第十一章曲线积分与曲面积分ppt课件

1、第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分实例：实例： 设平面曲线设平面曲线L上点上点),(yx处的处的线密度为线密度为),(yx ，),(yx 在曲线在曲线L上延续，上延续，且且. 0),( yx 求曲线求曲线L的质量的质量? mLxyOAB1M2M1 iMiM1 nM0M nM 1.将曲线将曲线L任分为任分为n个小弧段：个小弧段：iiMM1 ,ni,.,2 , 1 第第i个小弧段个小弧段iiMM1 的长度记为的长度记为is LxyOAB1M2M1 iMiM1 nM0M nM 2.任取一点任取一点 ),(ii iiMM1 ，ni,.,2 , 1

2、 第第i个小弧段个小弧段iiMM1 的质量的质量im ),(ii ),(ii is LxyOAB1M2M1 iMiM1 nM0M nM 3.),(ii im ),(ii is 求和求和 ni 1 ni 1 m将曲线将曲线L分得越细，分得越细，近似值近似值),(ii is ni 1就越接近于准确值就越接近于准确值m.LxyOAB1M2M1 iMiM1 nM0M nM 4.),(ii 记最大弧长为记最大弧长为 is ni 1max令令0 ，取极限，取极限 ，得，得),(ii is ni 10lim m一、定义一、定义设设L为为xoy坐标面内的一条光滑曲线弧，坐标面内的一条光滑曲线弧，函数函数),(

3、yxf在在L上有界。上有界。 在在L上上恣意参与恣意参与1 n个分点：个分点：1121,.,., niiMMMMM将将L任分为任分为n个小弧段个小弧段. 设第设第i个小弧段个小弧段的长度为的长度为is ，.,.,2 , 1ni 在第在第i个小弧段个小弧段上任取一点上任取一点),(ii ，作和作和),(iif is ni 1.记最大弧长为记最大弧长为 is ni 1max.假设极限假设极限),(iif is ni 10lim 存在存在 ， 那么称该极限值那么称该极限值为函数为函数),(yxf在曲线弧在曲线弧L上对弧长的曲线上对弧长的曲线记为记为dsyxfL ),(即即dsyxfL ),( ),(

4、iif is ni 10lim 积分或第一类曲线积分，积分或第一类曲线积分，阐明：阐明：由实例，得由实例，得线密度为线密度为),(yx 的曲线的曲线L的质量的质量 m),(ii is ni 10lim dsyxL ),( dsyxfL ),( 积分弧段积分弧段被积函数被积函数弧长元素弧长元素 二、可积条件二、可积条件假设函数假设函数),(yxf在平面光滑曲线弧在平面光滑曲线弧L上延续，上延续，那么那么dsyxfL ),(存在。存在。不证不证阐明阐明上面定义可推行到空间曲线弧上面定义可推行到空间曲线弧 的情形，即的情形，即dszyxf ),( ),(iiif is ni 10lim 阐明阐明L(

5、1) 假设假设 为分段光滑曲线，为分段光滑曲线，例如例如21LLL ，其中，其中21 LL 与与是光滑曲线是光滑曲线那么规定那么规定dsyxfL ),( dsyxfL 1),( dsyxfL 2),(2) 假设假设L为封锁曲线，为封锁曲线，那么记为那么记为dsyxfL ),(三、性质三、性质(1)dsyxgyxfL ),( ),( dsyxfL ),( dsyxgL ),( (2)dsyxfL ),( dsyxfL 1),( dsyxfL 2),(这里这里21LLL 是光滑曲线弧是光滑曲线弧、21LL,(3) 假设在假设在L上，上，),(),(yxgyxf 那么那么 LLdsyxgdsyxf)

6、,(),(特别地特别地,有有 LLdsyxfdsyxf| ),(|),(|四、计算四、计算定理定理设设),(yxf在曲线弧在曲线弧L上有定义上有定义且延续，且延续，L的参数方程为的参数方程为 )()(tytx ) ( t，其中其中)( )(tt 、在在, 上具有一阶延续导数，上具有一阶延续导数，且且0)( )(22 tt ，那么那么dsyxfL ),(存在存在,且且dsyxfL ),( )(t , f)(t dttt )()(22 ) ( 证证变到变到假定当参数假定当参数t由由 时，时，L上对应的点上对应的点LxyOAB1M2M1 iMiM1 nM0M nM 1t2t1 itit1 nt 0t

