2017年上海市松江区高考数学一模试卷(解析版)解析

1、第1页(共 20 页)2017年上海市松江区高考数学一模试卷一 填空题(本大题满分 5656 分)本大题共有 1212 题，考生必须在答题纸相应编 号的空格内直接填写结果，第 1 16 6 题每个空格填对得 4 4 分，第 7 71212 题每个空 格填对得 5 5 分，否则一律得零分.1.设集合M=X|X2=X，N=x|lgxW 0，贝 U M n N.2.已知 a，b R，i 是虚数单位.若 a+i=2- bi，贝 U( a+bi)2=_.3._ 已知函数 f (X)=ax- 1 的图象经过(1,1 )点，贝 U f-1(3) _ .4._不等式X|X-1| 0 的解集为.5.已知向量；=

2、(sinx，cosx)，g = (sinx，sinx)，则函数 f (X)=；?l 的最小正周期为_.6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2 名中国 运动员和 6 名外国运动员组成的小组中，2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概 率为7.按如图所示的程序框图运算：若输入X=17,则输出的X值是a 2 I8._ 设（1+X）n=a0+a1x+a2X2+a3X3+anxn，若 =-?，贝 U n=_a%L?9.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也 相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2.10. 设 P(X，y)是曲线 C:捂| + 誓=1 上的

3、点，F1(- 4, 0)，冃(4，0)，则| PF|+| PFd 的最大值=_ .11. 已知函数 f (X)= ，若 F (X)=f (X)-kx 在其定| 2求 - &i3义域内有 3 个零点，则实数 k_.12. 已知数列an满足 a1=1, 02=3，若 | an+1- a =2n(n N*)，且 %-1是递增 数第 2 页（共 20 页）列、a2n是递减数列，贝U 1.二=_ .n a2n第3页(共 20 页)二、选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案， 考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 5 分，否则一律

4、得零分13.已知 a，b R,贝U“aO 是“ + 2”的（）a bA.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD- AiBiCiDi中，点 P 在截面 AiDB 上，则线段 AP 的最小值等于（）的互不相等的矩阵共有（A . 2 个 B. 6 个 C. 8 个 D . i0 个i6 .解不等式（）x- x+ . 0 时，可构造函数 f （x） = （ . ）x- x，由 f （x）在x R 是减函数，及 f （x） f （i ），可得 xvi.用类似的方法可求得不等式arcsin+arcsinx+x6+x30 的解集为

5、（）A. (0, 1 B . (- 1, 1) C . (- 1, 1D . (- 1, 0)三.解答题（本大题满分 7474 分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17 .如图，在正四棱锥 P- ABCD 中, PA=AB=a E 是棱 PC 的中点.（1） 求证：PCXBD；A.-C一 D .i5.若矩阵allal2Ia21a22满足: aii，ai2，a2i， 022 0， i，且a12a22=0， 则这样第 2 页（共 20 页）（2） 求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值.EEa*2 118 已知函数 F (x)二 -,(a 为实

6、数).2s+1(1)根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f (x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若对任意的 x 1,都有 Kf (x) 3,求 a 的取值范围.19. 上海市松江区天马山上的 护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称世界第一斜塔”兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记 0 点为塔基、P 点为塔尖、点 P 在地面上的射影为点 H.在塔身 0P 射影所在 直线上选点 A,使仰角 kZHAP=45,过 0 点与 0A 成 120的地面上选 B 点， 使 仰角/ HPB=45 (点 A、B、O 都在同一水平面上)，此时测得ZOAB=27 , A 与 B 之间距离为

