全国数学建模大赛企业退休职工养老金制度的改革方案

1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：企业退休职工养老金制度的改革方案摘 要 本文通过建立养老金收支平衡模型来探讨企业退休养老金制度的改革方案，首先由附件一里面的数据，建立了logistic预测模型，

3、对山东省职工从2011年至2035年的年平均工资进行预测；然后建立替代率、收支平衡迭代模型以分析不同情况下的替代率和缺口情况；最后分析影响替代率的因素，对养老金制度的改革方案提出了合理的建议。针对第一问：通过对附件一中工资数据的分析，得出了工资的增长趋势呈阻滞指数增长的结论，从而建立了符合本结论的logistic模型；然后依据附件一中的数据，用matlab软件编写程序，求解出了模型中的未知参量，得到了平均工资与时间的关系：由此预测出了2011-2035年的山东省职工年平均工资（见表（1）。并利用附件一的工资数据对该模型进行检验，平均相对误差=0.085。针对问题二：首先，我们取附件二中各年龄段

4、职工的工资平均值作为该年龄段职工平均工资，然后计算出各年龄段职工平均工资与企业平均工资（见表（3），并将其比值作为各年龄段的平均缴费指数，接着通过Excel多项式拟合的方法得出60-64岁年龄段的平均工资及平均缴费指数，从而得出了2009年该企业各年龄段职工的平均缴费指数，如下表：职工年龄段20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 缴费指数0.66920.80490.98251.06671.17281.26661.20871.15500.9745根据上表进而算出六种情况下的平均缴费指数，最后由替代率的定义分别计算出该企业职工不同

5、情况下的养老金替代率（见表（8）。 针对问题三：首先参照社会统筹养老保险的缴费办法和银行存款利率3%，根据定义得到求解职工退休时基础养老金账户存款额的公式：，及职工退休后t年份领取的养老金金额的公式： ，进而建立了养老金收支平衡迭代模型：接着运用excel求出该职工在不同退休年龄下，七十五岁死亡时的缺口情况和达到收支平衡时的职工的岁数。（见表（9）和表（10）针对问题四：首先根据第三问养老金收支不平衡问题，我们对影响基金收支平衡的相关变量进行分析，找出以下六个相关变量：养老保险费收缴率、缴费工资、缴费年限、工资增长率、退休年龄、国家财政投入，最后对影响替代率及替代率的因素进行分析，对养老金制度

6、改革方案提出了合理的建议。关键词： 养老金制度 职工缴费指数 替代率 logistic模型 matlab软件一、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹

7、账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的

8、一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。我们根据附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。建立数学模

9、型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到

10、多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，可以采取什么措施，并给出理由。二、问题分析养老保险是社会保障体系的核心之一，它直接关系到社会的稳定、经济的发展。以1997年国务院26号文件关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定为标志，我国正式开始了社会统筹和个人账户相结合的养老保险体制改革。但是养老保险改革实践中面临很大压力：一方面，国家没有明确如何解决“老人”和“中人”的养老保险历史欠帐，使得社会统筹的现收现付资金不得不挪用个人账户积累的资金，造成个人账户“空帐”现象；另一方面，养老保险基金投资效率低下，加剧

11、了养老保险支付紧张的局面。针对问题一：为了预测山东省2011-2035年的职工平均工资，我们需建立一个预测模型。根据附件一里面的历年职工平均年工资，建立散点图，可以看出工资曲线的变化趋势是先开始平缓增长，之后迅速增长，且增速越来越高，考虑到工资增长受社会资源的约束，增长速率从长期来看不会一直增高，而是工资在增长到一定水平时，工资增长速率肯定会随着工资水平的进一步提高而下降，工资增长变缓，而logistic模型正具有上述特征，因此可考虑用logistic模型对附件一的数据拟合，从而预测未来年份的工资水平。针对问题二：求养老金替代率的求解，首先我们根据定义（职工退休时的养老金和退休前工资的比例）导

