湖南省长沙市一中高三第三次月考试卷 理科数学

1、湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考试卷理科数学命题：长沙市一中高三理科数学备课组一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1 设A = x |x 2|3，B = x | x<t，若AB =，则实数t的取值范围（ ）At < 1Bt1Ct >5Dt52已知sin () = ，那么cos的值为（ ） A±BCD±3函数y = f (x) = 2sin (2x + )在上对称轴的条数为（ ） A1B2C3D04下列函数中，图象的一部分如下图所示的是（ ） Ay = sin ()By = sin C

2、y = cosDy = cos5 下列命题中，真命题是（ ）ABC，sinx + cosx2D6已知向量a= (1，2)，b= (2，4)，|c| =，若(a+b)·c=，则a与c的夹角为（ ）A30°B60°C120°D150°7定义：区间x1，x2(x1 < x2)的长度等于x2 x1，函数y = |logax|(a>1)的定义域为m，n(m<n)，值域为0，1，若区间m，n的长度的最小值为，则实数a的值为（ ）AB2CD48右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样

3、的x值有（ ）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上）9已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a = 4，C= 60°，SABC = 8，则边长c= 10等差数列an中，a1 + a2 + a3 = 24，a18 + a19 + a20 = 78，则此数列前20项的和等于 11已知各项不等的等比数列an的公比为q，其前n项的和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于 12已知f (x) = x2 + mx + 1，使不等式f (x)3对任意的m1，1恒成立的实数x的取值范围为 13，g(x) = mx +

4、 2，使g(x1) = f (x0)，则m的取值范围 14已知函数f (x) = x3+ax2 + bx + c的图象如图：直线y = 0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为，则f (x) = 15已知函数f (x) = 2sinx·cos|x| (xR)，则下列叙述不正确的为 f (x)的最大值为1 f (x)为奇函数 f (x)在0，1上是增函数 f (x)是以为最小正周期的函数三、解答题（本大题6小题共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题12分）已知f (x) = sinx + sin （1）若，且的值； （2）若，求f

5、 (x)的单调递增区间 17（本题12分）已知数列是等差数列，a2 = 3，a5 = 6，数列的前n项和是Tn，且Tn +（1）求数列的通项公式与前n项的和Mn；（2）求数列的通项公式；（3）记cn =，求的前n项和Sn18（本题12分）已知向量 （1）求cos ()的值； （2）若0，0，且sin=，求sin 19（本题13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4万米，BC = 6万米，CD = 2万米（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面

6、的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值20（本题13分）已知函数f (x) = ln(ex + a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g (x) =f (x) + sinx是区间1，1上的减函数（1）求a的值；（2）若g (x)t2 +t + 1在x1，1上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数21（本题13分）已知数列an中，a1 = t (t0，且t1)，a2 = t2且当x = t时，函数f (x) =(

7、an an 1)x2 (an + 1 an) x (n2)取得极值 （1）求证：数列an + 1 an是等比数列； （2）若bn = an ln |an| (nN+)，求数列bn的前n项的和Sn； （3）当t = 时，数列bn中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，请说明理由 参考答案题号12345678答案BDBCACDA910【解析】a1 + a20 = a2 + a19 = a3 + a18 3 (a1 + a20) = 78 24 = 54a1 + a20 = 18，11 12 x2或x2 13 14 x3 3x2 15 16【解析】（1） sin0，f () = sin

8、+ cos1分 又sin2= = 2sin·cos0 ，sin+ cos03分 由(sin+ cos)2 = 1 + 2sin·cos=5分sin+ cos= f () =7分（2）由（1）知f (x) =，当2k时，f (x)是单调递增的9分 ，又0x11分f (x)的单调递增区间为0，12分17【解析】（1）设的公差为d，则：a2 = a1 + d，a5 = a1 + 4da2 = 3，a5 = 6，a1 = 2，d = 13分an = 2 + (n 1) = n + 15分（2）证明：当n = 1时，b1 = T1，由，得b1 =6分当n2时，即7分8分是以为首项，为

9、公比的等比数列10分（3）由13分18【解析】（1） ，5分即2 2cos () =， cos () = 6分（2）0 0，8分cos () =，sin () = sin= ， cos=，10分sin= sin() + = sin () cos+ cos ()sin= 19【解析】（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以ABC +ADC = 180°，连接AC，由余弦定理：AC2 = 42 + 62 2×4×6×cosABC = 42 + 22 2×2×4 cosADC所以cosABC =，ABC(0，)，故ABC = 60°

10、S四边形ABCD = ×4×6×sin60°+×2×4×sin120°= 8（万平方米）4分在ABC中，由余弦定理：AC2 = AB2 + BC 2 2AB·BC·cosABC = 16 + 36 2×4×6× AC = 6分由正弦定理，（万米）8分（2）S四边形APCD = SADC + SAPC又SADC = AD·CD·sin120°= 2，设AP = x， CP = y则SAPC = 10分又由余弦定理AC2 = x2 + y2

11、 2xy cos60°= x2 + y2 xy= 28x2 + y2 xy2xy xy = xyxy28 当且仅当x = y时取等号12分S四边形APCD = 2+ 最大面积为9万平方米13分20【解析】（1）由于f (x) 是R上的奇函数，f (0) = 0，故a = 03分（2）g (x)在1，1上单调递减，时恒成立，只要(t + 1)+ t2 + sin1 + 10(其中1)恒成立5分令则t18分（3）由（1）知方程为令f1(x) =，f2(x) = x2 2ex + m，当x(0，e)时，在(0，e上为增函数；当x(e，+)时，在（e，+)上为减函数；当x = e时而当时，即

12、时方程无解当时，即时方程有一解当时，即时方程有二解13分21【解析】（1）由已知f(t) = (an an-1)·t (an + 1 an) = 0 即 (an an 1) t = (an + 1 an) 又a2 a1 = t2 t，t0且t1 a2 a10 数列an + 1 an是首项为t2 t，公比为t的等比数列4分 （2）由（1）知an + 1 an = (t2 t)·tn1 = t n+1 t n an an1 = tn tn1； an1 an = tn1 tn2；a2 a1 = t2 t 以上n个式子相加：ana1 = tn t， an = tn， (t0且t1)6分 bn = an ln |an| = tn·ln |tn| = n·tn·ln|t| Sn = (t + 2·t2 + 3·t3 + +n·tn )·ln