7、 33.6 米.试求：(1) 塔高(即线段 PH 的长，精确到 0.1 米)；(2) 塔身的倾斜度(即 PO 与 PH 的夹角，精确到 0.1).20. 已知双曲线 C: =1 经过点(2, 3),两条渐近线的夹角为 60,直线 a bl 交双曲线于 A、B 两点.(1) 求双曲线 C 的方程；(2)若 I 过原点，P 为双曲线上异于 A, B 的一点，且直线 PA PB 的斜率 kPA,kPB均存在，求证：kpA?kPB为定值；(3)若 I 过双曲线的右焦点 R,是否存在 x 轴上的点 M (m, 0),使得直线 I 绕点 Fi无论第5页(共 20 页)怎样转动，都有丫 ：？=0 成立？若存

8、在，求出 M 的坐标；若不存在， 请说明理由.21 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列 为“I型数列”(1) 若数列为“H型数列”且 ai=l - 3， &=丄，氏=4，求实数 m 的取值范 围；(2) 是否存在首项为 1 的等差数列an为“H型数列”且其前 n 项和 Sn 满足 S.vn2+n(n N*) ?若存在，请求出an的通项公式；若不存在，请说明理由.(3) 已知等比数列an的每一项均为正整数，且an为“H型数列” bn=an,cn=，当数列bn不是“I型数列”时，试判断数列Cn是否为“H型数(n+1) 2n列”并说明理由.2017 年上

9、海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题满分 5656 分)本大题共有 1212 题，考生必须在答题纸相应编 号的空格内直接填写结果，第 1 16 6 题每个空格填对得 4 4 分，第 7 71212 题每个空 格填对得 5 5 分，否则一律得零分.1 .设集合 M=x| x2=x，N=x| Igxw0，贝UMnN 1.【考点】交集及其运算.【分析】先求出集合 M 和 N，由此能求出 MnN.【解答】解：集合 M=x|x2=x=0, 1，N=x| lgx0 x| 0vx0 的解集为(0, 1)U(1, +呵 .【考点】绝对值不等式的解法.【分析】通过讨论 x 的范围，去掉

10、绝对值号，求出不等式的解集即可.【解答】解： x| x- 1| 0, x0,| x-1|0,故 x-10 或 x-1v0,解得：x 1 或 0vxv1, 故不等式的解集是(0,1)U(1,+x),故答案为：(0,1)U(1,+x).第7页(共 20 页)5.已知向量；=(sinx, cosx), t = (sinx, sinx),则函数 f (x) =；? 的最小正周期为n.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由平面向量的坐标运算可得 f (x),再由辅助角公式化积，利用周期公 式求得周期.【解答】 解：= (sinx, cosx), = (sinx, sinx),2 f (x) = ?i-

11、=sinx-sinxcosx=:.=-一云门二十m 丄=:-TT.故答案为：n6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2 名中国运动员和 6名外国运动员组成的小组中， 2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概 率为一一.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数 n= :,再求出 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道 的概率为m=：，由此能求出 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道. 在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中，基本事件总数 n= :, 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道

12、的概率为 m= ,第8页（共 20 页）故答案为：7按如图所示的程序框图运算：若输入 x=17,则输出的 x 值是 143【考点】程序框图.【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 x, k 的值，当 x=143 时满 足条件 x 115,退出循环，输出 x 的值为 143,即可得解.【解答】解：模拟程序的运行，可得x=17, k=0执行循环体，x=35, k=1不满足条件 x 115,执行循环体，x=71, k=2不满足条件 x 115,执行循环体，x=143, k=3 满足条件 x 115,退出循环，输出 x 的值为 143.故答案为：143.自-I8.设（1+x）n=ao+a1x+

13、a2x2+a3X3+anXn，若 =.-,贝 U n= 11.巧【考点】二项式系数的性质.【分析】利用二项式定理展开可得：（1+x ）n=：+：n nnx3+ =a+a1x+a2/+a3x3+anxn，比较系数即可得出.【解答】解： ： （1+x）n=： ；.+：x3+=a+a1x+a2x4 5又空=2亘=2乂占 3，严 3，3X2X1则 n=11. 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为I开始输入.屯0n(n 1)2-一，n-2=9，第9页（共 20 页）6+a3X3+anXn,故答案为：11.第10页（共 20 页）9.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm， 如果圆锥的体积与球的体积恰

