2019年高考数学专题05函数的周期性和对称性黄金解题模板

1、2019年高考数学专题05函数的周期性和对称性黄金解题模板【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性(中心对称、轴对称)，并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】一、函数的周期性的判定及应用使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；(1)若函数f(x)满足f(x+a)= f(xa),则函数f(x)的周期为2a；11(2)右函数 f (x

2、)满足 f(x+a) = f(x)或 f(x + a)=或 f (x+ a)= ,f(x)f(x)则函数f(x)的周期为2a;第三步 运用函数的周期性求解实际问题 .例1函数/定义域为R ,且对任意iwN ,都有/卜+ 2)=.小)，若在区间I Ll上产则小。+小。闻1)A. B. C. D. 1 ,【答案】C【解析】由/(1+2) = /(力，可知/(旬是周期为2的函数，故=代入解析式，得-白+ 2=(白一2)白，解得口 = 2,从而、支门 人, (22xje .v故/(2017)+/(2018)=/(l)+7= 2,故选 C.【点评】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对出数周期性

3、的考查，主要涉及国数周期性的 判断，利用国数周题性求值.【变式演练1】已知定义在 R上的函数f(x)满足f (x) = f(x) , f (3 x)= f(x),则f(2019)=()A.4 B .0 C . 1 D . 3【答案】B【解析】试题分析：=,所以 "6r)T0r)=Mf)=T =6 ,因此/(2019) =/(3) = /(0)=0 选 r考点：函数周期性质【变式演练 2】定义域为 R上的奇函数f (x )满足f (x+1 )= f (x + 1 ),且f (1)=1 ,则f (2017) =( )A. 2 B. 1 C. -1 D. -2【答案】C【解 析】f (-x

4、+1 )= f (x+1)= f(x)= f(2 x)= f (x)= T=4 ,因 此 f(2017) =f(1)=-f (T )=T，选 C.考点：函数的周期性.【变式演练 3】定义在 R上的偶函数 y=f(x)满足f (x + 2) = f (x),且在x w 2, 0上为增函数，37a = f ()，b = f ()，c = f (log 1 8),则下列不等式成立的是()222A. a >b >c B . b >c >a C . b > a >cD . c> a> b【答案】B【解析】试题分析：因为定义在 R上的偶函数y = f(x)在

5、xW-2,0上为增函数，所以在 xw 0,2上单调递减，又一一一 7- 1 一一 一 一 13.f (x +4) = f (x),所以 b = f(一) = f . ,c = f (log 1 8) = f ( 3 )= f (1 ),又< 1 <一,所以 b>c>a 22222考点：1 .偶函数的性质；2.函数的周期性.二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：a - b第一类 函数f(x)满足f (x + a) = f (b x)时，函数y = f (x)的图像关于直线 x = b对 2称;第二类 函数f(x)满足f(x+a)

6、+ f(bx)=c时，函数y=f(x)的图像关于点(刍¥,£)对 22称；b - a 第三类 函数y = f (x+a)的图像与函数y = f(bx)的图像关于直线 x=-a对称.2例 2 .已知定义在 R上的函数 f (x)满足 f (x) = f (x) , f (3x) = f (x),则 f (2019)=()A. -3B . 0 C . 1 D . 3【答案】B【解析】试题分析：A-x) =/. fQ-x)= -fx - 3),且 /(O) =0 、又 /(3-x)=/(jd ,-/(x) =,由此可得，(尤-3)= 一-6),= 工-6),二(力是周期为6的函数

7、,/ (2019) = /(6x336+3), ./(2D19) = /(3> =/(0) = D,故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数/5)满足J&h则函数关于9。)中心对称,冷，则函数关于 咒=，轴对称，常用结论：若在K上的函数满足/6 +工)=/(口一工),/0 +工)+力,贝 数/泛)以4g-川为周期.本题申.利用此结论可得周期为4x0-, =6,进而fQ019) = /G), f(3) 需要回到本题利用题干条件赋值即可.例3 已知定义在R上的函数f (x )的图象关于点|-3,0卜寸称，且满足f (x)=-f x+1卜又

