第三章 跨时期选择

1、 第三章 跨时期选择 第一节 消费者的跨时期选择 消费者在每个时期取得收入并购买商品，同时消费者对所消费商品数量的选择涉及到多个时期，而不同时期的消费数量又将对另外一些时期的消费产生影响。为了简单起见，假定消费者面临两个时期，每个时期都相隔一个既定的时间单位。同时假定，在每一个时期消费者都消费相同的一种商品。在这一约束条件下，消费者的效用最大化行为如何。一、消费者跨时期消费的偏好 假定消费者在两个时期的消费商品的数量分别为c1和c2，其中c1是当前的消费，而c2是未来的消费。（c1，c2)构成了可供消费者在两个时期选择的同一商品的数量组合。这些商品组合由所有非负数量的商品组合构成 如果消费者的

2、偏好满足公理1-5的假定，那么，对消费集合而言，存在一个连续的效用函数可以表示出消费者的这一偏好。消费者的偏好可用效用函数 u(c1，c2)表示。 消费者的偏好也可以由c1，c2平面上的无差异曲线族加以表示。对跨时期而言，无差异曲线满足上一章所给出的那些重要特征。c1c20不同时期消费者选择的无差异曲线u1u2u3二、跨时边际替代率定义：在保持效用水平不变的条件下，消费者在当期增加一单位商品的消费可以代替的下一期消费商品的数量，称为消费者的跨时边际替代率。01221uuCCRCS，根据消费者偏好的公理可知，跨时边际替代率大于零，并具是递减的。n跨时边际替代率可由微分的形式表示：21122, 1

3、0uudcdcRCSuu11cuu22cuu其中：三、跨时预算约束线 假定消费者在每一时期都有既定的收入，分别为m1，m2。如果消费者在第一期消费某种商品的数量为c1，而该商品的价格为p1，那么他在本期为下一期进行的储蓄为 s = m1 p1c1 这里并不要求s为正值，如果s0，则该消费者是一个净储蓄者，如果s0，则他是一个借入者。n现假定消费者面临着一个既定的市场利息率 r ，则在下一期，消费者的收入为： m2+(1+r)s 。n如果假定消费者在第二期面临的商品价格为p2，其中消费数量为c2，那么第二期的收入约束条件可以表示为 p2c2= m2 + (1+r)s 把s = m1p1c1代入到

4、上式，并整理可得到 p1(1+r)c1+ p2c2= (1+r)m1 + m2 上式是消费者在既定的收入和价格下选择两个时期消费商品数量的限制条件。并可写成为2211212)1 ()1 (pmmrcprpc上式表明，在利息率 r 既定的条件下，如果消费者的收入、两个时期商品的价格发生变动，其跨时预算约束线的变动与同一时期消费两种商品的情形一样。n现假定除了利息率以外，其他参数不发生变动。特别假定同一种商品在两个时期的价格相同且都等于1，即p1 = p2 = 1 由上述预算约束方程可知，如果利息率 r变动，那么不仅预算约束线斜率会发生变动，而且其截距也发生变动。当利息率 r变动时，预算约束线在围

5、绕着其与纵轴的交点旋转的同时也会发生平行移动。对于任意的利息率 r，消费者的预算约束线均经过初始点A=(m1,m2) 。即上述预算约束线的变动是围绕初始点A的旋转。AI1I2c2om2m1c1当利息率r提高时，预算线围绕A点顺时针旋转，预算线由I1移动到I2 。表明利息率r提高使得消费者倾向于减少第一期消费，而增加储蓄。四、消费者的最优消费计划 要决定c1和c2的数量，消费者的最优化行为可以表述为在预算约束条件的限制下寻求最大的效用满足，即)(max21ccu，212211)1 ()1 (. .mmrcpcrpts消费者效用最大化的必要条件是：2121)1(prpRCS，212211)1 ()

