概率湖南商学院概率统计

1、1第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验是具有广泛应用的一个数学分支是具有广泛应用的一个数学分支. .它它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律作出种种来研究随机现象，对研究对象的客观规律作出种种合理的估计和判断。合理的估计和判断。2概率论（基础）讨论了如下问题：对随机现象进行概率论（基础）讨论了如下问题：对随机现象进行研究，在数学上建立概率的公理化体系；引入基本概念、揭研究，在数学上建立概率的公理化体系；引入基本概念、揭示常见各类随机现象的

2、规律，总结为基本的随机模型和分布示常见各类随机现象的规律，总结为基本的随机模型和分布律，并研究它们的性质及数字特征；对大量随机因素综合影律，并研究它们的性质及数字特征；对大量随机因素综合影响的结果，以极限定理为内容作了介绍。这样对随机现象的响的结果，以极限定理为内容作了介绍。这样对随机现象的研究，已有了基本的概念、思想方法和工具。但当研究，已有了基本的概念、思想方法和工具。但当我们实际我们实际动手研究并解决一个实际问题时，会立即遇到下面的问题：动手研究并解决一个实际问题时，会立即遇到下面的问题： （1 1）这个随机现象可以用什么样的分布律）这个随机现象可以用什么样的分布律 ( (分布函数分布函

3、数) ) 来来刻画，这种分布的选择合理吗？刻画，这种分布的选择合理吗？ （2 2）所选用的分布的参数是多少？如何估计和确定这些参）所选用的分布的参数是多少？如何估计和确定这些参数？数？ 我们对要研究的这个实际问题往往所知甚少，这样只能求我们对要研究的这个实际问题往往所知甚少，这样只能求助于观测，合理地取得一些数据，据此作出统计上的推断，助于观测，合理地取得一些数据，据此作出统计上的推断，回答上述问题，从而着手去解决问题。而这就是数理统计的回答上述问题，从而着手去解决问题。而这就是数理统计的基本且主要任务。基本且主要任务。3数理统计的主要内容是数理统计的主要内容是： 1.1. 实验设计和研究实验

4、设计和研究，即研究如何更合理、更有效地，即研究如何更合理、更有效地抽取样本，从而获得观测数据和资料的方法。抽取样本，从而获得观测数据和资料的方法。 2.2. 统计推断统计推断：如何利用一定的数据资料，对所关：如何利用一定的数据资料，对所关心的问题，得出尽可能准确的统计结论：心的问题，得出尽可能准确的统计结论： （1 1）估计）估计从局部观测资料的统计特征，推断从局部观测资料的统计特征，推断所观测对象的总体特征（包括总体分布与数字特）；所观测对象的总体特征（包括总体分布与数字特）； （2 2）假设检验）假设检验依据抽样数据资料，对总体的依据抽样数据资料，对总体的某种假设做检验，从而决定对此假设是

5、拒绝还是接受某种假设做检验，从而决定对此假设是拒绝还是接受. . 4某钢筋厂日产某型号钢筋某钢筋厂日产某型号钢筋1000010000根，质量检根，质量检验员每天只抽查验员每天只抽查5050根的强度，于是提出以下问题：根的强度，于是提出以下问题： (1) (1) 如何从仅有的如何从仅有的5050根钢筋的强度数据去估计整根钢筋的强度数据去估计整批（批（10001000根）钢筋的强度平均值？又如何估计这批根）钢筋的强度平均值？又如何估计这批钢筋强度偏离平均值的离散程度？钢筋强度偏离平均值的离散程度？ (2)(2)若规定了这种型号钢筋的标准强度，从抽查若规定了这种型号钢筋的标准强度，从抽查得的得的50

6、50个强度数据如何判断整批钢筋的平均强度与个强度数据如何判断整批钢筋的平均强度与规定标规定标准准有无差异？有无差异？56.1 6.1 总体与样本总体与样本6.2 6.2 抽样分布抽样分布6 在数理统计中在数理统计中, ,将试验的全部可能的观察值称为将试验的全部可能的观察值称为总总体体，每一个可能观察值称为，每一个可能观察值称为个体个体常以常以X表示总体表示总体. . 容容 量量: :总体中所包含的个体的个数总体中所包含的个体的个数; ;有限总体有限总体: :容量为有限的总体容量为有限的总体; ;无限总体无限总体: :容量为无限的总体容量为无限的总体(2) (2) X 的分布函数与数字特征分别称

