初高中衔接教材

1、初高中衔接教材第1讲 多项式的运算关键词 三个数的完全平方公式 完全立方公式 立方和公式 立方差公式问题一 复习回顾 （1）平方差公式 （2）完全平方公式 完成下列基础训练 问题二 探究与思考（一）？ 利用完全平方公式展开 得到三个数的完全平方公式：请尝试用文字语言叙述：三个数的完全平方等于 例1 已知，求的值.自己先尝试思考，解答，不要急于看答案！参考解答： ，=例2 已知，求；的值.自己先尝试思考，解答，不要急于看答案！参考解答：（1）将两边同时平方，得，. （2）请类比（1）进行解答，答案为.巩固练习一1、展开 2、，求.3、已知，求；的值.（二） 我们知道.用代替，即得这两个公式称为完

2、全立方公式，请尝试用文字语言叙述.例3 化简 参考解答：.（三） 请类比前面的探究过程，得出结论. 由探究我们又得到一组公式：立方和公式 立方差公式 例4 化简 参考解答：解法一，用完全立方公式分别展开，再合并.解法二，用立方差公式进行计算 巩固练习二1、填空（ ） 2、化简； . 问题三：本节课新学知识点小结请尝试用符号语言和文字语言复习以下三个公式：三个数的完全平方公式、完全立方公式、立方和（差）公式 作业 1、若是一个完全平方，则 A、 B、 C、 D、2、的化简结果是 A、 B、 C、 D、3、设，则的值是 A、 B、 C、 D、4、不论为何值，的值 A、总是正数 B、总是负数 C、可

3、以是零 D、不能确定5、化简得 A、 B、 C、 D、6、化简 7、已知，则 8、已知（为常数），则 9、化简下列各式：（1）； （2）10、已知，求证：.11、求值：，其中.12、已知，求；的值.13、已知，求的值.14、已知为正有理数，且满足，求证：.15、已知，求的值.16、若，求的值.巩固练习答案巩固练习一1、；2、.3、， .巩固练习二：1；.2.作业答案15、DCDAB6、7、98、19、（1）（2）10、.11、，原式12；.13、由得. 为正有理数，.14、，.15、初高中衔接教材第2讲 因式分解关键词 分组分解法 十字相乘法问题一 复习回顾 1、填空 （ ）（ ） 因式分解与

4、多项式的乘法有何区别？ 把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，叫做将多项式分解因式. 在初中的学习中，将多项式进行因式分解的一般步骤是：首先提取公因式；其次，看有几项，如果是两项，尝试用平方差公式进行分解，若是三项，则尝试完全平方公式或求根法（或十字相乘法）.问题二 探究与思考 探究 如何把多项式进行因式分解？1、定义：分组分解法，适用于四项及四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把远多项式分成两组，再提取公因式，即和达到分解因式的目的. 即 .这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式

5、，且必须使各组之间能继续分解.3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可.例1 将下列各式分解因式 （1）； （2）.分析：使用分组分解法的关键在于如何恰当的分组，目的是在分组后进行适当的变形，为使用提取公因式和公式法创造条件.参考解法：（1）. （2）.思考：上面两个例题除了给出的分组方法外，还有其它的分组方法吗？例2 将下列各式分解因式 （1）； （2）.参考解法：（1）.（2）巩固练习一 将下列各式分解因式（1）； （2）；（3）； （4）.探究 十字相乘法我们知道，反过来就得到的因式分解，即.为方便起见，将系数和常数项的关系写成交叉表示图

6、.一般地，由，反过来，就得到.为方便起见，将系数和常数项的关系写成交叉表示图.综上：二次项系数为1的二次三项式，如果能将常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成.例3 用十字相乘法将下列个式分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）.分析：按照十字相乘法的规则分解二次项和常数项：解：（1）. （2）.（3）.（4）注意：利用十字相乘法对二次三项式进行分解因式，应注意的是二次项及常数项的分解不是唯一的，所以使用时往往需要多次尝试，正确的分解形式必须保证对角线上的两数乘积之和恰好等于一次项的系数. 并且当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同；当

7、常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同.例4 将下列各式分解因式（1）； （2）.解： （1）；（2）.例5 将下列各式分解因式：（1）； （2）.分析：当项的系数不为1时，可以把此系数与常数项都分解，只要交叉乘积之和为一次项系数即可.解：（1）. （2）.例6 将下列各式分解因式：（1）； （2）.解：（1）；（2）.巩固练习二 1、 完成下列各题（1） （2） 2、将下列各式分解因式（1）； （2）； （3）.问题三：小结提升 因式分解的常用方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等. 我们需要灵活、熟练地使用上述方法. 因式分解的一般

8、步骤是：1、如果多项式有公因式，则先提取公因式；2、如果没有公因式，则考虑能否使用公式法；3、如果多项式是二次三项式，则试用十字相乘法；4、如果多项式是四项或以上，一般考虑分组分解，有时需要适当添项或拆项后再分组；5、分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.作业1、如果可因式分解为，那么的值分别为 A、 B、 C、 D、2、如果可因式分解为，则 A、 B、 C、 D、3、如果可以分解为两个一次因式的积，且为整数，那么 A、 B、 C、 D、4、在下列二次三项式中，不是型的式子的是 A、 B、 C、 D、5、将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）.6、将下列各式分解因式：（1）；

