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1、電腦與數學教學網頁內容教學單元：圓錐曲線國立苑裡高中：張浴民老師指導教授：陳創義教授主題內容三：雙曲線能掌握雙曲線的定義與基本架構 認識雙曲線的要素名稱雙曲線的標準式與定義式雙曲線的參數式雙曲線的軌跡方程式定義：在平面上，到兩定點F1與F2的距離差為2a ( )的所有點P所成的圖形為一雙曲線，即 。 (1) 2a 為雙曲線之貫軸長 (2) 與 為通過P點的兩個焦半徑。 (3) F1與F2為雙曲線的焦點。 (4) 中心： 的中點稱為雙曲線的中心，雙 曲線的中心為雙曲線圖形的幾何對稱中 心。雙曲線的定義_112 2PFPFa122aFF1PF2PF12FF雙曲線的定義_2設F1與F2為二定點， P

2、(x,y) 為一動點，滿足 。 (1) ，則P點之圖形為一雙曲線。 (2) ，則P點之圖形為以F、F 為兩 端點的兩射線 。 (3) ，則P點之圖形為一空集合。12 2PFPFa122aFF122aFF122aFF雙曲線的定義構圖(同心圓)GSP構圖F2F1雙曲線的要素名稱：12 2PFPFaF2F1兩定點F1與F2稱為雙曲線焦點 的中點，稱為雙曲線的中心12FFABOxy 與雙曲線的交點A、B稱為頂點(貫軸端點)12F F 兩頂點所連直線稱為貫軸 ，如 ；而 稱為貫軸長ABAB CD過中心與貫軸垂直之直線稱為共軛軸，如 ，而C、D 稱為共軛軸端點。CD 共軛軸端點連線段稱為共軛軸長如 CD兩

3、焦點F1、F2之距離稱為焦距，如12F FPQ弦：雙曲線上任兩點之連線段稱為弦焦半徑：雙曲線上任一點與焦點之連線段焦弦：雙曲線上過焦點之弦MN正焦弦：雙曲線上過焦點與貫軸垂直之弦漸近線：在無窮遠處與雙曲線可以任意靠近但不相交的兩直線如L1與L2，漸近線的交點必為中心L1L2xy雙曲線方程式之標準式(一)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222(0)(0)1 xyab(,0)a(0,)b(,0)c2a2b(0,0)222()cab2c22baOA(a,0)B(-a,0)C(0,b)D(0,-b)F1(c,0)F2(-c,0)2 ( ,)bP ca2 ( ,)

4、bQ ca0bxay0bxay0bxayxy雙曲線方程式之標準式(二)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222(0)(0)1 xyab(0,)b(,0)a(0,)c2b2a(0,0)222()cab2c22abOA(0,b)B(0,-b)C(a,0)D(-a,0)F1(0,c)F2(0,-c)2 (, )aPcb2 (, )aQcb0bxay0bxay0bxayxy雙曲線方程式之標準式(三)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222()()1 xhykab(, )ha k( ,)h kb(, )hc k2a2b( , )

5、h k222()cab2c22ba(h,k)A(h+a,k)B(h-a,k)C(h,k+b)D(h,k-b)F1(h+c,k)F2(h-c,k)2 (,)bP hc ka2 (,)bQ hc ka()()0b xha yk()()0b xha yk()()0b xha ykOxy雙曲線方程式之標準式(四)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222()()1 xhykab( ,)h kb(, )ha k( ,)h kc2b2a( , )h k222()cab2c22abOA(h,k+b)B(h,k-b)C(h+a,k)D(h-a,k)F1(h,k+c)F2(h

6、,k-c)2 (,)aP hkcb2 (,)aQ hkcb()()0b xha yk()()0b xha yk()()0b xha yk(h,k)雙曲線之特例_1：等軸雙曲線1. 若一雙曲線的貫軸長與共軛軸長相等，則稱為等軸雙曲線 例如： 特性：(1)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直。 (2)正焦弦長=貫軸長=共軛軸長 (3)離心率 (課外)。222222()()1 , (0) , ()()(0)xhykxyt taaxhykP P2e 雙曲線之特例_2：共軛雙曲線_11. 若一雙曲線的貫軸與共軛軸分別是另一雙曲線的共軛軸與貫軸，則稱為此二雙曲線為共軛雙曲線。 例如： 22222222111222

