微积分基本原理

1、第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理 （一）变限积分与原函数（一）变限积分与原函数 （二）牛顿（二）牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 小结小结 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx变上限积分变上限积分 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，（一）变限积分与原函数（一）变限积分与原函数连连续续

2、函函数数上上的的为为则则上上可可积积在在设设定定理理b, adt) t ( f,ba,f(x) 1 . 6xa .b, adt) t ( f)x(,ba,f(x) )( 2 . 6xa上连续且可导上连续且可导在在则则上连续上连续在在设设原函数存在定理原函数存在定理定理定理 abxyoxx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyo

3、xx )( x x 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxFdttsin (5)sintdt (4)xdxcosdad ,xdxcosdxd (3) xdxcos (2)dte )1( 1322xx2x0baba1- x2x0cost 求下列函数的导数求下列函数的导数例例例例2 2

4、求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.0)x(F)b, a(dt) t ( fa-x1F(x):0(x)f ,b)(a,ba,f(x) 3xa 内满足内满足在在证证可导可导在在连续连续在在设设例例)x(y),x(yy0tdtcosdte 4x0y0t 求求确定函数确定函数例例内的极值点内的极值点在在求求例例)23,2(dt

5、tcos1tsint)x( f 5x02 xtan0 xsin00 xdttsindttantlim 6 求求例例)7( f, xdt) t ( f,f(x) 71x03求求为连续函数为连续函数例例 例例 8 8 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一个个解解.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1

6、 , 0上只有一个解上只有一个解.令令（二）牛顿（二）牛顿莱布尼茨公式（原函数存在定理）莱布尼茨公式（原函数存在定理）)a(F)b(F| )x(Ff(x)dxf(x),(x)F,ba,f(x) 3 . 6baba 则则且且连续连续在在设设定理定理又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，,bax 证证C)x(Fdt) t ( fxa C)a(Fdt) t ( faa )a(FC ),()()(aFxFdttfxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续

7、函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系. dttfxxa )()(就是就是)(xf的一个原函数的一个原函数,cdt) t ( fdt) t ( fxa 注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立. 2321004202xdxsin2x1 )3(dxxsinxsin )2(dxe (1) 9求下列积分求下列积分例例 31-dxx-2 (1) 10 求下列定积分求下列定积分例例（2 2） .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxx

8、f ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例11 11 求求 解解.112dxx dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 )x( fdx)x( f, 1f(t)dtxf(x),0,1f(x) 131010 及及求求且且连续连续在在设设例例3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 三、小结三、小结牛顿莱布尼茨公式沟

9、通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？思考题解答思考题解答)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _

10、 _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121x

11、dx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20si

12、ndxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值 . .七、七、 设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 内的表达式内的表达式 . .八、八、 设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,证明：证明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)0,0； 7 7、;6145 8 8、6