北京理工大学概率论4讲

1、1.7 1.7 全概率公式与全概率公式与BayesBayes公式公式一一. . 全概率公式 在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就提出如下问题：复杂事件就提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？的概率如何求？A1A2A3A4A5A6A7A8B定义定义 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间，A1,An为为E的一组事件。若的一组事件。若（1）A1,An互不相容互不相容，i=1,n （2）1niiAS则称则称 A1, An为样本空间为样本空间S的一个的一个划分，划分，也称也称A1, An 是是完备事件组完备事件组。定理定理1()()(|)niiiPBP

2、APBA上式称为全概率公式上式称为全概率公式 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间， B 为为E的事件，的事件，A1, ,An为为S的一个划分，且的一个划分，且P(Ai)0, i=1, n, 则则证明：证明：11( )()() (|)nniiiiiP BP BAP A P B A1212() nnBBSB AAABABABA12nBABABA又， ，互不相容全概率公式可以做如下推广全概率公式可以做如下推广: A1, ,An互不相容互不相容, 且且P(Ai)0, i=1, n, 1njjBA则有则有 1()()(|)niiiPBPAPBA一个经常使用的全概率公式一个经常使用的全概率公式:

3、设设0P(A)0, i=1, n, P(B)0，则有，则有1() ( |)(|),() ( |) 1,2,jjjniiiP A P B AP ABP A P B Ajn1()() ( |)(|),( )() ( |) 1,2,jjjjniiiP A BP A P B AP ABP BP A P B Ajn证明：证明： 由条件概率的定义和全概率公式，有由条件概率的定义和全概率公式，有Byesian公式可以做如下推广公式可以做如下推广: A1,An互不相容互不相容, 且且P(Ai)0, i=1, n, P(B)01njjBA则有则有 1()() ( |)(|),( )() ( |) 1,2,jjj

4、jniiiP A BP A P B AP ABP BP A P B Ajn一个经常使用的全概率公式一个经常使用的全概率公式: 设设0P(A)0, 则有则有()(|)()()(|) ()(|)()(|)P ABP ABP BP A P BAP A P BAP A P BA 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原）发生的最可能原因因. 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为有一个

5、估计，设为原来认为作案可能性较小的某甲，原来认为作案可能性较小的某甲，现在可能变成了重点嫌疑犯现在可能变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人甲、乙、丙三人.甲甲乙乙丙丙P(A1) P(A2) P(A3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后, 这个估计这个估计就有了变化就有了变化.P(A1 | B)知道知道A发生后发生后P(A2 | B) P(A3 | B)最大最大偏小偏小例例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障。当

6、机器发生某种故障时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天。根据以往经验，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这。这一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日机器调整良好的概率是多少？机器调整良好的概率是多少？解：解：记记 B =生产了一件合格品生产了一件合格品A1=机器调整良好机器调整良好, A2=机器发生某种故障机器发生某种故障,11111122()( ) ( |)(| )( )( ) ( |)() ( |)P ABP A P B AP A BP BP A P B AP A

7、 P B A例例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障。当机器发生某种故障时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天。根据以往经验，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这。这一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日机器调整良好的概率是多少？机器调整良好的概率是多少？97. 005. 055. 095. 098. 095. 098. 01111122( ) ( |)

8、(| )( ) ( |)() ( |)P A P B AP A BP A P B AP A P B A据调查某地区居民患某种疾病的据调查某地区居民患某种疾病的概率为概率为0.0004，例例7.且有且有P(A1)=0.0004 , P(A2)=0.9996。现用一方法检查该。现用一方法检查该种疾病，若呈阴性，表明不患病；若呈阳性，表明患种疾病，若呈阴性，表明不患病；若呈阳性，表明患病。由于技术和操作不完善等原因，有病者未必检出病。由于技术和操作不完善等原因，有病者未必检出阳性，无病者也有可能呈阳性反应。设阳性，无病者也有可能呈阳性反应。设事件事件B表示表示“一居民检验出阳性一居民检验出阳性”，根

9、据经验，已知有病者检出根据经验，已知有病者检出阳性的概率为阳性的概率为P(B|A1)=0.99，无病者错检为阳性的概，无病者错检为阳性的概率为率为P(B|A2)=0.05。现设某人已检出阳性，问他患病。现设某人已检出阳性，问他患病的概率是多少？的概率是多少？(求求P(A1 |B)21AA，记记“一居民患该种疾病一居民患该种疾病”为事件为事件A1 , 并记并记 例例7 . P(A1)=0.0004 , P(A2)=0.9996。P (B|A1)=0.99，P(B|A2)=0.05。求求P(A1 |B)11111122()( ) ( |)(| )( )( ) ( |)() ( |)P ABP A

10、P B AP A BP BP A P B AP A P B A00786. 09996. 005. 00004. 099. 00004. 099. 0例例 8 (吸烟与肺癌问题吸烟与肺癌问题) 1950年某地区曾对年某地区曾对50-60岁岁的男性公民进行调查的男性公民进行调查. 肺癌病人中吸烟的比例是肺癌病人中吸烟的比例是99.7, 无肺癌人中吸烟的比例是无肺癌人中吸烟的比例是95.8. 如果整个人群的发病如果整个人群的发病率是率是 p=10-4. 求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟人群中的肺癌发病率人群中的肺癌发病率.解解: 设设 A=有肺癌有肺癌, B=吸烟吸

11、烟, 则则 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, 利用利用Bayesian公式得到公式得到:( |)95.8%P B A ( ) ( | )( | )( ) ( | )( ) ( | )PAPB APA BPAPB A PAPB A( ) ( | )( | )( ) ( | )( ) ( | )P APB AP A BP APB AP APB A设设 A=有肺癌有肺癌, B=吸烟吸烟, 则则 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, 利用利用Bayesian得到得到:( |)95.8%P B A 464410(1 0.997)7.1438 1010(1 0.997) (1 10 )