6、1 (mmrcpcrp假定同一种商品在两个时期的价格相等，并且等于1，即 p1=p2=1，则RCS1，2=1+rEm2m1c1c2A1c2cc1c2EA1c2cm1m2E点位于A点右下方，在均衡状态下，消费者是一个净借入者。E点位于A点左上方，在均衡状态下，消费者是一个净储蓄者。 如果p1和p2不等，且考虑一种商品价格变动率，即通货膨胀率。112ppp )1 (12 pp从而令p1=1则消费者跨期效用最大化条件可表示为：1121rRCS，212111)1 ()1 ()1 (mmrcpcrp式中，p1=1，可把(1+r)/(1+)理解为一种商品以下一期的价格衡量的实际价格。上式再次给出替代率等于

7、价格比的含义。 如果最优化的二阶条件得到满足，根据上式可以得到消费者在两期的消费计划 c1=c1(r， ，m1，m2) c2=c2(r， ，m1，m2) 即消费者的最优消费取决于利息率、相对价格和消费在两期的收入。第二节 跨时均衡的比较静态分析一、收入和价格变动对均衡的影响 假定商品在两期的价格p1和p2及市场利息率 r均保持不变，而消费者在两期的收入m1和(或)m2发生变化。令 m=m1(1+r)+m2，那么上述给出的 p1(1+r)c1+ p2c2=(1+r)m1+ m2 消费者的预算约束线可表示为 p1(1+r)c1+ p2c2= m n随着消费者在两期收入的变动从而m变动，消费者的预算

8、约束线将发生平行移动。对应于每一条预算约束线，消费者可以依照效用最大化准则，确定一个最优的两期消费数量组合，并可描绘出一条收入扩展线。其代数方程表示式为2121)1 (prpRCS，1121rRCS，或二、通货膨胀对均衡点的影响 如果只有价格发生变动，在p1=1的条件下，只有通货膨胀率发生变动，这时均衡条件可写成为1121rRCS，2121)1()1()1(mmrccr当通货膨胀率提高时，消费者的跨时预算约束线将围绕着其与横轴的交点上逆时针旋转，相应地，消费费者的跨时均衡点也会随之变动。如果从消费者均衡条件中消去，即可得到随着通货膨胀率的变动，两期的最优消费数量变动的轨迹。211221)(1

9、()1 (mcmrcrRCS，211221)(1 ()1 (mcmrcruu或者三、利息率变动对均衡的影响 假定消费者在两期的收入m1和m2保持不变，价格p1=1，而市场利息率 r发生变动。当 r上升时，消费者预算线变得更陡峭，即预算线将围绕初始点A顺时针旋转。对应于预算线的变动，消费者在不同时期最优消费数量的组合点描述出来的轨迹就是利息本消费扩展线。AI1I2c2oc1E2E1扩展线 随着利息率的变动，扩展线由最优点构成，因而利息率-消费扩展线的代数方程可由下列条件得到1121rRCS，212111)1 ()1 ()1 (mmrcpcrp从中消去 r后得到)(1 ()1 (11121221m

10、cpcpmRCS，)(1 ()1 (11121221mcpcpmuu或者四、跨时期的斯卢茨基方程n斯卢茨基方程是表示某一影响最优数量的因素发生变动，最优数量相应作出调整的等式。为应用斯卢茨基方程，在假定p1=1的假定下，可把1121rRCS，212111)1 ()1 ()1 (mmrcpcrp改写为1121rRCS，2211)1 ()(1 (mcmcrn上式可以用斯卢茨基方程表示为2)11(mcmcrcdrdcjjju 常数，j=1 ，2以第一期的消费为例，上式表明，利息率上升对第一期消费数量的影响可以分解为两部分，第一部分是在保持原有效用水平不变的条件下，利息率上升对第一期消费数量的影响，第二部分是在其他条件不变的情况下，消费者第二期的收入增加对第二期消费数量的影响总额。即利息率变动的总效应可以分解为利息率变动的替代效应和收入效应。n在通常的假设条件下，利息率上升所造成的替代效应