7、为的分布函数与数字特征分别称为总体总体 的分布函数与数字特征的分布函数与数字特征; ;(3) (3) 今后将不区分总体和相应的随机变量，今后将不区分总体和相应的随机变量， 笼统称为笼统称为总体总体X. . 说明说明 (1) (1) 一个一个总体总体对应一个随机变量对应一个随机变量X ; ;73.3.样本值样本值 X1 1, X2 2 , Xn的一组的一组观察值观察值x1 1, ,x2 2, , ,xn ;2.2.样本容量样本容量 样本中个体的数目样本中个体的数目 n ;1.1.样本样本 从总体从总体X 中中随机地随机地抽取抽取n 个个体个个体X1 1, X2 2 , Xn ,这样这样取得的取得

8、的 X1, X2 , Xn 称为来自称为来自总体总体X 的一个的一个样本样本; ;4.简单随机样本简单随机样本 在总体中抽取样本的目的是为了对总体的分在总体中抽取样本的目的是为了对总体的分布规律进行各种分析推断布规律进行各种分析推断, ,这就要求抽取的样本能够反映总体这就要求抽取的样本能够反映总体的特点的特点, ,为此必须对随机抽取样本的方法提出如下为此必须对随机抽取样本的方法提出如下：(1)(1)独立性独立性(2)(2)代表性代表性要求要求X1, X2 , Xn 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量;要求样本的每个要求样本的每个Xi (i=1,2,n)与总体与总体X具有相同具有相同的分布

9、的分布.满足以上两个条件的样本称为满足以上两个条件的样本称为简单随机样本简单随机样本, 简称简称样本样本.8(2) 样本样本X1, X2 , Xn 可看成一个可看成一个n 维随机向量维随机向量, ,记为记为 (X1, X2 , Xn ); ; 样本值记为样本值记为( (x1 1, ,x2 2, , ,xn);(1) 样本样本X1, X2 , Xn 相互独立相互独立, ,且与总体且与总体X 同分布同分布; ;(3) 若总体若总体X具有分布函数具有分布函数F(x),概率密度概率密度f(x), 则样本则样本 (X1, X2 , Xn )的分布函数及概率密度为的分布函数及概率密度为: niinxFxx

10、xF121)(),( niinxfxxxf121)(),(4) 获得简单随机样本的抽样方法称为获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样. .9 样本样本是进行统计推断的依据是进行统计推断的依据. .但在应但在应用时用时, ,往往不是直接使用是样本本身往往不是直接使用是样本本身, ,而是针对不同而是针对不同的问题构造的问题构造样本的适当函数样本的适当函数, ,利用这些样本的函数进利用这些样本的函数进行统计推断行统计推断. .定义定义1 1设设X1, X2 , Xn是来自总体是来自总体 X 的一个样本的一个样本, ,g( (X1, X2 , Xn) )是是X1, X2 , Xn函数函

11、数, ,若若g 中不含任中不含任何未知参数，则称何未知参数，则称g( (X1, X2 , Xn) )是一个是一个统计量统计量(1) 统计量是一个随机变量统计量是一个随机变量;(2) (x1,x2,xn)是样本是样本X1, X2 , Xn的观察值的观察值, 则称则称 g(x1,x2,xn) 是是g(X1, X2 , Xn)的观察值的观察值. 注注 10例如例如 总体总体 ，其中参数，其中参数 为未知参数，为未知参数， 是是 X 的样本，则的样本，则 , , 等均等均为统计量，而为统计量，而 等都不是统计等都不是统计量，因为它们含有未知参数量，因为它们含有未知参数XN( ,) 2 ,XXXn12,

12、Xiin1Xiin211221Xiin1212()XX , 从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的随机变量随机变量11 设设X1, X2 , Xn是来自总体是来自总体X 的一个样本的一个样本, (, (x1, ,x2, , ,xn) )是其观察值是其观察值.样本均值样本均值样本标准样本标准差差样本样本k k阶阶( (原点原点) )矩矩样本样本k k阶中心矩阶中心矩11;niiXXn12211()niiXSXn2111()niiXSXn111 2(, ,.)nkiiknAXk12 31()(, ,.)nkiikXXnkB样本方样本方差差 21

13、211XnXnnii12;11 niixnx xnxnxxnsniinii1221211)(1121)(11xxnsnii 111 2(, ,.)nkkiiaxkn112 3()(, ,.)nkkiibxxkn其观察值其观察值:样本均值样本均值样本标准差样本标准差样本样本k k阶原点矩阶原点矩样本样本k k阶中心矩阶中心矩样本方差样本方差13 从一批钢筋中随机抽取从一批钢筋中随机抽取1010条，测得其直径（单位：条，测得其直径（单位：mmmm） 为为: : 24.2, 25.4, 24, 24, 25, 25, 24.4, 24.6, 25.2, 25.2. (2)(2)样本均值样本均值 11