12、出养老金替代率，然后根据附件三中养老金的计算公式推出职工平均缴费指数，即各年缴费指数的平均值。问题二已给出2009年缴费指数的算法，即该年企业各年龄段职工工资与企业之比。我们用Excel可以算出来2009年的各年龄段缴费指数参考值根据这个参考值算出各种情况下的平均缴费指数，最后求出各种情况下种情况下的养老金替代率。针对问题三: 第三问是研究养老金的收支平衡问题，题中已给出了定义可建立模型分别计算出第j年份养老金缴费收入总额和第j年份养老金发放总额，以解决本题中要求计算出养老保险基金的缺口情况。由题意可知，当养老金缴费收入总额与养老金发放总额之差为0时，缴存的养老保险基金与其领取的养老金基金之间

13、达到收支平衡。 对问题四的分析：根据第三问我们知道养老保险基金收支不平衡，所以我们对影响基金收支平衡的相关变量进行分析，找出六个相关变量，分别是养老保险费收缴率、缴费工资、缴费年限、工资增长率、退休年龄、国家财政投入，给出措施。三、基本假设(1) 假设题中所给数据真实、可靠。(2) 统筹基金计利息，假设年利率固定为3。(3) 假设投保人按时交纳资金，中间无间断和拖欠。(4) 假设中国未来经济发展稳定，外部因素不发生改变。、(5) 假设各年龄段职工的平均工资的增长率与省内平均工资增长率相等。(6) 假设职工缴纳保险期间连续不间断缴纳养老保险。(7) 个人、企业的年平均工资与省职工年平均工资增长形

14、式相同。四、符号说明附件一中年份山东省职工平均工资预测出的年份的职工平均工资职工年份的年平均工资工资极限值r工资固定增长率养老金替代率刚退休时的养老金基础养老金个人账户养老金个人账户储存额第年缴存到个人账户中的基金到退休时的本息和第年缴存到个人账户中的基金第年缴存的总基金银行存款利率缴费年限计发月数本人指数化月平均缴费工资第年龄段的职工的平均缴费指数（=1、25）平均缴费指数参保人员退休前年本人年缴费工资额，（=1,2,m）参保人员退休前年全省或全国的职工年平均工资开始缴纳养老保险的年份退休时的年份职工死亡时的年份年份缴纳的养老保险在退休时的本息和刚退休时基础养老金总额职工退休后年份领到的养老

15、金职工退休后在年份时的账户余额 五、模型的建立与求解5.1 模型准备：Logistic的简介Logistic模型又称logistic回归，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，在预测人口的数量发展变化规律可以得到很好的效果。同样的经济预测领域也同样有广泛的应用。很多新事物的发展都会呈现一些规律，例如：在发展的初期开始平缓的增长，之后发展越来越快，到一定的时期，达到最大值之后，变化就会逐步缓慢，最终趋向一个极限值。发展趋势如图（1） 图（1） 5.1.1 对于工资数据的分析对于问题一：为研究工资岁年份的变化趋势，利用excel对附件一历年工资绘制成图（2）：图（2）观察

16、图（2），可以直观地看出在1978-1990年工资增长平缓，在1990-2007年工资增长速率随年份增加越来越快，在2008年增长速率近似达到最大，而在之后的年份，增长率又逐步降低，该工资增长模式符合logistic模型，我们根据附件一数据，建立logistic模型，预测山东省2011年至2035年年平均工资。5.1.2 建立logistic模型并求解 Logistic模型的基本公式为式（1）： （1）表示t年份的工资，t=(1979 、1980.n)，表示工资极限值，表示已知数据中第一年份的工资，r表示工资固有增长率。我选取附件一1986年至2010年工资数据作为模型的已知数据，此时=131