7、111222()()()()(1) 1 1 (2) ()() ()() xhykxhykababa xb yca xb ycka xb yca xb yck與互為共軛雙曲線與互為共軛雙曲線雙曲線之特例_2：共軛雙曲線_21. 共軛雙曲線之特性： (1)若1與2互為共軛雙 曲線，則1與2有共 同之中心與漸近線，但 有相同的兩條漸近線之 兩雙曲線並不一定互為 共軛雙曲線。 (2)若1與2互為共軛雙 曲線，則其四個焦點共圓。yOABCDF1F2F1F2x12雙曲線方程式之參數式(一)GSP構圖yOxPbtan1. 解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。2. 並非 與x軸正向之夾角。OP3. 雙曲線

8、 上的點P，可設為：22221 xyabsec,02tanxaybbMasecRQSaN雙曲線方程式之參數式(二)GSP構圖Pbtan1. 解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。2. 並非 與x軸正向之夾角。OP3. 雙曲線 上的點P，可設為：2222()()1 xhykabsec,02tanxhaykbbMasecRQSaNyOxx=hy=k範例(一)標準式1. 雙曲線： 上任一點P，則： (1)中心 (2)頂點 (3)共軛軸端點 (4)焦點 (5)貫軸長 (6)共軛軸長 (7)焦點距離 (8)正焦弦長 (9)漸近線 (10)共軛雙曲線 (11)貫軸所在直線方程式 (12)共軛軸所在直線方

9、程式 (13)P點到兩焦點之距離差為2248440 xyxy範例(一)標準式【解】_1先將雙曲線化為標準式：2222(1)(2)4(1)(2)4114xyxy 1,25abc( 1,2)O中心:()( 1,2)( 1,4), ( 1,0)bAB貫軸端點 頂點 ：( 1,2)(0,2),( 2, 2)aCD 共軛軸端點：24ABb貫軸長22CDa共軛軸長12(1, 2)(15, 2),(15, 2)cFF焦點：OABF1F21F2FCDPQ範例(一)標準式【解】_222(1)(2):114xy 22 5c焦點距離22 2 2 112aPQb正焦弦長2 (1) 1 (2)0 xy 漸近線：22(1

10、)(2)114xy共軛雙曲線：20y共軛軸所在直線方程式：12 24PPFPFb點到兩焦點距離差10 x 貫軸所在直線方程式：20240 xyxy或OABF1F21F2FCDPQ範例(二)定義式1. 求方程式： 之 (1)圖形為 (2)二焦點坐標 (3)貫軸長 (4)共軸長 (5)正焦弦長 (6)中心 (7)貫軸所在直線方程式 (8)共軛軸所在直線方程式 (9)貫軸端點 (10)共軛軸端點2222(4)(1)(2)(3)6xyxy範例(二)定義式【解】_12222(4)(1)(2)(3)6xyxy1212( , ),( 4,1),(2,3)2P x y FFPFPFa令1226 , 22 10

11、acFF12 ( 4,1),(2,3)FF焦點： 26a 貫軸長：22222 1092bca共軛軸長2222 12 3 3 bPQa正焦弦長121()( 1,2) 2 AFF 中心22ca圖形為雙曲線ADBF2F11F2FEFPQ範例(二)定義式【解】_22222(4)(1)(2)(3)6xyxy1 23 112( 4) 3 F Fm 12 370FFxy 貫軸所在直線方程式：113(1,2)( 3, 1) 10ABaaABAFxyccAF 9393(1,2)(,)( , )( 1,2)10101010 xyB x y 93 2( 1,2) 21010B CADA BBD 、 兩點為貫軸端點

12、: 310EFxy 共軛軸所在直線方程式：ADBF2F11F2FEFPQ範例(二)定義式【解】_32222(4)(1)(2)(3)6xyxy1b 11 ( 3, 1)/(3,1) AFAEAF 又 1010 3 10103 10(,)( 1,2) 10 10 10 10 10 tADD 10103 10103 10(,)( 1,2) 10 10 10 10 10 tAEE EF、 兩點為共軛軸端點10(,3 ) 1 10 110AEttAEtt 令ADBF2F11F2FEFPQ範例(三)定義式21. 設F1， F2 為平面上二定點，且P為一動點， ，則： (1) 時，P點之軌跡為 。 (2)

