数学家的故事：元代数学家朱世杰

1、.元代数学家朱世杰朱世杰1249年1314年，字汉卿，号松庭，汉族，燕山今北京人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家之誉。朱世杰在当时天元术的根底上开展出“四元术，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术，即高次内插法。主要著作是?算学启蒙?与?四元玉鉴?。朱世杰“以数学名家周游湖海二十余年，“踵门而学者云集莫假设、祖颐：?四元玉鉴?后序。朱世杰数学代表作有?算学启蒙?1299和?四元玉鉴?1303。朱世杰著作?算术启蒙?是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的开展。?四元玉鉴

2、?那么是中国宋元数学顶峰的又一个标志，其中最出色的数学创造有“四元术多元高次方程列式与消元解法、“垛积术高阶等差数列求和与“招差术高次内插法。宋元时期，中国数学鼎盛时期中出色的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力研习?九章算术?，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家。生平经历元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多，他到广陵今扬州时“踵门而学者云集。他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此根底上进展了创造性的研究，写成以总结和

3、普及当时各种数学知识为宗旨的?算学启蒙?3卷，又写成四元术的代表作-?四元玉鉴?3卷，先后于：1299年和1303年刊印?算学启蒙?由浅入深，从一位数乘法开场，一直讲到当时的最新数学成果天元术，形成一个完好体系。书中明确提出正负数乘法法那么，给出倒数的概念和根本性质，概括出假设干新的乘法公式和根式运算法那么，总结了假设干乘除捷算口诀，并把设辅助未知数的方法用于解线性方程组?四元玉鉴?的主要内容是四元术，即多元高次方程组的建立和求解方法秦九韶的高次方程数值解法和李冶的天元术都被包含在内朱世杰学术研究在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意义假如把诸多数学家比作群山，那么朱世杰是最高大

4、、最宏伟的山峰站在朱世杰数学思想的高度俯嫩传统数学，会有"一览众山小"之感来世杰工作的意义就在于总结了宋元数学，使之在理论上到达新的高度这主要表如今以下三个领域首先是方程理论在列方程方面，蒋周的演段法为天元术作了准备工作，他已具有寻找等值多项式的思想，洞渊马与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚，李冶根本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段在解方程方面，贾宪给出增乘开方法，刘益那么用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此根底上解决了高次方程的数值解法问题至此，一元高次方程的建立和求解都已实现而线性方程组古已有之，所以具备了多元高

5、次方程组产生的条件李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰的四元术正是对二元术、三元术的总结与进步由于四元已把常数项的上下左右占满，方程理论开展到这里，显然就告一段落了从方程种类看，天元术产生之前的方程都是整式方程。 从洞渊到李冶，分式方程逐渐得到开展而朱世杰，那么打破了有理式的限制，开场处理无理方程其次是高阶等差级数的研究沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式朱世杰那么在此根底上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题，从而发现其规律，掌握了三角垛统一公式他还发现了垛积术与内插法的内在联络，利用垛积公式给出标准的四次内插公式

6、第三是几何学的研究宋代以前，几何研究离不开勾股和面积、体积蒋周的?益古集?也是以面积问题为研究对象的李冶开场注意到圆城因式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论，而且在李冶思想的根底上更进一步，深化研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了两个重要定理-射影定理和弦幂定理他在立体几何中也开场注意到图形内各元素的关系朱世杰的工作，使得几何研究的对象由图形整体深化到图形内部，表达了数学思想的进步。著名轶闻13世纪末，历经战乱的祖国为元王朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。蒙古统治者为了兴邦安国，便尊重知识，选拔人才，把各门科学推向

7、新的顶峰。有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术。不几天，朱世杰门前门庭假设市，求知者络绎不绝，就在朱世杰在接待学生报名之时，突然一声声叫骂声引起他的注意。只见一穿绸戴银半老徐娘，追着一年轻的姑娘，边打边骂：“你这贱女人，大把的银子你不抓，难道想做大家闺秀，只怕你投错了胎，下辈子也别想了。那姑娘被打得皮开肉绽，连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团，听凭她打，也不跟她回去。朱世杰路见不平，便上前询问，那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人，就嘲笑道：“你难道想抱打不平，你送上50两银子，这姑娘就归你了！朱世杰见此情景，大