8、f (-1) = 1,f (0)=2，则 f (1)+f(2)+f (3)+. + f(2008)=()A. 669B . 670 C . 2008 D . 1【答案】D【解析】试题分析：由 f(x)=f .,+3 得 f (x)=f (x+3),又 f (1 ) = 1, f (0)=2,2f (_1)= f (_1 + 3) = f (2) , f(0) = f(3), f(x)的图象关于点'-3,0 对称，所以f (一1)=一f( 2)= f(2+2)= f。)，f(1)+f(2) + f(3) = 0,由 f(x)=f(x + 3)可得f (1 )+f (2)+f (3)+f

9、(2008)=669x(f(1)+f(2)+f (3+ f(1)=f(1)= f(-1) = 1,故选 D. 考点：函数的周期性；函数的对称性.例4 已知y=f(2x1)为奇函数，y = f (x)与y = g(x)图像关于y = x对称，若x1+x2 = 0,则g(x1)+g(X2 )=()A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】.“二2工1)为奇函数，故？ = 2x1)的图象关于原点(O.O)对称，而函数了=力»的图 象可由L)图象向左平移g个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故 7=7(乂)的豳关于点(-1,0)对称，又V =与乎=且(勾麴

10、关于y=乂对称，故函数(力的图象关于点对称，丁再十二。，即看二-再，故点(冷旦(巧),(孙X(巧)，关于点(。一1)对称， 故g(通)+g(巧)=一2,故选B.【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函 数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等曲数图像经过F平移变换K倒折变换2对称变 换2伸缩变换喟到，在交换过程中一定要注意变换顺序一本题是利用函数的平移变换、旗髅换后根据对称 性解答的.33【变式演练4】定义在R上的奇函数f(x),对于VxeR,都有f1+x) = f( x),且满足f(4)>2, 44-3f (2) =m

11、 ,则实数m的取值范围是.m【答案】me-1或0cm <3【解析】33 3试题分析：由f(+x) = f(-x),因此函数f(x)图象关于直线x =对称，又f(x)是奇函数，因此它4443也是周期函数，且 T =4父一 =3, . f (4 >2 ,f(Y) = <4) 2 ，.- f (2) = f(2 3 ?=(f 4),4rr3即 m <2 ,解得 x < 1或0 <x <3. m考点：函数的奇偶性、周期性 .【高考再现】 . x 1 1.12016高考新课标2理数】已知函数f(x)(xw R)满足f(x)=2 f(x),若函数y=与y = f

12、(x)xm图像的交点为(为，,)仆2,丫2),(xm,ym),则Z (xi+y”=()1 4(A) 0(B) m(C) 2m(D) 4m【答案】C【解析】If + 11试题分析:由于不妨设/(工人苒+l j与函数= = 1+的交点为(L2(XX故再十巧+m+Tn = 2,故选C.考点：困数图象的性质【名师点睛】如果函数, Txe D,满足Hx丘Q ,恒有+ =/3-月，那么函数的图象有对称轴父=吟$如果困数/3)，Wei),满足置:£口，恒有/g力二L7g十力，那么图数的图象有 Ju对称中心.2.12016高考山东理数】已知函数 f(x)的定义域为R当x<0时，f(x) = x

13、31 ；当1WxW1时， 1 一 一 1、 一 1、f (-x) = - f (x);当 x >5 时，f (x +-) = f (x -).则 f (6)=( )(A) -2(B) -1(C) 0(D) 2【答案】D【解析】试题分析；当"时，=所以当万工:时，画数/(/)是周期为1的周期函数，所以 /(6)=/a),又酬了3是奇函助 所以d=(_4一i二2故选d.考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值

14、的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等 3.12017山东文】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x三3,0时，f(x) = 64,则 f(919)= 【答案】6【解析】试题分析：由内什4)枳0河知,工)是周期函数且7 = 6斯以/华19) =7(6x653 + 1) = 7(1)= /(-1)=6.【考点】困数奇偶性与周期性【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法已去幅数的奇偶性，求函数值将待求情利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.已去呸数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶

15、性构造关于人力的方程(组、从 而得到40的解析式.已知画数的奇偶也求困数解析式中参数的值常常木偶待定系数法：利用JW域-力二。得到关于待求参数的恒等式由系数的对等性得爹翻的值或方程求 解.应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.4.【2016年高考四川理数】 已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0vx1时，f(x) = 4x,一 5贝u f (-1) f(1)=.【答案】-2【解析】试题分析：因为圆&/G)是定义在K上周期为2的苛国教，所以/(-1)=-fax/(-1)=/(-1+2)=/<i),所以一即f(d=o,

