高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学业分层测评新人教A版选修2

1、精品教案【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学业分层测评新人教A版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标、选择题1 .等轴双曲线的一个焦点是Fi(-6,0),则它的标准方程是()x2 y2B.18 18 Ty2 x2D-= 1y2x2AT818-1x2y2C.-=1x2y2【解析】设等轴双曲线方程为萨市1(>0),a2+a2=62,，a2=18,故双曲线方程为土匕=1.1818【答案】B2 .已知双曲线方程为x2-7=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共4有1()A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】因为双曲

2、线方程为x24=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】B可编辑3.双曲线C： X7a2曲线C的焦距等于（）【导学号：18490063A. 2C. 4【解析】B. 2#D. 42由已知得e = =2,所以a = ：c, a2R a2 = 3c,从而双曲线的渐近线方程为y=±：x=±43x，由焦点到渐近线的距离为 V3,得gc=43,解得c=2,故2c=4,故选C.【答案】C4.若实数k满足0V k

3、<5 ,则曲线 一-y7=1与曲线-=1的（）16 5k16 k 5A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】若0< k<5 ,x2y2则5 k>0, 16 k>0 ,故方程石5J =1表示焦点在 x轴上的双曲线，且实半轴的长为4,虚半轴的长为 ,5-k,焦距2c = 242k,离心率e =业1 - k4x2;同理方程16 -ky-=1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为,51虚半轴的长为 V5,焦距2c= 2J21 -k,离心率 e= 1f2-k.可知两曲线的焦距相等，故X/16-k选D.【答案】D5.双曲线两条渐近线互相垂直，那么它

4、的离心率为（）A. 2B.卜=1（a>0,b>0）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为木,则双3D-e=C=v2.2【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y=±x,即°=1,a二、填空题x26.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 一一 mT=1的离心率为 则m的值为m2 + 4V【解析】1.c2= m + m2 + 4,c2e2wm + m2 + 4=5,m2 4m + 4 = 0,.m =2.7.已知F为双曲线x2 y2C：石=1的左焦点,P, Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5, 0)在线段PQ上,则4PQF的周长为由双曲线方程知，b=

5、4,a=3,c=5,则虚轴长为8,则|PQ|=16.由左焦点F(-5,0),且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P,Q都在双曲线的右支上.由双曲线的定义可知|PF|-|PA|=2a,|QF|-|QA|=2a,两式相加得，|PF|十|QF|-(|PA|+|QA|)=4a,则|PF|+|QF|=4a+|PQ|=4>3+16=28,故PaF的周长为28+16=44.x2y28.设直线x3y+m=0(mw0)与双曲军1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是x3y+m=0,【解析】由b得点A的坐标

6、为:y=x,aambm3b+a 3b+ ax3y+m=0,b得点B的坐标为yaX,则AB的中点C的坐标为a2m3b2m9b2a2'9b2-a2'1'"kAB=一,33b2m9b2a2*cp=-a2m=-3,22-m9b2-a23b2即1-=-3,化简得a2=4b2,a2-(9b2a2)即a2=4(c2a2),，4c2=5a2,5 e2=.1.e =2三、解答题y = x,求双曲线的标9 .双曲线与椭圆+匕=1有相同的焦点，它的一条渐近线为1664准方程和离心率.x2y2【解】由椭圆一+=1,知c2=6416=48,且焦点在y轴上,1664双曲线的一条渐近线为y

7、=x,y2x2，设双曲线方程为h了1.又c2=2a2=48,，a2=24.y2x2，所求双曲线的方程为一一=1.2424由a2=24,c2=48,c2得'=2,又e>0,e=22.x2y210 .已知双曲线b-=1的右焦点为(2,0).求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.【解】(1)二双曲线的右焦点坐标为(2,0),且双曲线方程为x-y;=1,.-.c2=a2+b23b2=3+b2=4,，b2=1,x2，双曲线的方程为7-y2=1.11 )a=#,b=1,令 x= 2,则 y=±.双曲线的渐近线方程为设直线x=2与双曲线的渐近线的交点

8、为A,B,记双曲线的渐近线与直线则 |AB| =x=-2围成的三角形的面积为S,5b.T5双曲线的渐近线为 y=±bx,不妨取 aby=-x,即bx ay=0,因为渐近线与圆相切，所以圆 a心到直线的距离d=J = 2,即 9b2= 4(a2+b2),所以 5b2 = 4a2, b2 =-a2 = c2-a2,>/a2 + b25即5a2=c2,所以 e2=5，e =3-5,选A. 5能力提升x2y21 .已知双曲线b?=1（a>。，b>0）的两条渐近线均与曲线C：x2+y26x+5=0相切，则该双曲线的离心率等于（）3C.一2【解析】曲线C的标准方程为（x3）2+

9、y2=4,所以圆心坐标为C（3,0）,半径r=2,x2y22 .设F1'F2分别为双曲线7b=1（a>0'b>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|FiF2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐A. 3x±4y=0C. 5x±4y = 0近线方程为（）B.3x+5y=0D.4x±3y=0【解析】由题意可知|PF2|=|FiF2|=2c,所以PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PFi作的垂线也是中线，因为F2到直线PFi的距离等于双曲线的实轴长2a,所以|PFi|=25c2-4a2=4b,

10、又|PFi|PF2|=2a,所以4b2c=2a,所以2ba=c,两边平方b4可得4b24ab+a2=c2=a2+b2,所以3b2=4ab,所以4a=3b,从而一=一，所以该双曲a3线的渐近线方程为4x±3y=0,故选D.3.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为,的直线AB,其中A,B分别为直线36与双曲线的交点，则|AB|的长为【解析】双曲线的左焦点为Fi(-2,0),将直线AB的方程y=*(x+2)代入双曲线方程,得8x24x13=0.显然A>0,设A(xi,yi),B(x2,y2),113.x1+x2=,x1x2=,28+ k2 Y (x1+x2)24x1x24.已知

11、中心在原点的双曲线C的右焦点为(2, 0),右顶点为(小, 0).求双曲线C的方程;【导学号：18490064 (2)若直线l：y=kx+、/2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OAOB>2,其中O为原点，求k的取值范围.x2y2【解】(1)设双曲线C的方程为1Q=1(a>0,b>0),由已知得a=y3,c=2.又因为a由得一< k2<1.+b2=c2,所以b2=l,故双曲线C的方程为一y2=1.3x2(2)将丫=4+由代入一y2=1中，得(1-3k2)x2-6A/2kx-9=0,由直线l与双曲线交于不同的两点得：1-3k20,=(-6/k)2+36(1-3k2)>0,1即k2k且k2<1.3设A(xa,yA),B(xb,yB),一9贝UXa+Xb=2，XaXb="一二"2,1-3k21-3k2由OA