14、好也 相等，那么这个圆锥的侧面积是_ncm2.【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案.【解答】解：由题意可知球的体积为： 士-x 13二cm3，圆锥的体积为：.x nx12xh 二=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以 二.h，所以 h=4cm，圆锥的母线：1=cm.故圆锥的侧面积 S=nrl=ncnfi,故答案为：n10. 设 P （x, y）是曲线 C：楼+幷=1上的点，Fi（- 4, 0），F2（4，0），则|PFi|+| PFd 的最大值=10 .【考点】曲线与方程.【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可

15、知|PF|+| PE|的最大值为10.【解答】解：曲线 C 可化为：甲+ =1,它表示顶点分别为（土 5，0），（0, 3）的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF|+| PFd 的最大值为 10,当且仅当点 P 为（0，土 3） 时取最大值，故答案为 10.11.已知函数 f （x）=，若 F(x) =f第 9 页(共 20 页)义域内有 3 个零点，则实数 k(0，空_.J【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】问题转化为 f (x)和 y=kx 有 3 个交点，画出函数 f (x)和 y=kx 的图象, 求出临界值，从而求出 k 的范围即可.【解答】解：若 F (x) =f (x)-

16、kx 在其定义域内有 3 个零点，即 f (x)和 y=kx 有 3 个交点，画出函数 f (x)和 y=kx 的图象，如图示：|2k|点(2，0)到直线 y=kx 的距离 d=解得：k 二:手，故：0vkv等故答案为：(0, )12 已知数列满足 ai=1,十=3,若| an+i- a.| =2n(n N*)，且 d -1是递增数列、a2n是递减数列，则-=一 n a2n【考点】数列的极限.【分析】依题意，可求得 a3- a2=22，a4- a3=- 23，a2n- a2n-1=- 22n-1，累加 求和，可得 a2n= - ?22n，a2n-1=a2n+22n1= +W?22n；从而可求得

17、.: 一- 的值.第12页（共 20 页）【解答】解：Tai=1, a2=3, | an+i- an| =2n(n N ),2- a3 a2= 22,又a2n-l是递增数列、 a2n是递减数列，二 a3- a2=4=22;同理可得，印-a3= - 23,4a5 a4=2 ,a a5= 25,2二 a2n= (a2n a2n-1)+(a2n-1a2n-2)+ + (a3 a2)+(a2ai) +ai=1+2+ (2 a2n-1=a2n+22n+、？22役+i-22n则.-一-a2h-丄*加33乙故答案为:二、选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案， 考

18、生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 5 分，否则一律得零分. .13已知 a，b R,贝厂a!0 是 “ + 2”的（）a bA.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件1_3-22n-1a2n a2n-1= 2 ,23+24+22 n2=3+J.-第13页（共 20 页）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：由 I + 2,得：0，a b7ah第14页（共 20 页）故 ab 0 且 a b,故“a0 是“ + 2”的必要不充分条件,a b故选：B.14.如图，在棱长为 1 的正

19、方体 ABC AiBiCiDi中，点 P 在截面 AiDB 上，则线段 AP 的最小值等于（）【考点】点、线、面间的距离计算.【分析】由已知可得 AG 丄平面 AiDB,可得 P 为 ACi与截面 AiDB 的垂足时线段AP 最小，然后利用等积法求解.【解答】解：如图，连接 AG 交截面 AiDB 于 P,由 CG 丄底面，可得 CC 丄 BD, 又AC 丄 BD,可得 BD 丄平面 ACC，贝 U AG 丄 BD.同理可得 AG 丄 AiB,得到 ACi丄平面 AiDB,此时线段 AP 最小.由棱长为 i,可得等边三角形 AiDB 的边长为,._：二二：-二；由 i :.L.ZL,可得:，得

