(全国通用)中考数学难点攻克：“K”字型几何相似题型突破与练习

1、中考数学重难考点突破-“K”字型几何相似题型研究与练习相似基本图形中除了常见的“A”字型、X”字型相似外，还有一个“K字型相似，也常用丁各种相似图形中“K”字型相似由特殊到一般， 题型往往丰富多彩， 也是近几年中考题中常见的一种基本图形.了解一个基本图形，有助丁我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口.类型1“K字型相似基本图形1图1例1条件：如图1,B,C,E三点共线，/B=ZAC6ZE=90.结论：ABSzXCED.请证明结论正确【分析】(1)证明两个三角形相似有哪些方法？除了ZB=ZE=ZACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【答案】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法

2、有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且火角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等.(2)根据余角的性质还可以得到ZA=ZDCEZAC&ZD,从而可证得AB(ACED.【应用】如图2,已知点A(0,4),B(4,1),BCx轴丁点C,点P为线段OC上一点，且PMP则点P的坐标为.【分层分析】(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形乂可以得到怎样的比例式？设P(x,0),贝U根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标.【解题方法点醒】K”字型相似基本图形1,在丁寻找三个直角相等，熟记基本图形有利丁快速找到相似三角形，从而通

3、过建立方程解决问题.【答案】【分层分析】一.AOOPAOAPCB所以岂由PCCB设P(x,0)，因为A8。妥4,BO1,所以ORx,PO4-x,所以4x=；,解得x=2,从而得到点P的坐标为(2,0).4xI答案(2,0)解析.PAPB,ZAPOZBP(90.ACKx轴，.ZAPOZPAO=90,ZPAOZBPC.乂B如x轴，Adx轴，.ZBCRZPO左90,AOOP.BCfAPOA品PCCB.点A(0,4),B(4,1),/.AO4,BO1,OC4.设P(x,0),则OAx,PO4-x,(1)根据“K”字型相似，可得到4x=；，解得x=2,.,点P的坐标为(2,0).4x1类型2“K字型相似

4、基本图形2例2条件：如图3,B,D,C三点共线，ZB=ZED巳ZJ 匕也.图3结论：BDMzXCFD.请证明：结论正确【分层分析】(1) “K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明/E=ZCDF?【答案】【分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似丁字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形.(2) .ZB=ZED巳ZOZa,由外角性质可知ZED。ZB+ZE=Za+ZE.乂.ZED。ZEDIZFD(Za+ZCDF.ZE=ZCDF.证明：/B=/ED巳/C=/a,由外角性质可知ZED。ZB+

5、ZE=Za+ZE.乂.ZED。ZEDNZFD(Za+ZFDC.ZE=ZFDC.乂B=ZC,.BDEACFD.【应用】1.如图4,在平面直角坐标系中，四边形OABCM梯形，CB/OA。孚BA。住7,BO1,AA5,点P为x轴上的一个动点，点P不与点O,A重合.连结CP过点P作PD交AB丁点D.(1)直接写出点B的坐标：;(2)当点P在线段OA上运动时，使得ZCP6ZOAB且BD：AE3：2,求点P的坐标.【分层分析】(1)过点B作BCUx轴丁点Q,依题意可得OO4,AO3,已知AA5,根据勾股定理求出QB即可解答.根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形乂可以得到怎样的比

6、例式？【答案】【分层分析】过点B作BCUx轴丁点Q易求得BO4,故得到点B的坐标为(4,4).由“K”字型相似可得到/POADAP一2设OT,gAA5,AAgAA2,AA7x,5x所以=5，解得x=2或x=5,/x2所以点P的坐标为(2,0)或(5,0).解：(1)过点B作BCUx轴丁点Q.AAOCAO(71)-2=3,在RtBQM,B住5,由勾股定理，得BOAE2-AQ=4,.点B的坐标为(4,4).(2).ZCP/WOCBZCOP即ZCPIZDP缶ZCOBZOCP而ZCP6ZOA序ZCOP.ZOCRZAPD.OCAAPD.OCOP.APAD.BD3AET2,A2-设OAx,O孚AA5,AA

7、7x,5x.=-所以OCOPAFAD图47-x2解得x=2或x=5,.点P的坐标为(2,0)或(5,0).2.如图5,已知直线y=kx与抛物线y=一x2+22交丁点A(3,6).273(1)求直线y=kx的函数表达式和线段OA的长度.若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O,A不重合)，点D(m0)是x轴正半轴上的动点，且满足ZBAEZBESZAOD探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？【分层分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度.延长AB交x轴丁点F,由ZBAE/AOCM求出点F的坐标为,进而再求得点

8、B的坐标为然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为;由已知条件ZBAEZBE孚ZAOD可得到“K”字型相似的基本图形2,故可得到设。 日a,则由对应边的比例关系可以得到.从而得到关丁a的一元二次方程为然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围.【解题方法点醒】“K”字型相似基本图形2,根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1,便丁快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题.【答案】【例题分层分析】(1)直线y=kx的函数表达式为y=2x,OA.32+62=3J5.15(2)点F的坐标为(万,0),点B的坐标为(6,2),BD图5AN5.根据“K”字型相似的基本

9、图形2,可得到ABMzXOED设。日a,WJAE=3寸5a(0a0.当=0,即(一3 也-20”0,E4时，符合条件的点E有1个;当A。，即(一3寸5)220e0,0RK,时，符合条件的点E有2个.解：(1)把点A(3,6)的坐标代入y=kx，得6=3k,.k=2,.y=2x,。住/32+62=3J5.如图，延长AB交x轴丁点F,过点F作FCLOA于点C,过点A作Ax轴丁点R.ADROvZAO6ZBAE.AF=OF,13-.O孚ACOX25.ZAROZFCO=90,ZAO&ZFOCAAOIAFOCOFAO3冷-3-15OTORT3=梅0巳次*底云图615.,点F的坐标为,0.15设直线

