运动稳定性_3a

1、1第三章定常非线性系统的稳定性2一、一、 基本方法：基本方法：0 引言引言2. Lyapunov直接方法；1. 相平面方法(几何方法)；3. 一次近似方法；4. 非线性动力学方法。定常非线性系统：(1)( ),( )xf xf0031 Lyapunov直接方法的概念直接方法的概念 从二维系统相平面上的相轨线来看：渐近稳定的相轨线趋于原点。 能找到这样的闭曲线族，使得其附近外部的相轨线都“流入”闭曲线所围成的区域。4引入状态变量：12,xx xx 考虑阻尼振动的微分方程：0 xxx12212xxxxx 例例1：单自由度系统的阻尼振动。单自由度系统的阻尼振动。构造：22121122( ,)2V x

2、 xxax xbx121212,22,22VVxaxaxbxxx22212112212,2(222 )2()VVxxxaxab x xab xxx 05为保证 V=c 为闭曲线族：2ab10abab所以取：12,33ab2212112222( ,)33V x xxx xx22212121222,33VVxxxxxxx 062 定号、常号、变号函数定号、常号、变号函数 定义定义: :(1) 是半正定(常正)的, 如果: 对任意的 , 成立： ;(2) 是正定的, 如果: 对任意的 ,成立: , 且 ;(3) 如果 既可取正值, 又可取负值, 则称之为变号函数;(4) 是半负定(常负)的, 如果:

3、 对任意的 , 成立： ;(5) 是负定的, 如果: 对任意的 ,成立: , 且 .( )0V0n( ):Vxn( ):Vxn( ):Vx( )0Vxx0( )0Vxxxn( ):Vxn( ):Vx( )0Vxx0( )0V0( )0Vx7例例: :正定;不属于定号函数;半正定;正定.在原点的充分小邻域内:对 ：3x222123123( )( ,)2VV x x xxxxx222123123( )( ,)23VV x x xxxxx123123( )( ,)1 cos()VV x x xxxx x222123123( )( ,)sin(2)VV x x xxxxx8二、二、 定号函数的判定方法

4、定号函数的判定方法 (1) 二次型正定的判别方法;(2) 奇数阶的齐次型为变号函数;(3) 在原点的充分小邻域内, 低次项的正(负)定性决定函数的正(负)定性. 93 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 定常非线性系统:(1)一、一、 关于原点稳定性的定理关于原点稳定性的定理 定理定理3 3: (Lyapunov) 对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函数 , 它通过方程(1)构成的全导数式是常负的, 则扰动运动微分方程(1)的零解是稳定的.( )V xn( ),( )xf xfx0010定理定理3 3的几何解释的几何解释: :jxixix : 闭曲面族; 层层相套; 随系统的解

5、 C0 , 曲面族向原点收缩.( )VCxjx11定理定理3 3的证明思路的证明思路: :1x2x(1) 任给 : 存在 l 0, 使得满足 的点位于原点的 邻域内; 0( )Vlx(2) 对所得到的 : 存在 , 使得 的点位于 内;( )l0( )Vlxx(3) 在 内取 , 有:x0 x( )Vlxxx0()Vlx(4) 从 出发的解， ，故对所有 : 0V 0tt0 x0( ( )()VtVlxxx0 x12试比较下面的定义与命题：定义：定义： 系统(1)的零解是 (Lyapunov意义)稳定的, 如果:对任意的 和 , 存在 , 使得对所有的 , 只要 , 就有: .00 ,)trJ

6、0tt0( , )0t0( , )otx( ;, )oot x tx定理定理3: (Lyapunov) 对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函数 , 它通过方程(1)构成的全导数式是常负的, 则扰动运动微分方程(1)的零解是稳定的.( )V x尽管定理3很平凡，但是有着十分重要的应用。13例：例：自由定点转动刚体绕惯性主轴转动的稳定性Euler 动力学方程: 定常运动: 是系统的特解.123(,)(,0,0)o 令: 112233oxxx112323223131331212()()()IIIIIIIII 112233oxxx14得扰动方程: 231231312312123123()

7、()()()()ooIIxx xIIIxx xIIIxxxI222222221233132233111()()(2)0oVIII xIII xI xI xI xx222222212231332233111()()(2)0oVIIIxIIIxI xI xI xx123III设: 123III设: 取: 则取: 可以验证: 0dVdt定点运动的自由刚体绕其最小或定点运动的自由刚体绕其最小或最大惯性主轴的转动是稳定的。最大惯性主轴的转动是稳定的。 15原动力学方程有两个首次积分 (1) 能量积分 (2) 角动量积分 22211122331UIIIc22222221122332UIIIc2222111

8、223311()ooVI xI xI xIC22222222211223312()ooVIxI xI xIC相应地, 扰动方程也有两个首次积分 112233oxxx16222222221233132233111()()(2)0oVIII xIII xI xI xI xx222222212231332233111()()(2)0oVIIIxIIIxI xI xI xx123III设: 123III设: 取: 则取: 可以验证: 0dVdt定点运动的自由刚体绕其最小或最大惯性主轴的转动是稳定的. 取Lyapunov函数:2121 1()VVVIV17二、关于原点渐近稳定性的定理二、关于原点渐近稳定