9、（2）； （3）.7、将下列各式因式分解：（1）； （2）.8、将下列各式分解因式：（1）； （2）；（3）.9、已知，求的值.10、在多项式中，哪些是 的因式？ 11、分解因式（1）；（2）巩固练习答案巩固练习一（1）解：原式.（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式巩固练习二1、（1）；（2）；2、（1）；（2）；（3）.作业参考答案14、BBDB5、（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式.6、（1）解：原式.（2）解：原式.（3）解：原式7、（1）解：原式. （2）解：原式.8、（1）解：原式. （2）解：原式. （3）解：原式.9、在两边同除以得，从而 或.10、解： 都是的

10、因式.11、（1）解：原式. （2）解：原式.初高中衔接教材第3讲 分式、繁分式关键题 分式的意义、运算，繁分式的化简问题一 复习回顾1、计算的结果是 2、分式有意义的条件是（ ）A、 B、 C、且 D、且3、已知方程，则 4、已知与胡为相反数，求代数式的值.问题二 探究与思考探究 分式与方程，元的变换例1 已知，设且，则 分析：思路一，将因式分解；思路二，先在方程两边同除以，则可得到关于的方程.参考解法一： 或，即或 又 参考解法二：在方程两边同除以，得，解得或 又 探究二 繁分式的化简例2 化简：分析：根据分数的基本性质（分式的分子分母同乘以一个不为零数，分数的大小不边），分子分母同时乘以

11、分析分母的公分母.参考解法：分子分母的公分母是，分子分母同乘以，并化简：.探究三：通过分离常数，化简分式例3 计算： .分析：若直接通分计算，计算量较大。可以考虑将分式进行分离.参考解法：巩固练习1、化简 的结果是 2、当 时，分式的值为零.3、下列运算（1）；（2）中正确的是（ ）A、（1）（2）都正确 B、（1）（2）都不正确 C、（1）不正确，（2）正确 D、（1）正确。（2）不正确4、若，则= 问题三 小结提升1、在方程（为常数）中，可通过同除以，化成以“”为元的一元二次方程： ，也可以同除以，化成以为元的一元二次方程：.2、繁分式化简时，可以让分子分母同乘以分子分母的公分母；3、通过

12、分离常数，可以化简分式.作业1、设，则 2、计算： 3、若解分式方程产生增根，则实数 4、化简：（1）；（2）.5、解方程：.6、已知.求（1）；（2）.7、已知，求的值.8、求证：对任意大于的正整数，有.9、以下是某生解答高考题的片段:他已经解得，请你帮其继续解答：（1）试只用字母表示代数式：；（2）已知：若是两个正数，则 （当且仅当时取得“=”）.运用该重要不等式可以解决一类函数的最值问题.如：求函数的最小值：（当且仅当时取“=”）请用上述数学知识，求代数式的最大值.巩固练习答案1、；2、由得.3、（1），故（1）正确； （2），故（2）错.4、原式.初高中衔接教材第4讲 二次根式关键词

13、二次根式的化简 二次根式的计算问题一：复习回顾1、函数值自变量的取值范围是 2、若，则 3、估算的值 A、在1到2之间 B、在2到3之间 C、在3到4之间 D、在4到5之间 4、计算：； 问题二：探究与思考探究 对于二次根式，当时，那么当时，这就是我们要研究的问题。算一算 ，你能发现什么规律？通过什么的探究我们可以得到，根据这个公式就可以进行二次根式的化简了。例1 化简：（1）； （2）； （3）.参考解法：（1）. （2）. （3）要使有意义，必须满足，故.在化简的过程中我们发现了一个问题，化简到什么程度才可以了呢？也就是说什么样的根式是最简根式，下面我们规定最简二次根式需要满足的条件：（1

14、）被开方数中不含有开得尽的因数或因式；（2）被开方数不含分母.例2 把下列各式化成最简二次根式：（1）； （2）； （3）探究 如何化为最简根式？这个根式之所以不是最简根式，是因为分母上还含有根式，所以我们的目标就是使分母不含根式，因为，所以我们对根式的分子粉同时乘以，于是有.我们定义：如果两个含有二次根式的式子的乘积不含二次根式，那么这两个式子叫做互为有理化因式. 我们把将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.例3 将下列各式的分母有理化：（1）； （2）； （3）.巩固练习一1、化简（1）； （2）； （3）.2、下列二次根式，哪些是最简二次根式，哪些不是最简二次根式，请将不是最简二次根式

15、的化成最简.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.3、把下列各式进行分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）探究 同学们，请回忆下面的运算法则：（1）二次根式的加减运算，首先将每一个二次根式化成最简二次根式，然后再按照原运算将同类二次根式合并；（2）；（3）.例4 计算：（1）； （2）； （3）； （4）.分析：根据根式的运算性质，将每一个二次根式化为最简二次根式，将同类二次根式合并.参考解答：（1）； （2）； （3）； （4）.例5 计算（1）；（2）；（3）均为正数.分析：二次根式的运算，与多项式的运算类似，只是在运算中需要对同类二次根式进行合并，并将根式化至最简.参考解法：（1）； （2） .（3）.巩固练习二计算下列各题（1）；（2）；（3）；（4）.作业1、当时，A、 B、 C、 D、2、已知，则的值为A、 B、 C、 D、3、若，则A、 B、 C、 D、4、根式的值为A、 B、 C、 D、不确定5、已知，则A、 B、 C、 D、6、二次根式成立的