16、/(一：) = /-1 -2)；) = 一/(；) = 7,= -工，所以/(_') +") = _2. (mtJb-dfa-.Ju考点：函数的奇偶性和周期性 .5【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把f(-W)和f(1),利用奇偶2性与周期性化为(0,1)上的函数值即可.5.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当Rx, y）不是原点时，定义 P的“伴随点”为P(yy2-x）；当P是原点时，定义 P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C'定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的“伴随点”是

17、点 A',则点A的“伴随点”是点 A单位圆的“伴随曲线”是它自身； _ , . . . ,若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 （写出所有真命题的序列）.【答案】【解析】试题分析:对于，若令 也1）加其伴随点为玖;而嗯令的伴随点为（T-1）,而不是乙Xs jbq 4故错误日对于,设曲线关于芯轴对称j则与方程表示同一曲线j其伴随曲线分为娟三.一彳）二°与, Yr）=0也表示同一曲线，又曲线与曲线/（一,厂亍）=0的图象关于轴对称，所以正确$没单位同上任一点的坐标为我8SX. sin力，其伴随点为尸（城口羽一8&a

18、mp;*）仍在单位圆上,，故正确；对于，直线一区+“上任一点尸的伴随点是修尤丁品之消参后点尸,轨迹是凤故错误.所以正确的为序号为.考点：对新定义的理解、函数的对称性 .【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向.它考查学生的阅读理解能力，接受 新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时, 只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐 标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决.6.12016高考江苏卷】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间_1,1

19、)上，x a, - 1, x ： 0 ,一 I. ._ _59f(x)=42其中 aw R.右 f () = f()，则 f(5a)的值是 .l-x ,0 <x<1,22I555、， 1、，9、，1 11 23【斛析】 f () = f( ) = f () = f ( )= + a = a ,222222 553 2因此 f(5a) =f(3) =f(1) = f(-1)=-1 5 5考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是

20、否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值【反馈练习】1.12018届广东省惠东县惠东高级中学高三适应性考试数学(文)试题】已知函数f (x) =lnx+ln(2 - x),则A. y= f(x)的图像关于点(1,0)对称 B. f (x)在(0,2)单调递减C. y= f(x)的图像关于直线x=1对称 D. f (x)在(0,2)单调递增【解析】因为/(工)+/(2-x)=21nx+21n (2-,所以A错3，/、112x-2B, D错vf (x) = -； = On % = 1 二x 2x x(jt2)因为工)=2-封，所以C对选C.2.12017届重庆市巴蜀中学高三下学期期中

21、(三模)考试数学(文)试题】定义在R上的奇函数f (x)满足 f (x2)=f (x+2 ),且当 xW 2,0时，f (x)=3x1,则 f(9)=()A. -2 B. 2 C.- D 233【解析】由f(x-2)=f(x+2)得函数是周期为4的周期函数，且为奇函数，故f 9 =f 1 - -1 =一 3 =2. 33.12018届河南省中原名校(即豫南九校)高三上学期第二次质量考评数学(文)试题】定义在田上的奇产3 _函数/，满足=“吟，当刀，f1,则I 2 J ()A. 一士 B. - C. , ' D.【答案】C【解析】 a =/,f(X)的图象关于直线x=i对称,又f(X)是

22、奇函数，f (x) =f (2-x ) =-f (x-2 ),1- f (x+4) =-f (x+2) =f (x),.f (x)的周期为4.管卜仔衣Im哥一曲演故选C4.12018届湖南省永州市高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题】定义在R上的偶函数人冷满足Ax + 2=/(X)当XEO川时，f二二则()/(> >A. ,' , B. 一)C.D.【答案】C【解析】由题意可得函数是以2为周期的周期函数且为偶函数，当HE 0禺时，*幻=3、.f(- 1) =r(l) = 3 ,f(2)=/-(0) =1*4) ”(0)=1f(T)=/G)=百唱H-加砥=狗/”居)啦5.【