8、怒道：“难道我掏不出50两银子。光天化日之下，竟胡作非为，难道没有王法不成？那半老徐娘挖苦道：“你这穷鬼，还谈什么王法，银子就是王法，你假设能掏出50两银子，我便不打了。朱世杰愤怒已极，从口袋里抓出50两银子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教书之地。原来，那半老徐娘是妓女院的鸨母，而这姑娘的父亲因借鸨母的10两银子，由于天灾，还不起银子，只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。后来，在朱世杰的精心教导下，这姑娘也颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，不几年，两人便结成夫妻。所以，扬州民间至今还流传着这样一句话：元朝朱汉卿，教书又育人。救人出苦海，婚姻大事成。扬州轶事据此我

9、们知道，朱世出色生在北京地区，十三世纪后期，他作为数学名家周流大江南北20余年，朱世杰最后寓居扬州，从事数学的研究和讲学，他吸引了众多学者聚集在扬州从事学术交流。扬州处于南北交汇之地，各种学术思想在这里融会贯穿；当时，扬州的印刷业又非常兴隆，是全国的书籍出版中心，表达朱世杰数学成就的两部著作?算学启蒙?和?四元玉鉴?，就是于元大德三年1299年和元大德七年1303年在扬州刻印出版的。?算学启蒙?全书共3卷，分为20门，收入了259个数学问题。全书之首，朱世杰给出了18条常用的数学歌诀和各种常用的数学常数，其中包括：乘法九九歌诀、除法九归歌诀与后来的珠算归除口诀完全一样、斤两化零歌诀，以及筹算记

10、数法那么、大小数进位法、度量衡换算、圆周率、正负数加、减、乘法法那么、开方法那么等。正文那么包括了乘除法运算及其捷算法、增乘开方法、天元术、线性方程组解法、高阶等差级数求和等，全书由浅入深，几乎包括了当时数学学科各方面的内容，形成了一个较完好的体系，可以说是一部很好的数学教科书。清代扬州学者罗士琳说，?算学启蒙?“似浅实深，这样的评论是非常中肯的。?四元玉鉴?是朱世杰阐述多年研究成果的一部力著。全书共分3卷，24门，288问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题需设立四个未知数者有7问，三元者13问，二元者36问，一元者232问。卷首列出了贾宪三角等四种五幅图，给出了天元术

11、、二元术、三元术、四元术的解法范例；后三者分别是二元、三元、四元高次方程组的列法及解法。创造四元消法，解决多元高次方程组问题是该书的最大奉献，书中另一个重大成就是系统解决高阶等差级数求和问题和高次招差法问题。在朱世杰之前，中国古代数学已有理解方程的方法“天元术，“天元术解方程是设“天元为某某，某某就是x。朱世杰不仅继承沿用了天元术，方程组解法由二元、三元推广至四元。未知数不止一个时，除设未知数天元x外，还设地元y、人元z及物元u，再列出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。在欧洲，解联立一次方程始于16世纪，关于多元高次联立方程的研究那么是18、19世纪的事了，朱世杰的“天元术比欧洲早

12、了400多年。朱世杰对“垛积术的研究，实际上得到了高阶等差级数求和问题的普遍的解法。自宋代起我国就有了关于高阶等差级数求和问题的研究，沈括1031-1095年和杨辉1261-1275年的著作中，都有垛积问题，这些垛积问题有一些就涉及高阶等差级数，朱世杰在?四元玉鉴?中又把这一问题的研究进一步深化，得到了一串三角垛的公式。?四元玉鉴?是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代程度最高的一部数学著作。现代数学史研究者对?四元玉鉴?给予了高度评价。著名科学史专家乔治萨顿说，?四元玉鉴?“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最出色的数学著作之一。编著?中国科学技术史?的李约瑟这

13、样评价朱世杰和?四元玉鉴?：“他以前的数学家都未能到达这部精深的著作中所包含的微妙的道理。遗憾的是，朱世杰之后，元代再无高深的数学著作出现，汉唐宋元的数学著作很少有新的刻本，很多甚至失传了。乾隆三十七年1772年开?四库全书?馆时，挖掘了不少古代数学典籍，朱世杰的著作却未被发现，因此，起初没有编入；1799年阮元、李锐等人编纂数学家传记?畴人传?时，也未介绍?四元玉鉴?。之后不久，阮元在浙江访得此书，旋即将其编入?四库全书?，并把抄本交给李锐校算未校完，后由何元锡按此抄本刻印，这是?四元玉鉴?1303年初版以来的第一个重刻本。1839年扬州学者罗士琳经多年研究之后，出版了他所编著的?四元玉鉴细草?，罗氏对?四元玉鉴?书中每一问题都作了细草。