数学建模 煤改电煤改气汇编

1、数学建模竞赛题 目 （A）题 煤改气煤改电 小组成员1. 2. 3. 年 月 日目录1.问题重述21.1.引言21.2.问题的提出22.模型假设23.符号说明34.问题分析44.1.问题一分析44.2.问题二分析44.3.问题三分析45.模型建立和解决55.1.问题一的模型建立和解决55.1.1.模型准备55.1.2.模型近似65.1.3.模型的建立75.1.4.模型的解决85.2.问题二的模型建立和解决95.2.1.模型准备95.2.2.模型的建立95.2.3.模型的解决115.3.问题三的模型建立和解决125.3.1.模型准备125.3.2.模型的建立125.3.3.模型的解决136.模型

2、评价及改进146.1.模型评价146.1.1.问题一模型评价146.1.2.问题二模型评价146.1.3.问题三模型评价156.2.模型改进157.参考文献167.1.1.源程序引索16煤改电煤改气摘要我国能源供应以煤炭为主，燃煤的利用是把双刃剑，虽然为我们带来了巨大的能量供应，但却同时带来了大量的烟尘、SO2和NOx等污染物，严重污染了我国空气，为了尽可能地消除不良影响，国务院号召以电代煤以气代煤，我们要利用数学知识结合实际情况来做出最优的改造方案，第一题我们类比高中时候所学到的恒定功率变速小汽车模型，建立一个散热速率随温差变大而增大的变函数模型，在通过查询相关文献，了解空气比热容等数值，并

3、且对实际情况进行了假设，假设空气为理想空气，忽略了其他热量散失的方式，仅考虑占温室散失热能的73%贯流放热，我们对多种数据以及题目所给条件进行整理分析，利用微分方程列出式子，建立了多元一次函数方程组，并通过编程求出当放热速率与产热速率相等时供暖系统的额定功率，进而求出第一题，建立了一个可以较为灵活应用的数学模型，第二题，因为燃电和燃气的功率，放热量等数值虽然不同，但其所要达成的，为温室大棚供暖的目的一致，其中的假设，方程类似，所以第一题的数学模型只需要将C语言程序的部分指令改动下就可以应用到第二题上进行求解。第三题相较于前两道题需要考虑更多的现实问题，如改造成本，原料成本，是否有改造条件，在保

4、证经济效益的同时更要保证安全可行，我们查阅相关文献，发现这个问题的复杂性远超想象，由于时间原因我们无法做到面面俱到，但我们能够对具体情况进行化简，分析，例如改造方式有很多，但在这里我们仅仅分为“燃气”“燃电”，不考虑具体改造方式 ，燃料价格波动，我们暂时假设其价格固定不变等，在进行化简之后，本题第三问成为了简单的计算成本问题，我们将成本分为改造成本和原料成本，查阅资料我们可以知道，燃煤的价格在800元每吨，是最便宜的，这就意味着无论改造为何种方式，其燃料成本势必是增加的，因此我们主要考虑的是改造成本，我们查阅相关数据知道了改造成为其他方式的供暖设备的具体成本，我们建立了参数方程组模型，并考虑极

5、限情况（全改燃气，或者全改燃电），进行成本比较，该题的关键是最值，我们要求得成本函数的最小值，为了简洁明了，我们拟和一个近似函数图像，通过图像找出最优方案。关键字：节能减排 类比模型 实际成本 极限161. 问题重述1.1. 引言我国能源供应以煤炭为主，煤炭在能源消费中的比重偏高，比如2016年还有61.3%，然而燃煤工业锅炉作为我国能源大户，能源浪费相当严重，同时燃煤工业锅炉还排放大量的烟尘、SO2和NOx等污染物，也是我国大气主要污染源之一。因此，国务院总理李克强向大会作政府工作报告，在2017年重点工作任务中有“全面实施散煤综合治理，推进北方地区冬季清洁取暖，完成以电代煤、以气代煤300

