定积分在物理学上应用

1、2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用1 由由物物理理学学知知道道，如如果果物物体体在在作作直直线线运运动动的的过过程程中中有有一一个个不不变变的的力力F作作用用在在这这物物体体上上，且且这这力力的的方方向向与与物物体体的的运运动动方方向向一一致致，那那么么，在在物物体体移移动动了了距距离离s时时，力力F对对物物体体所所作作的的功功为为sFW . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功2022

2、-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用2例例 1 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场的地方，那么电场对它的作用力的大小为对它的作用力的大小为 2rqkF （k是常数） ，当是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动轴移动到到 br 处时，计算电

3、场力处时，计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用3解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 图图6-3-16-3-12022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用4例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底

4、半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,图图6-3-22022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用5xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)图图6-3-22022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应

5、用定积分的应用6解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n20

6、22-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用7 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用8 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力二、水

7、压力2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用9例例 4 4 一一个个横横放放着着的的圆圆柱柱形形水水桶桶，桶桶内内盛盛有有半半桶桶水水，设设桶桶的的底底半半径径为为R，水水的的比比重重为为 ，计计算算桶桶的的一一端端面面上上所所受受的的压压力力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR ,xp 图图6-3-32022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的

8、应用定积分的应用10小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的压压力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用11例例 5 5 将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力长，求薄板所受的侧压力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图x

9、oa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 图图6-3-42022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用12 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21, mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如如果果要要计计算算一一根根细细棒棒对对一一个个质质点点的的引引力力，那那么么，由由于于细细棒棒上上各各点点与与该该质质点点的的距距离离是是变

10、变化化的的，且且各各点点对对该该质质点点的的引引力力方方向向也也是是变变化化的的，就就不不能能用用此此公公式式计计算算三、引力2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用13例例 6 6 有有一一长长度度为为l、线线密密度度为为 的的均均匀匀细细棒棒，在在其其中中垂垂线线上上距距棒棒a单单位位处处有有一一质质量量为为m的的质质点点M，计计算算该该棒棒对对质质点点M的的引引力力2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段

11、的质量为,dy rydyy 图图6-3-52022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用14小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用15利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（

12、注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用16思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？2022-4-102022-4-10第六章第六章 定积分的应用定积分的应用17一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二、二、 一物体按规律一物体按规律3tcx 作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0 x移至移至ax 时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形闸门，