等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：anq qan 10 n2,且nN*，q称为公比2、通项公式：n 1ana1qan-qA Bna1q 0,AB 0，首项：a1;公比：qq推广：anna1qmn mqanqJarn mamIam3、等比中项：(1)如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2ab或A、.不注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个(2)对任何m,n N,在等比数列an中，有a“amqn m4、5、6、7、(2)数列an是等比数列等比数列的前n项和Sn公式:(1)当q 1时，Sn(2)当q 1时，Sn等比数列的判定方法:(1)(2)

2、(3)na1a11a11 q用定义：对任意的等比中项：an2通项公式:an等比数列的证明方法:依据定义：若-a qan 1等比数列的性质:2anan 1an 1a1nn,都有nnAAB ABA(A, B,A,B为常数)an 1an 1an 1(an 1an 1BnA2,且nqan或旦丿q(q为常数，a“0)a“为等比数an0)an为等比数列an为等比数列N*或an 1qana“为等比数列4208(3)若m n S t(m, n, s,t N),则anamasat。特别的，当m n 2k时，得anamak：aana2an 1a3an 2等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公式;通项公式(

3、)中项()()前项和重要性质amanaPaq(m, n, p,q N*,m n P q)amanaPaq*(m, n, p, q N ,m n P q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列an中，a1a964,a3a720,求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a1和q,可2由得：aQ (1 a0 .由得：(ae4)21 q(4)得：2qq4) 20.得an；或注意到下标1 93 7,可以利用性质可求出a3、a7，再求a11.解析:法一：设此数列公比为q,则a3a7a1a1q2a1q646a1q20(1)64,a1q4852，4

4、2082q45q22 :0,解得2q 2或2q12当q22时， 印2,a11a1q1064；2当q1时,a32,a1a10q1.2- 二 .a1a9a3a764,又a3a720 a3、a7为方程2X20 x640的两实数根,a316a34或a74a7162a3a11a7,an2a71或a1164.a3总结升华：1列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；2解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）举一反三：【变式1】an为等比数列，a=3,a9=768,求a6。【答案】96法一：设公比为q,则768=aq8,q8=2

5、56, q=2, a6=96;2法二：a5=a1a9a5=48 q=2,a6=96。【变式2】an为等比数列，an0,且aa89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;. a89a4516，又an0,a45=4 a44a45a46a4564。2-7a1aq aq72C【变式3】已知等比数列an,若aa?a37,a1a2a38，求an。【答案】法一:.a1a32a： , aa2a3aa1CI35从而,解之得a11,&心34当a11时,q2;当a14时，故an2* 1或a23 n n2。32a3n 13 nan2或an2；8 , a2a法二：由等比数列的定义知4,a31a2ag,a

6、32a1q代入已知得a1aq aq821 351 3a1(1 q q )7,a1(13 3a1q 8解得q243 a1,131 r3364243【变式2】已知：a为等比数列,1219；a1a2a3=27,S=13,S5.【答案】121或.3a?27 a213印 （13q )1 q、1q 3或q,贝Ua1=1或a1=93 S5121或S5=1219q2) 7,(1)aq将a1-代入(1)得2q25qq由(2)aa以下同方法一。类型例2.设等比数列an的前n项和为S,若SS+S6=2S9,求数列的公比q.解析：若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S3+S52S9,显

7、然q=1与题设矛盾，故q1.等比数列的前n项和公式a1(1 q3)印(1 q6)26(1 q9)由S32S9得，1 q整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q31,故q31,所以q举一反三:【变式1】求等比数列11,1丄9的前6项和。【答案】364；21 351 3【变式3】在等比数列an中，aan66,a?a.1128,Sn126,求n和q。36a1q【答案】1q或2,n 6;2Va2an 1a1an，a1an128aa 128a164亠a12解万程组,得或a1an66an2an64将a164代入Sn印anq,得q1an21

8、q2由anaiqn 1,解得n6;将a2代入Sna1anq,得q2,an641q由ann 14 ,raq,解得n6。q1或2,n 6。2类型-1：等比数列的性质例3.等比数列an中,若a5a69,求log3a1log3a2解析：V an是等比数列，a1a10a2a9a3asa4a7a5.lg3ai0-log3a10369 log3a1log3a2举一反三：lg3(aia255a3L a10) Iog3(a5a6)log3910【变式1】正项等比数列an中，若a1a100=100;贝yIga1+lga2+.+lga100=【答案】100;/lga1+lga2+lga3+.+lga100=lg(a

9、1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=.=a50a51原式=lg(a1a100) =50lg(a1a100)=50lg100=100。827【变式2】在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为32【答案】216;法一：设这个等比数列为an,其公比为q，8a13,a52724ag4 4q,q8116 a：a3a42a1q a1q3a1q法二：设这个等比数列为an,公比为63216。q,则277，【变式3】在等比数列an中，aan66,a?a.1128,Sn126,求n和q。36a1q加入的三项分别为a2,a3,a4,23 a2a3a4a3a3a3

10、216O类型四：等比数列前n项和公式的性质44444444例4.在等比数列a中，已知Sn48,S2n60,求S3。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，第2个k项和，第3个k项和，第解析：法 :令b=S=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n观b=a+a2+.+an,+a2n=qn(a1+a2+a3n=qb2=an+an+2+b3=a2n+1+a2 n+2+我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前n个k项和仍然成等比数列。+ an),2n(a1+a2+.+an)k项和,易知b1,b2,b3成等比数列， SBn=b3+S2n=3 + 60=63.b3比122b48