6、万户以上，全部淘汰地级以上城市建成区燃煤小锅炉。”我们应该积极响应国家号召，进行“以电代煤、以气代煤”改造，这对整个国内发展以及所涉及改造城市的大气环境、人居环境与质量等都具有重要的意义。1.2. 问题的提出在改造过程中，会存在供暖需求量，改造成本，效益与效率等多方面问题，所以必须要找出之间的关系，权衡利弊，找出最有效益，最经济可行的方案，为了了解“以电代煤、以气代煤”改造为我们生活带来的便利与节能，本文依次提出如下三个问题：（1） 有一个500平米的花木大棚，宽5米长100米，大棚圆弧半径是2.5米，材质是塑料膜的，需要把燃煤改为电，要求冬季保持温度在零上10摄氏度，请建模说明，需要多大功率

7、电锅炉.（2） 问题条件与（1）相同，如果该项目可以把煤改为气，请建模说明，需要多大功率燃气锅炉。（3） 考查市场的实际成本和冬季可能出现的实际情况，为该项目设计一个经济实惠且安全可行的改造方案。2. 模型假设1,假设室外温度均衡不变，为-5。2. 空气视为理想气体3.在实际问题中，现实的热量散失途径很多，其主要途径为贯流放热，忽略其他途径的热量损失。4.忽略燃煤，燃电等方式升温空气对空气体积，密度，以及对塑料膜的影响3. 符号说明符号意义圆周率，本文中取3.14r大棚底面半径（m）h大棚的长度（m）V大棚大棚体积（m3）t室内外温度差（）t室内温度（）m室内空气质量（kg）C空气比热容（J/

8、(kg·）Q大棚大棚保持10°所需热量（J）Q末大棚内温度到达10时的热值（J/kg）K贯流放热系数F维护结构面积（m²）w电单位时间内电锅炉所做的功（J）w气单位时间内气锅炉所做的功(J)Q2贯流放热量T时间（s）F牵汽车牵引力（N）f地面对小车的摩擦力(N)m车小车的质量（kg）n维护结构内表面的换热系数，通常取8.7W/(m2·°C)；w维护结构外表面的换热系数，通常取23.3W/(m2·°C)Rj维护结构第j层材料的热阻，(m2·°C)/Wj维护结构第j层材料的厚度，(m)j维护结构第j层材料的导

9、热系数，W/(m2·°C)4. 问题分析4.1. 问题一分析题目要求建立模型说明需要多大功率的电锅炉，可以使得花木大棚在冬季保持温度在零上10，由于大棚内的温度是持续上升的，所以我们必须把每一时刻的温度所对应的热量微分，最后利用产热散热差值等于零时刻时，温度到达需求值的假设条件，建立起关于热量，时间，功率的微分方程。最后，根据对时间的限定，在单位时间内，利用C语言编程函数式，来求解出电锅炉的最大功率。4.2. 问题二分析题目要求建立模型说明需要多大功率的气锅炉，可以使得花木大棚在冬季保持温度在零上10。不难看出，对于此问题，和第一问相比较，只存在电与气的热交换效率的差异而已

10、，因此，我们可以利用第一问所建立的模型，适当改变参数，来求解出气锅炉的最大功率。4.3. 问题三分析题目要求考虑市场的实际成本和冬季可能的情况，来让我们设计一个煤改气改电的最经济实惠且安全可行的方案。那么这实际是就是让我们建立一个优化模型，最终找出一个最优解的问题。首先考虑实际成本，煤改气的成本在正常情况下比煤改电的成本要低许多，但是由于煤改气存在着一个天然气管道的修建问题，其与地形条件与居民居住间隔距离有很大关系，且国家有一个天然气管道修建安全距离的指标，使得其与安全可行的条件息息相关。也就是说，并不是所有居民都适合煤改气，所以我们就可以让一些用户参与煤改电，而另一些适合煤改气。而我们所要建

11、立的模型就是在这二者之间找到一个最优点，使得在此时的实际成本最低。并且，应对冬季不同的天气情况与各种可能出现的情况，我们可以找出几组不同的最优解，最后加权平均后得到一个单一的最优解。或者是保留所有条件下的最优解。5. 模型建立和解决5.1. 问题一的模型建立和解决5.1.1. 模型准备（1）符号说明：圆周率，一般取3.14r：大棚底面半径（m）h：大棚的长度（m）V：大棚体积（m3）Q大棚：大棚保持10°所需热量（J）t：室内外温度差（）m：室内空气质量（kg）C : 空气比热容（J/(kg·）Q末：大棚内温度到达10时的热值（J/kg）w电: 单位时间内电锅炉所做的功（J