23、吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试卷(文科)数学试题】已知定义在无上的奇函数 六功满足，当时，*琦=&,则函数目封=(工一开)f (初一1在区间 a,'上所有零点之和为A. B.C. D.【答案】D-【解析】，：,门一 l； H： - - ：J作图如下：，四个交点分别关于 5a 对称，所以零点之和为2X2=477 ,选D.点睛：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确 定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.6.12018

24、届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考数学（理）试题】设义幻是定义在R上的奇函数，且其图象关于对称，当#E0闾时，= 2x-x2则f （口）+十六2017）的值为（）A.-1, B. 0 C. 1 D.不能确定【答案】C【解析】定义在出上的奇函数r，)的图象是关于直线” = 1对称，工 f(2 一工)=，(*)x /P-(x+2) =/(x + 2) f(r + 2)=-八九二 flx+4) =f(x)故函数r的周期为47 A-i)=-f(i) =-L：式1) =1 决2) =r(0) =o.m)=*T)=一，型)=f(0) =。则 f(l) +f (2) +r(3) +

25、 +7(2017)= 504x |/(0) +f(l) +f (4 +<(3) +/(2016) 4-/(2017 = 504x0 4-f(0) 4-/(1) = 1故选c7.12018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟考试理科数学试题】已知函数y=f(x)的周期为2,当xw 0,2 时，f(X )=(x1 2 ,如果g(x产f (x)log5 x-1 ,则函数y = g(x)的所有零点之和为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】由题意可得(乂)=司10即B1| J根据周期性画出函数/(刃=(乂一I。的馥，以及尸=1叫卜1|的 图象，根据尸=1等小-1|在(L

26、”)上单调增困期 当尤=6时, "二当q6时， "1o& |x-l|>l,此时与理数y =/无交点，再根据尸=1嗔|x-l|的图象和广的图象都关于直线 尤=1对称，结合图象可知有8个交点J则函数仪”)=/-1鸣k-l|的零点件数为E，故选D.X=1【方法点睛】判断函数y = 力零点个数的常用方法；( 1)直接法：令切=0.则方程实根的个数就是 图数零点的壬Q)零点存在性定理法;判断函数在区间上上是连续不断的曲线，且句/S)v0,再 结合函物的图象与性质G口单调性、奇偶性、周期性,对称性)可确定函数的零点个数j (3)数形结合法：转 化为两个因数的图象的交点个救

27、问题，画出两个函数的图象,其交点的个数就是函额零点的个数，在一个 区间上单调的均数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性, 确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题一8.12017届云南省昆明市高三下学期第二次统测数学(文)试题】定义“函数 y = f(x)是D上的a级类 周期函数” 如下：函数y = f (x ),xw D ,对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T ,使得定义域D内 的任意实数x都有af(x)=f (x+T)恒成立，此时T为f(x)的周期.若y=f(x)是1,y)上的a级类 周期函数，且T=1 ,当xw1

28、,2)时，f (x)=2x + 1，且y=f (x)是11,收)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )A. J5,") B.12,收)C. .|5，+oCj D. H0尸)【答案】C7【解析】/(w + 1) = c(js) + >2( « + l)-bL« > 1H对邦之1冷 V 恒成立,所以2开十】点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是 含有参数的不等式j另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数；另一端 是参数的不等式，便于问题的解决一但要注意分离参数法不是万能的，如果分离变额后

29、，得出的困 数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法一R上的奇函数人切满足9.12018届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次考试数学(理)试题】定义在八一幻=山+斯0014) = 2"，则f(T)二fX +【解析】,函数f (x)满足f (-x ) = x故函数f (x)为周期为3的周期函数, f (2014) =2,.f (1) =2,又函数f (x)为定义在R上的奇函数，.f (- 1) =- f (1) =- 2,故答案为：-2.点睛：根据函数奇偶性的性质结合条件判断函数的周期性进行求解即可10.12018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考数学(文)试题】函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的 xWR ,满足 f (x+1 )+f (x )= 0 ,且当 0<x<1 时，f(x)=3x41 ,则f l o3 g 1 f8 =4.【答案】6【解析】 f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的xC R满足f(x+1)+f(x)=0,1- f (x+1)=- f (x),则 f(x+2)=-f (x+1)=f(x),则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：f 10g3I8 =f 10g318-log39 =f 10g32 m310g321 =6, f 4 = f 44 = f 0 =0,. f 10g3I8 f 4 =6.11.