17、3， =1986，运用matlab编写logistic模型程序(见附表(1)计算出了模型中未知参量的值： ，。 则式（1）变为： （2）在matla里带入年份t值从而预测出了2011-2035山东省职工年平均工资，如下表（1）： 表（1）年份201120122013201420152016201720182019预测工资325603651040880456905097056740630306984077180年份202020212022202320242025202620272028预测工资8506093450102340111700121480131620142070152740163560

18、年份2029203020312032203320342035预测工资174430185280196010206540216790226700236200 为了更直观地观察所预测工资的变化趋势及与原数据的拟合程度，利用matlab绘制出了下图（图（3）： 图（3） 从图（3）中，我们可直观地看出1978年-2010年预测工资曲线与原始工资数据基本重合，本模型拟合效果理想，图（3）中2011年-2035年预测的工资曲线与1978年-2010年的原始工资曲线过渡平滑，且工资增长速率随着时间增长而放缓，这与事实相吻合，说明该模型预测效果很不错。 为了准确计算出拟合误差，我们求出了1978年至2010年

19、每年的相对, （表示t年份的原始数据中的工资） （3） 计算结果见下表（2）：表（2）年份1986198719881989199019911992相对误差0.1128380.150.0670160.1152070.1260160.1784950.179495年份1993199419951996199719981999相对误差0.1252780.0632350.1112310.1085880.0506730.0169140.003408年份2000200120022003200420052006相对误差0.0152780.0232110.0274620.0037540.0128620.03967

20、50.066445年份2007200820092010相对误差0.1231070.152510.1511440.106依据该表中的数据可得出；平均相对误差，其值在较低水平，本模拟合准确。问题二：根据文中有关替代率的定义可知 (4 ) 依照附表三中计算刚退休时的养老金金额的方法，可导出下列数据的求解公式： 养老金： （5）基础养老金： （6） 指数化平均工资： （7）个人账户养老金： （8）个人账户储存额： （9）第i年个人账户存入额到退休时的本息和为： （10）第i年缴存资金： （11）由上列公式可以列出替代率总的函数关系式 ： （12） 职工缴费指数的求法:问题二中职工缴费指数的定义如下：该

21、企业各年龄段职工工资与企业平均工资的比值。因此欲求每年的缴费指数，须求出各年龄段职工各年的工资和企业各年的平均工资。我们取各年龄段职工月收入范围的中间值作为该年龄段职工的月平均工资，用Excel计算出各年龄段职工2009年的职工平均工资与企业平均工资见表（3）：表（3）职工年龄段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59职工月平均工资1726.4502076.4962534.6242751.7163025.5243267.5513118.0292979.698企业月平均工资2579.7322579.7322579.7322579.7322579.73225

22、79.7322579.7322579.732根据表（3）中的数据，每个年龄段都有对应的月平均工资，由此适用excle多项式拟合，拟合出月平均工资的函数关系式，利用关系式预测出在2009年6064岁年龄段的职工月平均工资为2514.02元，拟合曲线如图（4） （x轴定义为第j个年龄段）图（4）该企业各年龄段职工平均工资与企业平均工资之比见下表（4）表（4）年龄段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-64职工月平均工资1726.4502076.49622534.6242751.71683025.52493267.55153118.02962979.6

23、9802539.8724企业月平均工资2579.73202579.73202579.73202579.73202579.73202579.73202579.73202579.73202579.7320缴费指数0.66920.80490.98251.06671.17281.26661.20871.15500.9745根据上表分别计算出不同情况下的平均缴费指数： (13)计算结果见表（5）：表（5）缴费起止年龄30-5530-6030-6540-5540-6040-65平均缴费指数1.1394551.1420531.1181211.2160321.2007841.155533由第一题预测出各年的年

