2016-2017学年高中数学专题1.12几何概型教案新人教A版必修3

1、几何概型【教学目标】1了解几何概型与古典概型的区别.2理解几何概型的定义及其特点.3会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.【教法指导】本节重点是几何概型的特点及概念；难点是应用几何概型的概率公式求概率；本节知识的主要学习方法是：动手与观察，思 考与交流，归纳与总结加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法【教学过程】一、知识回顾：1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2.概率公式在几何概型中，事件A的概率计算公式如下：构成事件A的区域长虔 面积或体积F一试验的全也

2、结果所构代直壬就长度 面积或体积想一想：几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示几何概型的概率只与它的长厘(面积或你二倉关，而与构成雲件的区域形状无关.概念理解：(1)几何概型也可以如下理解：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内 的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等用这种方法处理随机试验，称 为几何概型.( )(2)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()1(3) 2012昆明模拟在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为；.()

3、3答黑(1)7J (3)7解析：根据几何概型的概念可知 正确.(刃在平面区域取点，亘概率为随机事件占有的区域面积和已知区城的页积之比，点的面积为零，故2这个概率是零.点坐标C于1的区H为1.故所求概率为J几何概型概率的适用情况和计算步骤(1)适用情况：几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例.(2)计算步骤：判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或 体积)这是计算

4、的难点.利用概率公式计算.特别提示：在使用几何概型中，事件A的概率计算公式等即若一个是长度，则另一个也是长度一个若是面积，则另一个也必然是面积，同样，一个若是体积, 另一个也必然是体积题型一 与长度有关的几何概型例、(1)如图A,B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯CD,问A与C, B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？解析:记氐 霸与G B与E之间的距离都不4于10讯”,把A0三等分，由于中间长度为3OX|=10(米h所以F(E)=兽斗(2)2012辽宁卷在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC CB的长，则该矩形面积

5、小于32 cm2的概率为()1124A.一B.C.D.6335答案：C解析:(1)CB=12KP这时矩形的面积为S =根据条件Sx(12x)OOz4选择长度为相应测度，试验的全部结果构成子Z域长度为12,用A表示事件“该矩形面积小于32,构成事件A的区域性良面枳或卿积P(A)=更时，公式中分子3则该矩形面积小于32 cm2的概率P(A)=(4012 =彳，故选C.123规律方法: 将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型(长度比长度)来求解.变式训练：

6、一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮.【解析】在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型.(3)不是红灯亮的时间黄灯亮或绿灯亮的时间 _45_3()=全部时间=全部时间=75=5，23或P=1R红灯亮)=15=5.题型二 与面积有关的几何概型例、(1) 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.解析匕如图所不区域0是长 3 皿、宽2。m的长方形.圏中阴影部分衆7F事件山海豚嘴尖离岸边不

7、超过小 J 间题可:理解比価豚嘴真出现在图中阴影部分的概率.由于区域Q的面枳为30X20=600 (m2)，阴影部分的面尹30 X 2026 X 16= 184 (m2),dm、1S423(2)黄灯亮的时间51P全部时间75一15全部时间全部时间30+40+5一54所以F(A)=O血目卩海豚嘴尖禽岸边不翘过2皿的粹字约为0. 3=总结规律、得出方法：此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率.变式训练：(1)如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜

8、边围成区域M图中白色部分)若在此三角形内随机取一点P,则点P落在区域M内的概率为【答案】i-n4【解析】由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为-2，又易知n2y直角三角形的面积为2，所以区域M的面积为22.故所求概率为 厂=1-4(2)已知 凶2,|y|2，点P的坐标为(x,y)，求当x,yR时，P满足(x2)2+(y2)2二点川距當平面ABCD茨1平面AiE-C；D；的距离都大”的概全飞行”的概率为(iA.27B.ii6)C.D.8276答熱I解析:设三棱P-ABC的高丸h,由寻 s 得事厂就面以下的空间，厂点P满足匸心弓叽 7：的概率是P=l233.在Rt

9、ABC中，/A=30，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求使|AM|AC|的概率.解析：如图所示，因为过一点作射线是为习的，因和应把在二MB内作射线CM看做是等可能的，基冨事件 是身撥 5 蒂在/ACB内任一处，便|AM|Al D|的概沪只与NBC的大小有关，这符合几何概型的条件. 设事件D为“作射线CM,使|AM|ACr .-iQfi0An 在AB上取点 L 使|AC?| = |ACh因为ACC呈弄腰三角形，阳池阮 =2=75-,匚=IQI9075=15, 4 =96 rUA P(D)=-90 b随堂测评2 221.若-4aw3,则过点A(a,a)可作圆x +y -2ax+a +2a-3

10、=0的两条切线的概率为()A.-B.2C.3D.77714答案:D.解析:因为x；+y；*2ax+a+2a-3=(*如： 寸二打爲表示所以3- 2QCL因为过A(為可作圆的两条切线， 所以A在團外所以2a+a2_30,且3-2aO,2、在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是1A.n咗X事* -3,327解得-4=a-3或a 所以p -丰 _ 一1 nTf 142B.nD.7C.-2n【答案】【解析】点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2,则正方形的边长为2.、2圆面积为n，正方形面积为

11、2,. P= n3.有一杯3升的水，其中有一个细菌，用一个小杯子从这杯子水中取出0.3升水,则小杯子水中含细菌的概率为_答案“ 0解析:由越意知，所苹北率沟P=P14. (2012辽宁卷)在长为12 cm的线段AB上任取一点C现作一矩形，邻边，长分别等于线段AC, CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为()1124A.B.C.D.6335答黏C解析; 设线段曲的长为x叽则线段CB的长为(12x)cm，那么矩形的面积洵K(12y?匚朮，由E(1解得x4或QB,又0 x0,刁0,即42, -4b设“方程有两个正根为事件扣则奎件A包含的基本事件河(6, 1),(6- 2)，(6,3)，413),共4个，故所求的概率为巩站=元=言试验的全匍结果构成区域。=(筑，XlVh苴面积为S(Q) = 1&设方程无谿护为雪件B.则构成S件E皆Z城诂B= ( b)|2Wa疼缶0Wb4, (a2)；Jbz 皿X4：=4耳， 故所求餉概率为P(B)=*=手.lo 46.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，8求两人能会面的概率.解析以sc轴和y