7、 nt在在L上恣意参与上恣意参与1 n个分点：个分点：1121,.,., niiMMMMMAB,0M nM,对应于一列单调添加的参数值：对应于一列单调添加的参数值：1121. niittttt 0tnt ),(yxM就按照由点就按照由点A到点到点B的方向描出曲线的方向描出曲线.LLxyO AB1M2M1 iMiM1 nM0M nM ),(ii 1t2t1 itit1 nt 0t nti 按定义，得按定义，得dsyxfL ),( ),(iif is ni 10lim 0lim ni 1 , fis )(i )(i )(1iiitt LxyO AB1M2M1 iMiM1 nM0M nM ),(ii

8、 1t2t1 itit1 nt 0t nti is dtttiitt )()( 221 ) () (22ii it ) (1iiitt (定积分中值定理定积分中值定理)i dsyxfL ),( 0lim ni 1 , f)(i )(i ) () (22ii it 0lim ni 1 , fis )(i )(i , f0lim ni 1)(i )(i )()(22ii it dtttttf )()()(),(22 上是连续的上是连续的在在, )()( (22 tt ) ii 换为换为可将可将留意留意dsyxfL ),( , f)(t )(t dttt )()(22 ) ( )()(:tytxL

9、) ( t阐明阐明其它情形：其它情形：(1):L)( , )(bxaxy 即即)(xy xx )(bxa dsyxfL ),( , fx)(x dxx )(12 ab) (ba x为参数为参数.(2):L)( , )(dycyx 即即yy )(yx )(dyc dsyxfL ),( , f)(y ydyy )(12 cd) (dc y为参数为参数.(3): )()()( tztytx dszyxf ),() ( t , , f)(t )(t dtttt )()()(222 ) ( )(t 例例1计算计算 Ldsyx22，其中，其中L为圆周：为圆周： tRytRxsincos)20( t，.解解

10、xyORt),(yxLxyORt),(yx Ldsyx22 22)sin()cos(tRtR dttRtR )cos()sin(22 0 2 tRytRxsincos:LL dtttR sincos225 0 2 dttt2) sin(cos 0 25R 0 25Rdtt4) 2(sin2 0 245Rdtt24cos1 |0 245R)84sin2(tt 45R 例例2计算计算dsyL ，其中，其中L为立方抛物线为立方抛物线3xy 解解上点上点)0 , 0(O与点与点)1 , 1(A之间的一段弧之间的一段弧.xyO)1 , 1(AL选选x为参数为参数.:L3xy dsyL 3 xdxx23)

11、(1 01 dxx491 3 x01 )91(4xd 41 0 91 x 361 36141 0 91 x )91(4xd 361|10234)91(32x )110(54123 例例3计算计算dsxL ，其中，其中L为抛物线为抛物线2yx 解解上点上点)1, 1( A与点与点)1 , 1(B之间的一段弧之间的一段弧.xyO)1, 1( A)1 , 1(BL选选y为参数为参数.:LdsxL 2 ydyy22)(1 1 1 dyy241 | y1 12yx dyy241 | y012 2dyyy21 0 41 4121 0 41 y )41(2yd 41232)41(32y |1 0 )15(6

12、123 留意：留意：此题假设选此题假设选x为参数，为参数，计算较繁。计算较繁。需求分为上下两段，需求分为上下两段，例例4计算计算dszyx )(222，其中，其中 为螺旋线：为螺旋线： ktztaytaxsincos上相应于上相应于t从从0到到 2的一段弧的一段弧.xyO)0 , 0 ,(aA)2 , 0 ,( kaB z解解: ktztaytaxsincosdszyx )(222 )()sin()cos( 222kttata dtkttata222)()sin()cos( 0 2 dtktatatka222222 0 2)cos()sin()( dtkatka22222 0 2)( |2 0 32222)3( tktaka