13、時，P點之軌跡為 。 (3) 時，P點之軌跡為 。 (4) 時，P點之軌跡為 。 (5) 時，P點之軌跡為 。125FF 124PFPF12 3PFPF125PFPF12 5PFPF12 7PFPF範例(三)定義式2【解】1225cFF12(1) 4222PFPFaac圖形為雙曲線之一支12(2) 3222PFPFaac圖形為雙曲線12(3) 5222PFPFaac圖形為兩射線12(4) 5222PFPFaac圖形為一射線12(5) 7222PFPFaac圖形不存在範例(四)共焦點1. 已知一雙曲線兩焦點與橢圓 之兩焦 點相同，且共軛軸長為 ，則此雙曲線方程式為 。22 1636xy2 3範例

14、(四)共焦點【解】 keyc：共焦點共中心， 相同2222 1xyab 令雙曲線 :22 33aa22223663303 3abcbb22 1327xy 雙曲線 ：22 1636xy橢圓：F1F2範例(五)參數式1. 點(3,0)與雙曲線 上之點最小距離為 。2244xy範例(五)參數式【解】2222 :44141xyxy(2sec ,tan )P令2222(2sec3)(tan0)(2sec3)(sec1)PA226425sec12sec85(sec) 5 5 5622 5sec, 5 55PA當最小F1F2(2sec ,tan )P(3,0)A範例(五)參數式21. 證明雙曲線上任一點到兩

15、漸近線距離之積為一常數。221222:0 :1:0 LbxayxyLbxayab 漸近線：【證明】：( sec , tan )P ab令122222(sectan)(sectan)( ,)( ,)ababd P Ld P Labab2222a bab為一固定常數範例(五)參數式31. 自雙曲線 上任一點引二漸 近線之平行線，則所圍平行四邊行面積為 。2222 :1 ( ,0) xya bab範例(五)參數式3【解】2222 :1 ( ,0)xya bab( sec , tan )P ab令:tan(sec ) bPQ ybxaa (sectan )(sectan )0(,)22abbxayQ與

16、交點坐標得2()OPQ平行四邊形面積=面積(sectan)0sec0122(sectan) 2 0tan02aabb(sectan )(sectan )22abab( sec , tan )P abQO0bxay0bxay範例(六)圖形之探討1. 方程式 ，則： (1) 圖形為橢圓時，則t的範圍為。 (2) 圖形為雙曲線時，則t的範圍為 。 (3) 圖形為圓時，則t的範圍為。 (4) 圖形不存在時，則t的範圍為。222 :1 1 24 xytt範例(六)圖形之探討【解】222 :1 1 24 xytt22141411 0141(1) 2402224124tttttttttt 橢圓 或 但2(2

17、) (1)(24)0212tttt 雙曲線或2210141(3) 2404124ttttt 圓211 0(4) 2124022ttttt 圖形不存在範例(七)軌跡的應用1. 中點軌跡。2. 到二線(漸近線)乘積為定值。3. 跟兩圓相切(不論內外切)之圓心軌跡。 已知兩圓內離(大圓包小圓)：橢圓。 已知兩圓外離(大圓不包小圓)：雙曲線。4. 過定點與圓相切之圓心軌跡。 定點在圓內：橢圓。 定點在圓外：雙曲線。1. 過原點之一直線與 交於P、Q兩點，則所有 中點所成圖形方程式為 。2 , 2xyxy範例(七)軌跡的應用_1PQ範例(七)軌跡的應用_1【解】:L ymx令過原點之直線22(,)211

18、ymxmPPxymm22(,)211ymxmQPxymm1( , )() 2 M x yPQ222 1 1 2(1)21mmxm (1) yymxmx但代入GSP構圖PQM2222 221 () yxxxxxy22222(1)2xyxxyx為所求ymxxOy2xy2xy1. 到二直線 之距離乘積為4之所有點所成之圖形方程式為 。2 , 20yxyx範例(七)軌跡的應用_212:220:20LyxyxLyx【解】：22455yxyx12( ,)( ,)4d P Ld P L222222420420420yxyxyx 或2yx20yx22420yx22420yx PP範例(七)軌跡的應用_31. 若圓C與二定圓 ， 均相切，則：則圓C之圓心軌跡方程式為 。222:(10)9Cxy221:1Cxy範例(七)軌跡的應用_3【解】2211:1(0,0) , 1CxyAr 圓心2222:(10)9(0,10) , 9CxyBr圓心( , ) , P x yr令動圓圓心半徑為 1+ 3 2PArPBrPAPB 1(0,0) , (0,10) ()(0,5) 2 ABAB為雙曲線的兩焦點 ,中心2222224210bacbcABGSP構圖A22 (5)1241xyP點軌跡：(1)外切： 1+ 3 2PArPBrPAPB(2)內切：(1)(2) 2PAPB由