14、1(24.225.2.25.2)24.6810niixmmn 24.2, 25.4, 24, 24, 25, 25, 24.4, 24.6, 25.2, 25.2. (1)(1)总体为该批钢筋的直径；总体为该批钢筋的直径； 样本为样本为X1, X2 , X10(1)(1)写出总体、样本、样本值、样本容量；写出总体、样本、样本值、样本容量；(2)(2)求样本观测值的均值、方差及二阶原点矩求样本观测值的均值、方差及二阶原点矩( (保留二位保留二位). ). 样本值样本值: :样本容量样本容量: : n=10;=10;样本方差样本方差二阶原点矩二阶原点矩2211()1niisxxn 22222222

15、22( 0.48)(0.72)( 0.68)( 0.68)(0.32)10.2789(0.32)( 0.28)( 0.08)( 0.52)(0.52) 2211niiAxn 222124.825.425.2610.34.1014样本矩的性质样本矩的性质抽样分布抽样分布统计量是样本的函数统计量是样本的函数, , 它是一个随机变量它是一个随机变量. .统计统计量的分布称为量的分布称为抽样分布抽样分布. .1)1)若总体若总体X的的k阶矩阶矩 存在存在, , 则当则当 时时, , 2)2)kkXE )(nkpkA), 2 , 1(k),(),(2121npngAAAg其中为其中为 g 连续函数连续函

16、数15定义：定义：设设X1, X2 , Xn是来自总体是来自总体 N(0,1)的样本的样本, ,则称统计量则称统计量 2 服从自由度为服从自由度为n的的 分布分布, ,记为记为 2 这里自由度这里自由度n表示相互独立的随机变量的个数表示相互独立的随机变量的个数. . )(22n 222212nXXX 注：注：1. X1, X2 , Xn独立同分布且独立同分布且 ，则，则0 1( , )iXN222212( )nXXXn220 11( , ),( ).XNX则则2.例：例：22110 20 424( , ),( , ),_.XNYNXY则则22( )16Ff( (y) )的图形的图形( (与与n

17、有关有关): ): f y( )1n4 n11 n0 0y6 nFf( (y) )的推导的推导: : 由已前例知由已前例知, ,)2 ,21()1(2 而而Xi N(0,1),(0,1),由定义由定义Xi 2 2 (1), ),2 ,21(2 iX再由再由X1, X2 , Xn的独立性及的独立性及 分布的可加性分布的可加性即即)2 ,2(122nXnii ),(),(2211 XX(1) X N(0,1),(0,1),X2 (1/2, 2);(2),(2121 XX独立独立17 函数函数) 0( )(01 sdxxessx 0. ,0 ,0 ,21)(2212yyeyyfyXY 分布分布 结论

18、结论: 若若X N(0, 1) , 则则 X 2 (1/2, 2)= 2(1) 1/1, 0,( )( ) 0, .xxexf x 其它其它)(2n . , 0 , 0 ,) 2/(21)(2122/其它yeynyfynn2( )(,2)2nn X ( , )18Ff( (y) )的图形的图形 ( (与与n有关有关): ): 1n4 n11 n0 0y6 nf(y)的概率密度为的概率密度为)(2n . , 0 , 0 ,)2/(21)(2122/其它yeynyfynn 012)2(dxxennx 其中其中 . .19 分布的可加性分布的可加性 2 )(),(22221221nn设设 2122且

19、且 与与 相互独立相互独立, ,则有则有 分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差2 .2)(,)(22nDnE 分布的分位点分布的分位点2 对于给定正数对于给定正数 (0 45)时时, ,有有标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 数学数学期望和方差期望和方差证明证明2( )n21例例1 1 设设X1, X2 , X6 是来自总体是来自总体XN(0,1), 又设又设 Y=(X1+ X2 + X3 ) 2 + (X4 + X5 + X6) 2试求常数试求常数C, 使使C Y服从服从 2分布分布. 解解 因为因为X1+ X2 + X3 N(0,3), X4 + X5 + X6 N(0,3