20、 AP 二手. 故选：C.V2D.第15页（共 20 页）311al2Ia21 a22alla12a21i5.的互不相等的矩阵共有（）A. 2 个 B. 6 个 C. 8 个 D. i0 个【考点】几种特殊的矩阵变换.【分析】根据题意，分类讨论，考虑全为 0；全为 i；三个 0，个 i；两个 0, 两个i,即可得出结论.若矩阵满足: aii,ai2,a2i,选2 0,i，且=0,则这样第16页(共 20 页)可得 aiia22- ai2a2i=0.由于 aii, ai2, a2i, a22 0, 1,(oo) (& H (11) (io) (oo)，0 1 丿，0 1 丿，0 0 丿，

21、1 (J，1 1J 则这样的互不相等的矩阵共有10 个.故选：D.16.解不等式(,)x- x+ 0 时，可构造函数 f (x) = ( )x x,由 f (x)在 x R 是减函数，及 f (x) f (1)，可得 xv1 .用类似的方法可求得不等式 arcsin+arcsinx+x6+x30的解集为()A. (0, 1 B. (- 1, 1)C. (- 1, 1D. (- 1, 0)【考点】类比推理.【分析】由题意，构造函数 g (x) =arcsinx+x3,在 x - 1, 1上是增函数，且 是奇函数，不等式 arcs in x2+arcsi n 対 x6+x3 0 可化为 g (x2

22、) g (- x),即可得出 结论.【解答】解：由题意，构造函数 g(x) =arcsinx+x3,在 x - 1, 1上是增函数， 且是奇函数，不等式 arcs in 点+arcs in x+x6+x3 0 可化为 g (x2) g (- x),1-xvx21,/. 0vx 1,都有 Kf (x) 1 以及 f (x) 1 可得：2x+1 a?2x- 1, 即卩 1 时，函数 y1=单调递减，其最大值为 1,2则必有 a2，4同理，由 f (x)w3 可得：a?2x- K 3?2x+3,即 a-3 1 时，y2=:.:单调递减，且无限趋近于 0，故 a3，综合可得：2a3 恒成立，ID2+D

23、2-4m- 5=0，解得 m=- 1, n=0Lm2+n2-1=0当点 M 为(-1, 0)时，MA 丄 MB 恒成立；当直线 I 的斜率不存在时，由 A (2，3)，B (2，- 3)知点 M (-1, 0)使得MAXMB 也成立.又因为点(-1, 0)是双曲线 C 的左顶点，所以双曲线 C 上存在定点 M (- 1, 0),使 MA 丄 MB 恒成立.21 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列 为“I型数列”(1)若数列 an 为“H型数列”且-3,as=4,求实数 m 的取值范ioin围；(2) 是否存在首项为1的等差数列 an 为“H型数列”且其前n

24、项和Sn满足Snvn2+n(n N*) ?若存在，请求出an的通项公式；若不存在，请说明理由.9(3) 已知等比数列an的每一项均为正整数，且an为“H型数列” bn=an,cn=，当数列bn不是“I型数列”时，试判断数列Cn是否为“H型数(n+1) - 2222+m 4m - 5) k2 12nk 3 (m2+ n2- 1)=0,/. Xi+X2=第23页(共 20 页)列”并说明理由.【考点】数列的求和.【分析】(1)由题意得，a? - a=32, 33-82=4-2,即 2 =- - 0, m m m解得 m 范围即可得出.(2) 假设存在等差数列an为“H型数列”设公差为 d,则 d2,由 ai=1， 可 得： Sn=n+，由题意可得： n+V n2+n 对 n N*都成立，即 d占都成立解出即可判断出结论.(3) 设等比数列31的公比为 q,则 an”,且每一项均为正整数，且 an+13n=an( q 1 ) 2 0,可得 3n+1 3n=3n( q 1 ) 3n 3n