9、性的定理定理的几何解释定理的几何解释:ix定理定理4: (Lyapunov) 对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函数 , 它通过方程(1)构成的全导数式是负定的, 则扰动运动微分方程(1)的零解是渐近稳定的.( )V x : 闭曲面族; 层层相套; 随 C0 向原点收缩.( )VCx18定理的证明思路：定理的证明思路：(1) 首先原点是稳定的;(3) 用反证法:单调下降且有下界, 所以极限存在:( )Vlxx0( )Wlx00ttldt 00()l tt 矛盾(2) 要证明:lim ( )ttx0设 为一解:lim( )ttx0( ) tx( ) tx0( )VVtxlim( )

10、0tVtlx由 V 函数正定 存在 0 , 使得 在 之内.x( )Vlx设 , 存在 , 使得 在 之内.0lx( )0VWx0( )Wlx( )VWx在 上有: ，x0( )Wlx00( )()( )ttVVWdtxxx19例例: 考虑阻尼振动的微分方程：引入状态变量:12,xx xx 1222122xxxxx 220 xxx系统的能量 E :2221122Exx能量 E 关于时间的变化率:按定理只能得到原点稳定的结论, 但实际上原点渐近稳定.2(grad )20EEx x20定理的条件可适当放宽:定理定理: :对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函数 , 它沿方程(1)的解的

11、全导数式常负, 且在的点集中, 除原点外不包含整条轨线, 则扰动运动微分方程(1)的零解是渐近稳定的.( )0Vx( )V x21三、三、 Lyapunov函数函数定义定义: : 在Lyapunov直接法的稳定性定理中, 满足任何一个稳定性基本定理所需条件的函数称为Lyapunov函数.Lyapunov函数可以是如下两种形式: (1) 正定函数, 它通过系统的运动方程构成的全导数式常负;(2) 负定函数, 它通过系统的运动方程构成的全导数式常正;222123123( ,)V x x xxxx是正定函数,却非正定函数.但：222123123( ,)1V x x xxxx22关于稳定性的充分条件,

12、 我们还有如下形式的Lyapunov定理: 四、四、Lyapunov定理的极值表示定理的极值表示 将 看成相空间中的向量场, 如果 , 则 称为向量场 的奇点.( )f x0() f x00 x( )f x定理定理: 对于可微向量场 的奇点 , 如果存在一个Lyapunov函数, 则该奇点是稳定的.( )f x0 x定义定义: 一个可微函数 V 称为向量场 的奇点 的Lyapunov函数, 如果它满足以下的条件: (1) V 在 的某一邻域内有定义, 且在 取严格的极小值; (2) 在 的某一邻域内, V 沿向量场 的导数非正:( )f x( )f x0 x0 x0 x0 x0L V f23x

13、五、五、 关于不稳定的定理关于不稳定的定理定理定理5的几何解释的几何解释:( )0Vx( )0Vx( )0Vx1( )Vcx2( )Vcx0 x定理定理5: 对于扰动运动微分方程(1), 如果能构造一个可微正定、常正或变号函数 , 它通过运动方程(1)构成的全导数式 是正定正定的, 则扰动运动微分方程(1)的零解不稳定.( )V x( )V x24定理定理5 5的证明思路的证明思路: :由0V 积分:要证: 对任给的 , 不论 取得多么小, 都能找到从 内出发的轨线, 它必到达 的边界.0 xx反证法反证法: : 设不会到达 的边界.x0( ( )()0VtVxx取小的 0，使 在 之外;(

14、) txx因为: ( )0VWx存在 0 , 使得在 上,x( )Wx( )0VWx0( )()ottVVWdtxx0()ottVdtx00()()Vttx这与 落在 内矛盾.( ) txx x( )Wx0()VVx( ) txx25例例: 单摆2sin02gl引入状态变量:12xx x12221sinxxxxx能量积分:22212(1 cos)xxE取:221221( ,)2(1 cos)V x xxx沿系统的解:0V 原点稳定.26例例: 有阻尼单摆引入状态变量:12xx x取:221221( ,)2(1 cos)V x xxx沿系统的解:原点稳定.22sin02220Vx 2221221

15、21( ,)24(1 cos)V x xxxxx取:沿系统的解:原点渐近稳定.221124sin0Vxxx 122212sin2xxxxxx27解：解：取Lyapunov函数：例例：判定系统的零解的稳定性。2222sin()sin()xyxxyyxyxy 22Vxy则沿系统解的导数：22222()sin()Vxyxy0按Lyapunov不稳定定理，系统的零解不稳。028引入极坐标:221,tanyrxyx例例：判定系统的零解的稳定性。2222sin()sin()xyxxyyxyxy 解二：解二：方程化为：2sin1rrr 在原点邻域内，沿系统解， r 单调增加，故原点不稳。2921(0)(0)0例例: 考虑如下系统的零解的稳定性:系统的相轨线方程：21( )( )dyxdxy21( )( )0 x dxy dy积分得：21( )( )xyc如果在原点邻域内：则系统的原点稳定。此类系统无渐近稳定性