12、）K：贯流放热系数F：维护结构面积（m²）Q2:贯流放热量T：时间V大棚：大棚体积 n : 维护结构内表面的换热系数，通常取8.7W/(m2·°C)；w : 维护结构外表面的换热系数，通常取23.3W/(m2·°C)Rj : 维护结构第j层材料的热阻，(m2·°C)/W（2）大棚体积的确定根据题目，500平米的花木大棚，宽5米长100米，大棚圆弧半径是2.5米，可以求得大棚体积V大棚=r2hV大棚=*2.52*100=1962.5m3（3）保持大棚中温度所需的热量的计算可以利用热量计算公式：，计算出大棚内保持十度所需的热量Q

13、大棚=10-0*1.205*1962.5*1.01=23884.60625J5.1.2. 模型近似从我们需要用电锅炉来维持花木大棚的温度，可以推测出我们需要一个恒定的电锅炉功率P。我们可以得出维持花木大棚温度在10时的热值，根据牛顿冷却定律，我们可以知道温差越大，传热越快。据此我们可以找到当温差到达一个定值时，当棚内上升温度t1=传导散热温度t2时，棚内温度可以维持在10以上，这时的额定电功率P就是我们所需要的。据此我们不难看出，这个模型与高中物理小车以恒定功率P出发后逐渐匀速运动的模型所类似。为方便理解，我们做出以下小车运动模型：列出已知公式：F牵 -f=m车a v=aT P=Fv 绘出以下

14、图形： v(m/s) T(s)可以看出，由于小车P恒定，而v随T增加而增加，F随之减小，曲线的导数为小车加速度也逐渐减小，最终趋于0，而小车的速度也最终趋于一个定值而做匀速运动。那么，我们的大棚温度维持模型是否也能仿照这个相似模型而建立呢？我们做出以下设想。5.1.3. 模型的建立为帮助理解，我们先做出大棚内温度t随时间T变化的示意图： t() T(s) 我们用以下步骤进行推导：（1） 由已知量得出大棚内温度到达10时Q末的值。（2） 计算出电锅炉在恒定功率P下工作所产生的W。 W电=TP 由电锅炉转换效率可知： Q1=0.98W W电=1.11Q1 微分可得dQ1=0.98PdT（3） 根据

15、牛顿冷却定律，我们可以得出贯流放热量Q2=KFt2 ，将散热量Q2微分，可以得到dQ2 又因为t2=t1-（-5），而dt1=(dQ1)/mc,所以dt2=dt1-(-5) 据此我们可以得出dQ2= KFt2=KF( dt1-(-5) （4） 那么综上以上分析，我们可以推导得到总式，建立如下模型：Q末=T=0T(dQ1- dQ2)=T=0T(0.98PdT- KFt2) =T=0T(0.98PdT- KF( dt1-(-5)=T=0T(0.98PdT- KF(dQ1)/mc-(-5)即Q末=T=0T(0.98PdT- KF(0.98PdT)/mc-(-5)结合已知条件，从中可以解出我们所需要的

16、电锅炉功率P5.1.4. 模型的解决查阅相关文献，得到贯流放热系数计算公式： 式中：n维护结构内表面的换热系数，通常取8.7W/(m2·°C)； w维护结构外表面的换热系数，通常取23.3W/(m2·°C)； Rj维护结构第j层材料的热阻，(m2·°C)/W。 第j层为固体材料时，固体传热是导热过程，其计算公式： 式中：j维护结构第j层材料的厚度，m； j维护结构第j层材料的导热系数，W/(m2·°C)。经过查阅相关资料，贯流放热系数K=0.37F=*r*d=3.14*2.5*100=785(m2)运用以上建立的模