10、AF的函数表达式为y=ax+b（a丰0）,把点A（3,6）,F,0的坐标代入，解得a.B(6,2),.AA5.ZBAEZBEDZABmZBAEZDEQZBED.ZABEZDEO.vZBA日ZEODABEAOED.设。日a,WJAE=35-a(0a0.当=0,即（一3寸5）220”0,E4时，符合条件的点E有1个;当A。，即（一3寸5）220e0,02O住6,AD：AA3:1,则点C的坐标是（）A.(2,7)B.(3,7)C.(3,4=3,b=10,.=4x+10,34一y=一三x+10,3x=3,CO解得Q4222y=6y=27x+，（舍去），X2=6,V2=2,图102.如图7,在矩形ABC

11、Lfr,把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AE10,AA8,WJEF=CE图73.如图8,D是等边/XABCfeAB上的点，AE2,BA4.现将zABC叠，使得点C与点D一CF重合，折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上，则RCE4.如图9,在直角梯形ABC叫，CA14,C巳4,AN6,CF/AB,在边CB上找一点E,使以E,A,B为顶点的三角形和以E,C,F为顶点的三角形相似，WJCE.图95.如图10,在直角梯形ABCg,ZA=90,ZB=120,A4寸3,AA6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得ZDE巳120.(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是;

12、若射线EF经过点C,则AE的长是.图106.将形状、 大小完全相同的两个等腰三角形如图11所示放置，点D在AB边上，DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交CAB的两腰CACB丁MN两点.若C住5,AA6,AD：AB=i:3，贝uMtMADNN勺最小值为.图117.如图12,在四边形ABCLfr，已知AD/BCZB=90,AA7,AE9,BO12,在线段BC上任取一点E,连结DE作EFLDE交直线AB丁点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF=CE求CE的长.图128.如图13,在zABC中，ANAG点P,D分别是BGAC边上的点，且/AP孚ZB.(1)求证：A

13、C CCP BP;(2)若AA10,BO12,当PD/AB时，求BP的长.9.ABCPADEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAZED巳90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合， 将DEF绕点E旋转， 旋转过程中， 线段DE与线段AB相交丁点P,线段EF与射线CA相交丁点Q.(1)如图14，当点Q在线段AC上，且A卜AQ时，求证：BPEACQE.如图14，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPEACEQ并求当B卜2,CQ=9时BC的长.图1410.在ABC中，AAAC,ZBAO120,P为BC的中点，小明拿着含有30角的透明直角三角板，使30角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转.(1

14、)如图15，当三角板的一直角边和斜边分别与A己AC交丁点E,F时， 连结EF,请说明BPEACFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC丁点E,F,连结EF.1探究1:ABPEACFP相似吗？请说明理由；2探究2:zBPEzPFE相似吗？请说明理由.图15BPCBPC参考答案51.【答案】A2.【答案】53.【答案】二4284.【答案】2或12成解析两个二角形相似，可能是EFzEA己也可能是EFSzXAEB,5所以应分两种情况讨论，进而求CE的值即可.5.【答案】(1)6(2)2或5解析(1)过点E作E饥DF,由E是AB的中点，得出DE3,从而得出

15、ZDE夺60,由ZDEF-.FG一=120,得/FE孚60,由tan/FE(即可求出GF的长，进而得出DF的长.GE过点B作BHLDC延长AB,过点C作CMAB丁点M则B已AA寸3,再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AAx,则BA6-x,利用勾股定理用x表示出DE及EC的长，再判断出AEDS/XBCE由相似三角形的对应边成比例即可得出关丁x的方程，求出x的值即可.6.【答案】2寸3解析先求出A42,BE4,由“K”字型相似可得AMEftzXBDN似，根据相似三角形对应求出MADN4MD再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可.7.解：(1)当点F和B重

16、合时,MAMD边成比例可得旬.EFLDE,.DBC.ZB=90,.ABLBGAB/DEAD/BC,四边形ABED!平行四边形,AAEF=9,.CBOEF=12-9=3.过点D作D匝BC丁点M,.ZB=90,.ABLBCDM/AB.AD/BC,四边形ABMD!矩形，AAB峰9,AD岬7,g12-9=3.设AF=Ca,贝UBF=7a,Eha3,B12a,可证FBEAEMDBFBEa12-a即=EMDMa-37解得a=5或a=17.点F在线段AB上，AF=C氏A7,.C5.8.解：(1)证明：.ZAPQZPAEZB,ZAPtZB,ZDPQZPAB乂AAACZABAZPCD(2).PD/AB,.ZDPQZB,ZPA&ZB,乂ZB=ZC,ZPA&ZC.乂ZPB4ZABCAABFAPCDABPCFCDAC=CD*CECP BPBPAB.PBkzXABC.而=胡AB210225.BF=BBC123-9.解：（1）证明：zABC是等腰直角三角形，ZB=/C=45,A=AC.AAQ.BP=CQ.E是BC的中点，BE=CEBACE在/BPERACQ/B=ZC,BACQ.BPEACQESAS；ABCADEF是两个全等的等腰直角三角形,ZB=ZC=ZDE45,.ZBEOZEQQZC,即ZBE即ZDEZEQZC,/BE即45=ZEQQ450,/BE/EQC入入BPBE.BPE