11、3,法二：S2n251, q1,a1(1 q)48由已知得1qa1(1 q2)601 q得d51 q即q144代入得a164,1 q3 、S3na1(1 q )64(14)63 o1 q4法三：a为等比数列，Sr1,S2nSn,S3( S2nSn)Sn( S3nS2),S32(S2Sn)S2(60蠡6063 oSI48举一反三:【变式1】等比数列an中, 公比q=2, S4=1,则S8=【答案】17；S2n也成等比数列,由题意a,a3,a5也成等比数列，2a32736,故a36,2S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q +a2q +a3q +a4q =S4+q (a1+a2+a3+a

12、4)=S4+q S=S4(l+q )=1(1+2 )=17【变式2】已知等比数列an的前n项和为S且S10=10, S20=40,求：S。=?【答案】130;2法一：Sl0,S20-S10,S30-S20构成等比数列，.(S20-S10) =So(S30-S20)2即30 =10(S30-40),S30=130.法二：2Si0S20,q 1, S10a1(1 q10)10 ,S20a1(120q )401 q1 q101 q1 .10Ca1JI20Iq3, -51 q41qS30a1(1 q )(5)(133)130.1 q【变式3】等比数列an的项都是正数，若3=80,S2n=6560,前n

13、项中最大的一项为54,求n.【答案】 -Sn辽，q 1(否则蛍 丄)S2n6560S2n2a1(1 qn)Sn -=80 (1)1 qS2na1(Iq)=6560.(2),1 q(2)(1)得：1+qn=82, qn=81 (3)该数列各项为正数，由(3)知q1an为递增数列，an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)5422a1q q代入(1)得q(1 81) 80(Iq),8133q=3,n=4.【变式4】等比数列an中，若a1+a2=324, a3+a4=36,则a5+a6=_.【答案】4;24令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a

14、4=a1q (1+q),b3=a5+a6=a1q (1+q),b2362易知：b1, b2, b3成等比数列，b3=-=4,即a5+a6=4.b324【变式5】等比数列an中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。【答案】448;33/ an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q ,q =8,3a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q =568=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列求原来的三个数思路点拨：恰当地设元是顺利解方程

15、组的前提考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.2a(a d)(a d 32).(1)2(a 4)(a d)(a d).(2)由得a=d 16.8由(1)得32a=d +32d. (4)8(3)代消a,解得d?或d=8.3826当d时，a；当d=8时,a=1039原来三个数为,26,338或2,10,50.999法二：设原来三个数为a, aq, aq2,贝U a, aq,aq2-32成等差数列，a, aq-4,aq2-32成等比数列2aq a a

16、q232.(1)2 2(aq 4) a(aq32)(2)2由 得a,代入(1)解得q=5或q=13q 42当q=5时a=2;当q=13时a -.9原来三个数为2,10,50或2,生，338.999总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列，可设此三数为-,X, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a,公比q来解y决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列【答案】为2

17、,6,18或-10 50；999设所求的等比数列为a,aq,aq2;I I r2一2 2则2(aq+4)=a+aq,且(aq+4) =a(aq +32);2解得a=2,q=3或a,q=-5；9故所求的等比数列为2,6,18或-I10,50.999【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。【答案】1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1设这三个数分别为a, a, aq,qa aaq 27a 3由已知得q212a2 2 2aC2q21) 912a a q 91qq得9q482q2290,所以q9或q219即q3或q 故所求三个数为：1、3、9或一

18、1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和 是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.【答案】O，4，8，16或15，9，3，1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x2y x 12y. (12 y)2y(16 x).2由(1)得x=3y-12,代入(2)得144-24y+y =y(16-3y+12)2 2 2. 144-24y+y =-3y +28y, 4y -52y+144=0,2. y -13y+36=0, y=4或9，. x=0或15，四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.类型六：

19、等比数列的判断与证明例6.已知数列an的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(nNL),求出数列的通项公式，并判断an是 何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和S可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：/log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,S=5n-1 (nZ), 1a1=S1=5 -1=4,当n2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1n-11-1而n=1时，45 =45 =4=a1,nNL时，an=45n-1由上述通项公式，可知an为首项为4,公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列Cn,其中

20、G=2n+ 3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数P。【答案】p=2或p=3; Cn+1-pCn是等比数列，对任意nN且n2，有(Cn+1-PCn) =(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)n nn+1n+1n n 2n+2n+2n+1n+1n nn-1n-1I G=2 +3 ,(2 +3)-p(2 +3 )=(2+3 )-p(2+3 )(2 +3 )-p(2+3 )即(2-P)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-P)2n-1+(3-P)3n-11整理得：(2p)(3 p) 2n3n0,解得：p=2或p=3,6显然G+1-pCn0，故p=2或p=3

21、为所求.【变式2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，G=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】 设数列an、bn的公比分别为p, q,且pq为证Cn不是等比数列，只需证C1C3C；. Cf (a1P b1q)2a12p2bf2q22a1b1pq,222 22 22G C3 b1)(a1Pb1q ) a1p b1q22.CIC3C2a1b1( P q),又TPq, a10, b10,数列Cn不是等比数列【变式3】判断正误：(1)an为等比数列a7= a3a4;若b2=ac，则a，b，C为等比数列;C220即G C3an,bn均为等比数列，则anbn为等比数列;an是公比为q的等比数列，贝Ua：、若a,b,C成等比，则Iogna,IOgmb,IOgmC成等差.【答案】错；a7=a1q6,a3a4=a1q2aq3=a2q5,等比数列的下标和性质要求项数相同;错；反例：02=00,不能说0,0