17、型，利用codeblock软件，编程计算不同最终保持温度下，所需要的最大功率P1，P2，P3，P4，P5（源程序见problem1.c）做出以下表格 温度功率68101214P12,3,4,517KW22KW28KW33KW39KW据此推测，电锅炉维持大棚冬季保持温度的最大功率PP3,即P28KW5.2. 问题二的模型建立和解决5.2.1. 模型准备(1) 符号说明t：室内外温度差t：室内温度（）m：室内空气质量C:空气比热容Q末：大棚内温度到达10时的热值K：贯流放热系数F：维护结构面积（m²）Q2:贯流放热量T：时间 W气：单位时间内气锅炉所做的功(J)n : 维护结构内表面的换

18、热系数，通常取8.7W/(m2·°C)；w : 维护结构外表面的换热系数，通常取23.3W/(m2·°C)Rj : 维护结构第j层材料的热阻，(m2·°C)/W5.2.2. 模型的建立若把煤改成气，用气锅炉代替供暖的话，在模型的建立方面，我们发现电锅炉的热转换效率达到了98%左右，而气锅炉的效率达到了90%，而在温室大棚温度改变的方面却没有太大区别，因此我们可以类比求解电锅炉功率P时所用的模型，同理得出气锅炉的恒定功率P.故我们有以下模型的建立：为帮助理解，我们先做出大棚内温度t随时间T变化的示意图： t() T(s) 我们用以下步骤

19、进行推导：（1） 由已知量得出大棚内温度到达10时Q末的值。（2） 计算出气锅炉在恒定功率P下工作所产生的W。 W=TP 由气锅炉转换效率可知： Q1=0.9W W=1.11Q1 微分可得dQ1=0.9PdT (3) 根据牛顿冷却定律，我们可以得出贯流放热量Q2=KFt2 ，将散热量Q2微分，可以得到dQ2 。 又因为t2=t1-（-5），而dt1=(dQ1)/mc,所以dt2=dt1-(-5) 据此我们可以得出dQ2= KFt2=KF( dt1-(-5) (4) 那么综上以上分析，我们可以推导得到总式，建立如下模型： Q末=T=0T(dQ1- dQ2) =T=0T(0.9PdT- KFt2)

20、 =T=0T(0.9PdT- KF( dt1-(-5) =T=0T(0.9PdT- KF(dQ1)/mc-(-5) 即Q末=T=0T(0.9PdT- KF(0.9PdT)/mc-(-5)结合已知条件，从中可以解出我们所需要的气锅炉的功率P5.2.3. 模型的解决同理，模型二的解法与模型一类似：查阅相关文献，得到贯流放热系数计算公式： 式中：n维护结构内表面的换热系数，通常取8.7W/(m2·°C)； w维护结构外表面的换热系数，通常取23.3W/(m2·°C)； Rj维护结构第j层材料的热阻，(m2·°C)/W。 第j层为固体材料时，

21、固体传热是导热过程，其计算公式： 式中：j维护结构第j层材料的厚度，m； j维护结构第j层材料的导热系数，W/(m2·°C)。经过查阅相关资料，贯流放热系数K=0.37F=*r*d=3.14*2.5*100=785(m2)运用以上建立的模型，利用codeblock软件，编程计算不同最终保持温度下，所需要的最大功率P1，P2，P3，P4，P5（源程序见附录problem2.c）.做出以下表格:温度功率68101214P12,3,4,518KW24KW30KW36KW42KW据此推测，气锅炉维持大棚冬季保持温度的最大功率PP3,即P30KW5.3. 问题三的模型建立和解决5.3

22、.1. 模型准备(1) 符号说明Q ：气体从0升温到30，每户所需产热量M煤炭 ：煤炭质量I : 所需用电量(2) 参数确定（1)假设价格不变，以查询值为准，经过查询，我们得知煤炭价格800元每吨，天然气价格2.4元每立方米，电成本分三档，第一档每月小于181度，每度价格为0.47元，181度到280度，每度价格为0.52元，281度以上，每度价格为0.77元（忽略不等时价格的变化）。（2)经查询可知一千克的燃煤热值约为29.30兆焦耳，燃煤锅炉热效率为70%到80%（按75%），燃煤供暖方式改为燃电供暖所需成本为A，燃煤供暖方式改造为燃气供暖所需成本为B（3)假设共有300万户需要改造，且平

