2021年高考数学(文)一轮复习讲义第8章82空间点直线平面之间的位置关系

1、§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考情考向分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义2.了解可以作为推理依据的公理和定理3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题.1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线

2、的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补概念方法微思考1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗提示不一定因为异面直线不同在任何一个平面内分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交2空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一

3、定相等吗提示不一定如果这两个角开口方向一致，那么它们相等，假设反向那么互补题组一思考辨析1判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线(×)(3)没有公共点的两条直线是异面直线(×)(4)假设a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，那么a，b是异面直线(×)题组二教材改编2.如下列图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，那么异面直线B1C与EF所成角的大小为()A30°B45&

4、#176;C60°D90°答案C解析连接B1D1，D1C(图略)，那么B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60°.3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，那么(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四边形EFGH为菱形，EFEH，ACBD.(2)四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，EFAC，EHBD，且EFAC，EHBD，ACBD且ACB

5、D.题组三易错自纠4(2022·上海市金山中学月考)设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么()A直线l不平行于直线mB直线l与直线m异面C直线l与直线m没有公共点D直线l与直线m不垂直答案C解析直线l与平面平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面无公共点，又直线m在平面上，直线l与直线m没有公共点，应选C.5直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，那么直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面答案D解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面6.如图为正方体外表的一种展开图，那么图中的四条线段AB，CD，EF，GH

6、在原正方体中互为异面的对数为_答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，那么AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面直线的有且只有3对平面根本性质的应用例1如下列图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EF<CD1，CE

7、与D1F必相交，设交点为P，如下列图那么由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内证两平面重合(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHH

8、C12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线判断空间两直线的位置关系例2(1)直线a，b分别在两个不同的平面，内，那么“直线a和直线b相交是“平面和平面相交的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析假设直线a和直线b相交，那么平面和平面相交；假

9、设平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，应选A.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，那么EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且，所以，所以EFBD1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、

10、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决跟踪训练2 (1)假设直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，那么以下命题正确的选项是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交答案D解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交应选D.(2)如下列图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是

11、异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取DD1中点E，连接AE(图略)，那么BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填.求两条异面直线所成的角例3 (2022·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，那么异面直线A

12、1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，那么A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.将本例条件“AA12AB2改为“AB1，假设异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，试求的值解设t(t>0)，那么AA1tAB.AB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1.t3，即3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的

13、角(3)三求：解三角形，求出所作的角跟踪训练3(2022·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为()A90°B60°C45°D30°答案B解析如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，那么ONCD，MNAB，且ONCD，MNAB，所以ONM或其补角即为所求的角因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC平面ACDAC，BOAC，AC平面ACD，所以BO平面ACD，所以BOOD.设正方形边长为2，OBOD，所以BD2，那么OMBD1.所以ONMNOM1.所以OMN是等边三角形，

14、ONM60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.应选B.1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A4B3C2D1答案A解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A假设直线a，b异面，b，c异面，那么a，c异面B假设直线a，b相交，b，c相交，那么a，c相交C假设ab，那么a，b与c所成的角相等D假设ab，bc，那么ac答案C解析假设直线a，b异面，b，c异面，那么a，c相交、平行或异面；假设a，b相交，b，c相交，那么a，c相交、平行或异面；假设ab，bc，那么a，c相

15、交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确应选C.3.如下列图，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，那么平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC答案C解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.4.如下列图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，那么以下结论正确是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面答案A解析连接A1

16、C1，AC(图略)，那么A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上A，M，O三点共线5(2022·甘肃省、青海省、宁夏回族自治区联考)在四棱锥PABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，那么异面直线OP与BM所成角为()A30°B45°C60°D90°答案C解析如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，取N为OC的中点

17、，连接MN，所以OPMN，那么BMN是异面直线OP与BM所成的角因为OP平面ABCD，所以MN平面ABCD，因为在四棱锥PABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，所以OC2，所以OP2，因此MN，在RtBON中，BN，tanBMN，BMN60°，那么异面直线OP与BM所成的角为60°.应选C.6正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条答案6解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条7(2022·东北三省三校模拟)假设直线l平面，平面平面，那么直线l与平面的

18、位置关系为_答案l或l解析直线l平面，平面平面，直线l平面，或者直线l平面.8在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，那么直线G1G2与BC的位置关系是_答案平行解析如下列图，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，G1G2BC.9.如图，圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，

19、连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60°角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析复原成正四面体ADEF，其中H

20、与N重合，A，B，C三点重合易知GH与EF异面，BD与MN异面连接GM，GMH为等边三角形，GH与MN成60°角，易证DEAF，又MNAF，MNDE.因此正确命题的序号是.11.如下列图，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)假设ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明假设EF与BD不是异面直线，那么EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解取CD的中点G，连接EG，FG，那么ACFG，EGBD，所以

21、相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，那么FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.12.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC×2×22，三棱锥PABC的体积为VSABC·PA×2×2.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，那么EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在AD

22、E中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.13(2022·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)平面平面直线l，点A，C，点B，D，且A，B，C，Dl，点M，N分别是线段AB，CD的中点，那么以下说法正确的选项是()A当|CD|2|AB|时，M，N不可能重合BM，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当直线AB，CD相交，且ACl时，BD可与l相交D当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行答案B解析A选项：当|CD|2|AB|时，假设A，B，C，D四点共面且ACBD时，那么M，N两点能重合，可知A错误；B选项：假设M，N可能重合，那么ACBD

23、，故ACl，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线ACl时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误应选B.14平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，那么m，n所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如下列图，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，那么m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小又B1CB1D1CD1(均为面对角线)，CD1B1，得sinCD1B1，应选A.15.(2022·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学联考)如图，多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，EDPA，且PAEDAB，现将CDE以直线DE为轴旋转一周后，那