻找只计算杆a轴力时的简捷方法，并求出杆a轴力 v求整个桁架内力的一般步骤是，先求出支座反力，见图(b) DFPFPCBAHGEKaIFPFPIIIII (b

12、) 解：FNGEDFPAGKFPFNKHFNDC (c) 由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面截断的三根杆的轴力后，即可依次按结点法求出所有杆的轴力。 利用截面II截开两简单桁架的连接处，取截面任一侧为隔离体，见图(c) 见图(d) ，由结点H的结点单杆EH上的轴力，再由结点E（当杆EH轴力已知时，杆a既是结点E上的结点单杆）可求出杆a的轴力。 v 方法1：FXaAHEFNEGFNECFPBFYa (d) 取截面IIII下为隔离体，见图(e) BFXaAEFNEGFNECFPFNHBHFNHKFYa(e) v 方法2：将杆a轴力在B点分解，由 0AMPPYaFdFdF32)2(31PPYaYa

13、aNaFFFlLF35)32(25该隔离体上有5根被截断的杆件，但有4根是交于一点A的，因此利用以铰A为矩心的力矩方程，可直接求出杆a的轴力。 截面法的特殊情况 1) 除了一根单杆外，其它杆全部交于一点； 2) 除了一根单杆外，其它杆杆轴均相互平行。见图6-3-2所示 截面法单杆分两种情况，即在截面上截断的全部杆件中， (a) (b) 图6-3-2 dFPddd(a) 例例6-3-26-3-2v由上部结构的整体平衡条件，求的支座反力如图(b)所示。 IIF=F /2ByPF =F /2AyPF=FAxP (b) 解： 0YF022222PNKAFF2PFNKAFv取截面II右，可求该截面上的单

14、杆AK的轴力（当不利用结构的对称性时，这一步是解题的关键）。计算如下：v依次取结点，计算指定杆轴力： FNAJFNADF =F /2AyPF=FAxPF /2P(d) 图(d) 结点A： 0YF0222PNAJFFPNAJFF22PF22FNa(e) 利用该结点的对称性，且由水平方向的投影方程得： PNaFF22 (a)图(e) 结点J:v既有梁式杆又有桁架杆的结构称作组合结构。见图6-4-1所示。6.4 6.4 组合结构的内力分析组合结构的内力分析 图6-4-1 组合结构内力计算的一般途径是： 先计算桁架杆，再计算梁式杆。 例6-4-1 计算图(a)所示组合结构，求出二力杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。 3mDE2m3m1.5m2mq=10kNmHGCBA(a) v计算支座反力 见图(b) IF =12.5kNByIHBECF=0AxF =37.5kNAyq=10kNmGDA(b) 解：解： v 取截面II右侧，计算杆DE的轴力和铰C处的约束力，见图(e)。 12.5kNBHEF=41.67kNNEDCF=-41.67kNCxF=-12.5kNCy (e) 0CMkNF