23、均面积为100平方米，高3米，均保持20摄氏度，假设冬季平均气温为-10摄氏度 （4）查询资料可知，电热器功率一般在800-1000W（取1000W），可求得产热为3600000J/h，电热器热效率在85-95%（取90%）5.3.2. 模型的建立1. 改造成电供暖方式因为无论哪一种供热方式，其热能损失的方式，速率不发生改变，前后相抵消。所以，忽略散热 假设将气体从0升温到30，首先计算每户所需产热量Q= 30*1.205*300*1.01=10953.45想要产出此热量所需煤炭量为M煤炭=（10953.45/3.3*106）/0.75=0.0044256kg 所需电量I=（10953.45/

24、3.6*106）/0.9=0.00338069kw/h考虑实际情况，改造成本为3000到5000（取4000）已知在0-181度电范围内一度电花费0.47元，一千克煤花费0.8元，所以在相同时间内用煤与用电放出热量相同时花费相差：0.8*0.004425-0.47*0.00338069=0.00195元所以300万户相差0.00195*3000000=5850元而改造成本为3000000*4000=12*109元2. 改成燃气供暖 天燃气单价2.5元/m燃烧每立方米天然气释放热能Q气放=34587KJ燃气炉热效率0.9 考虑实际情况，改造成本约为28元每平方米，所以每户成本为2800

25、假设将气体从0升温到30所需燃气量为 （10953.45/34587000）/0.9=0.00035188立方米所以建立函数模型，设改造成本为Z，用料成本为N,有A户改造为燃电，B户改造为燃气则：Z=A*4000+B*2800 A+B=30000005.3.3. 模型的解决据以上建立的模型，我们容易解出两个特别极端的值，即当A=0时，Z=0*4000+B*28000+B=3000000解得Z1=8.4*109又当B=0时，Z=A*4000+0*2800A+0=3000000解得Z2=1.2*1010显然Z1<<Z2所以当B=0时一定不可取。但是，当A=0在实际情况总无法满足，因为根

26、据调查，会有一些小区或是住宅区由于地域偏僻或者是地形复杂，修建天然气管道的成本会以类似指数函数的形式升高，并且在特殊地域上修建天然气管道不符合安全可行的原则，城建、规划、消防等规范均有明确规定,"燃气管道与其他构、建筑物要保持安全距离,不 得违反"，这使得上述理想状态下的模型不可用。 所以，我们利用以下优化模型进行求解，找到改造电锅炉和改造气锅炉的平衡点。我们作出以下假设：1. 假设改气锅炉的户数越多，修建天然气管道越长，修建成本也越高，且与所建立的模型继续构成正比关系。2. 假设在不同住户分布情况下，管道的安全距离不同，所需的修建成本也不同。3. 假设改造电锅炉的成本是均

27、一的。由此我们可以看出A与B所确定的二元方程组，必然可以绘制出一个类似于二次函数的曲线，如下图： Z Z1 B B1图像中所显示的凹点所对应的B1，便是该模型的最优解，此时的A=（3000000-B1），对应最经济实惠的价格为Z1如此，我们便得到了一个最优的改造方案。6. 模型评价及改进6.1. 模型评价6.1.1. 问题一模型评价问题一建立的是函数模型，运用了微积分，累加求和的数学知识，用简单的物理学中的小车运动问题，来类比此题，使得我们可以用简单方法解决复杂问题。本模型主要解决了在已知最终维持温度的条件下，综合已知数据，方程求解额定功率P，最后通过利用单位时间内维持大棚温度的条件，求解出电锅炉最大功率P。该模型基于严密的数学推导，求解过程严禁，结果可信度高，说服力强。6.1.2. 问题二模型评价问题二建立的也是函数模型，总体基于问题一所建立的模型，因为改电锅炉与改气锅炉在理想条件下只存在热转化效率的差异，所以我们在模型中微调几个参数，使得模型符合问题二的要求。同理对气锅炉的最大功率P进行类似方法的求解。该模型基于严密的数学推导，求解过程严禁，结果可信度高，说服力强。6.1.3. 问题三模型评价问题三建立的模型是一个函数模型与一个优化模型，巧妙地使用了问题所给的开放条件，进行分类讨论，进而作出假设条件。利用一个开口向上的类似二次函数的图像，找到最低点，即我们所需的