24、的年平均工资，分别计算出各种情况下的本人指数化月平均缴费工资、基础养老金，具体数据见表（6）：表（6）缴费起止年龄30-55岁 30-60岁 30-65岁 40-55岁 40-60岁 40-65岁 在岗月平均工资10123.3314535.8318891.663807.506431.6610123.33指数化平均缴费工资11535.0916600.6921123.174630.047723.0411697.84基础养老金2707.304670.477002.59632.811415.472727.64若该职工从30，40岁开始缴费，则从2000年到2034年每年往个人账户存入额见表（7）表（7

25、）缴费起止年龄个人账户储存额计发月数个人账户养老金30-55152363.5996170896.256530-60256088.39961391842.362630-65413807.81121014097.107040-5543973.6217170258.668440-6087084.7923139626.509340-65153542.80071011520.2257由上则可计算出各种情况下的替代率（见表（8）：缴费起止年龄养老金替代率30-553603.55890.356030-606512.84150.448130-6511099.70290.587540-55891.48390.2

26、34140-602041.98020.317540-654247.87280.4196问题三：为预测该职工历年工资，假设该职工工资与山东省历年工资值之比恒等于常数k，得到该职工工资表达式：, (14)设该职工开始参保基础养老金的年份和退休的年份分别是，则该职工年份所缴纳的基础养老保险金额在最后缴纳保险年份时的本息和为： （15）则从年至-1年职工缴纳养老本息和（即基础养老金账户缴费总额）为： （16） 该职工退休后开始在退休的第一年（）领取基础养老金，则该职工在t年份领取的养老金为： （17） 表示(t-1)年时山东省职工年平均工资，表示该职工退休时的平均缴费 指数。分析题意知退休后的每年支付

27、过养老金之后的基础养老金账户余额会继续产生利息，设t年时支付过12个月的养老金后账户余额为，设该职工在年份去世，则： ， （18）利用上式一次迭代，迭代初始值，运用excel对数据进行迭代就可得出t年的养老金账户余额： . . . 当迭代至 时，即得出了该职工去世时的养老金余额，余额即反映出了缺口情况。针对本题该职工参保时间为的情况，得出了在55岁、60岁、65岁退休时三种情况下的迭代式中的未知参数：；该职工在2009年的工资为，该年山东省职工年平均工资为，则。对于求平均缴费指数的方法问题二的论文中已经解释，运用该方法求解出了三种情况下的平均缴费指数=1.139、1.142、1.118。 将上

28、述求解出来的参数分别代入公式，即可求得三种情况下的及，带入迭代式(18)，即可求出退休后t年份领取过基础养老金后对应的账户余额，进而得到了该职工死亡时所对应年份的值，及养老金刚好的年份。结果见下表：表（9）退休年龄556065基础账户总额301489.3998489034.8894720801.9777表（10）退休年龄55岁60岁65岁年份及年龄2038（68岁）2045（75岁）2045（75岁）75岁时缺口金额-24834.9304128016.6800541076.6712问题四： 延长职工的退休年龄。退休年龄推迟不仅可以增大基金的结余，而且可以延缓缺口出现的。针对我国退休年龄调整方案

29、，可选择先缓慢提高女性退休年龄。控制推迟退休对劳动力市场的就业的负面影响到最小限度。同时提高男女退休年龄，对社会统筹基金的影响更加明显。加大养老保险金的财政投入。政府加大财政投入，保证老年人生活质量不降低，以促进社会更加和谐。提高缴费工资。有利于增加养老基金的收入。降低工资增长率。 降低工资增长率可以缓解养老金支付负担。加大缴费年限。 缴费年限越长，缴费额就越大，个人账户的总积累额就越多，退休后领取的基础养老金也就越多。提高养老保险费收缴率。 高的收缴率是及时、足额发放养老金的保证，养老保险费收缴率的高低对社会养老保险基金的收入产生着直接的影响。（七）根据问题二计算出的替代率分析得出随着参保年限的增加替代率也增加，建议增加参保人员的参保年限。根据问题三种剩余额模型算出的退休后第年的，当余额目标期模型三得到的目标替代率较低，首先分析目标替代率