20、), 且它们相互独立且它们相互独立.于是于是所以所以 1230 13( , )XXXN4560 13( , )XXXN故应取常数故应取常数 ，23213 XXX)2(322654 XXX31 C于是于是 .)2(312 Y22 设设XN(0,1),Y 2(n),且且X与与Y相互独立相互独立, ,则称随机变量则称随机变量 Fh(t)图形图形:(:(关于关于t =0=0对称对称, ,其形状与其形状与n有关有关) )t(n)分布分布的概率密度函数为的概率密度函数为: :t 服从自由度是服从自由度是n的的t 分布分布( (Student分布分布),),记作记作t t(n).nYXt/ tntnnnth

21、n,)1()2/(2/ )1()(2/ )1(2 2/221)(limtneth 图图23n=1f (t)n=(正态）n=100tFt 分布的分位点分布的分位点: : )()()(ntdtthnttP对给定对给定 (0 4545时时, ,znt)(24例例2 2 设设XN(2,1), Y1, Y2 , Y4 均服从均服从N(0,4) ，且，且都相互独立，令都相互独立，令试求试求T的分布的分布, 并确定并确定 t0 的值，使的值，使 解解 因为因为 X- -2N(0,1), Yi / 2 N(0,1), i=1,2,3,4.故故)4( t 412)2(4iiYXT 412)2(4iiYXT424

22、122 iiYX.01. 0|0 tTP由由查表得：查表得：6041. 4)4()4(005. 02/0 ttt.01. 0|0 tTP25( (三三) )F分布分布FF(n1,n2)分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为：服从自由度为服从自由度为(n1, n2)的的记为记为 FF(n1,n2).设设U 2(n1), V 2(n2),且且U 与与V相互独立相互独立, 则称则称21/nVnUF . 0 , 0 , 0 ,)/(1)2/()2/()/(2/ )()(2/ )(21211)2/(2/21212111yynynnnynnnnynnnn 若若FF(n1,n2), 则则 1/FF(n2

23、,n1).260 (y)的图形的图形:F分布的分位点分布的分位点: ),(2121)(),(nnFdyynnFFP对给定对给定 (0 1),称满足称满足的点的点F (n1,n2) 为为F(n1,n2)分布的分布的上上 分位点分位点. .F (n1,n2) 5,1021nn)25,10(),(21 nn),(1),(12211nnFnnF (证明见书证明见书P142)27 设总体设总体X的均值为的均值为 , 方差为方差为 2, X1, X2 , Xn是是来自总体来自总体X 的样本的样本, ,则总有则总有 .)(,)(,)(222 SEnXDXE推导推导: := niiXEn1)(1 niXEn1

24、)(1 niiXnEXE1)1()(n2 niiXnDXD1)1()( niiXDn12)(1nXD)( 212211)(XnXnESEnii )()(11212XnEXEnnii )()(1122122 nnnni2 28),(2nNX 设设X1, X2 , Xn是来自是来自正态总体正态总体N( , 2 )的的样本样本, ,X, S2分别分别是样本均值和样本方差是样本均值和样本方差, ,则有则有.2独立独立与与SX22222111()()();niiXXnSn)1 , 0(/NnX . )1(/ ntnSX (1)(2)(3)(4)(证明见书证明见书P145)29 设设X1, X2 , Xn

25、1与与Y1, Y2 , Yn2分别是来自正态分别是来自正态总体总体N( 1, 12 ) 和和N( 2, 22 )的的样本样本, ,且这两个样本相互独且这两个样本相互独立立. . 两个样本的两个样本的均值和方差均值和方差分别为分别为 X, Y , S12, S22 , , 则有则有);1, 1(2122212221 nnFSS 时，当222212 ），），（）（）（211212121 nntnnSYX 2212222112,2)1()1( SSnnSnSnS 其中其中1301 1o o 由定理由定理2 2 知知两者相互独立，由两者相互独立，由F F 分布分布定义可知定义可知化简后即得化简后即得1

26、 1o o 。2 2o o 2( )n由由的可加性：的可加性：,221221 nnNYX ),1 , 0(11)()(2121NnnYXU t t分布定义分布定义化简后即得化简后即得2 2o o 。)2()2() 1() 1(11)()(212122222112121 nntnnSnSnnnYX 2211121(1)(1)nSn ，2222222(1)(1);nSn 22112212221122(1)(1)(1,1)(1)(1)nSnSF nnnn2221122122212(1)(1)(2)nSnSnn ，31 以上列举的以上列举的几个重要统计量几个重要统计量的分布是数的分布是数理统计中常用的，它们的密度函数形式都较理统计中常用的，它们的密度函数形式都较复杂，对于应用者来说，不要求一一推导，复杂，对于应用者来说，不要求一一推导，但是但是查表求上查表求上 分位点分位点是统计中经常遇到的，是统计中经常遇