化工问题的建模与数学分析方法第二章习题及答案

1、(2)第二章习题1.1.求以下微分方程的解dy+ 2y tan x = 4sinx dxd2ydy-x+ 2 + 2y = e cosx dx解：(1)-2tan xdx2tan xdxf 4sin xe dx+c2x J 4sin xeln|cosx|dx + c4 x cos x4cos x C cos xC 为任意常数x2d2ydx2+ 2xdy+ 2y = x + Inxdxcos2sin xx 4cos2xdx c(1)dx2dydx解:2y tan x = 4sin xcos2cos2d cosx c2d y dy y dx dx解： 先求通解：特征方程为：X2- 2 入+2 =

2、0心=-1 !故方程通解为：yehGcosx C2sin x)由于二=-i - i 为方程一根设特解为:二 Axe()x代入方程得:取其实部：y方程的解为：A1y=e (C1cosx C2sin x)xe sin x2=e cosx1 .i21-ixe2(i)x1Aixe (cosx i sin x)=21xe(i cosx-sin x)22d y c dyx 2 2x 2y = x I nx dx2dx解：设x二et原式可化为：马型2y二 tdt dt特征方程为：2 2 = 0、十77i i -27i2 =2通解为：Y二e2(G co-71 C2sin71)2 2设特解为：*AtyAey2二

3、At B代入方程得:*1ty1e4*(3)y2y=e2(G cos t C2sin t)_e224即y = x2(G co-7In x C2sin - In x)1x11n x- 丄224242.2.求解第一章给出的连续结晶器的稳态数学模型G牛Fg-n)n(0)=旦G式中，成核速率 B B,生长速率 G G,流量 F F 均可考虑为常数，加入流体的粒数分布 的任意函数 n n,n=n=nin(l)(l)。解：求解以下方程：GFn的解。所以，方程的解为:分离变量得:积分得:dnFdlnGln n - 一 匚 l CG上In = CeG(C C 为常数)= C（I），将 n n 的表达式代入原微分

4、方程，得:_FIG(CeGFlCeG)=Fnin二Fdl C,Ci为常数。G代入 n n 表达式得原微分方程解:l l = 0 0 时,则原方程解为：n二GCe二FnhGGnineGdlC1n(0) = FnneGdlGCiCiF1G=B_ Gdli =0Fn.eGldIG旦-.FnineGdl3.3.电极加热炉中石墨电极棒的传热问题可用以下方程描述Q；dT DU dx ITdx丿A式中 D D, U U , A A, T T0均为常数，但导热系数 k kT为温度的线性函数，k kT= = k k0c(x) c c*)？解：2d c dcD2-U q = 0 dx2dxd2c U dc q2

5、dx D dx D齐次方程的特征方程为UD所以齐次方程的通解为c2exp利用比较系数法，求得非齐次方程的特解*qCX(2 2)UCBDA% DB%VDACAODB-CB0、VDACAODBCBO丿 DBCB0VDACA0CA0 -CA =CA01一CBO-CB=x= ,（0兰x兰XR）、VDACAOCB0DBCB0VDACA01 1 +、_DBCBO丿&X +VDACA0DBCBO,（XRX解得（1）所以，非齐次方程的通解为X = 0, X =1：C = Co 心）jU/ !expE所以溶氧浓度沿组织厚度方向的分布为c(x) =Coc2exp Dx一1 -Uq对c（x）关于X求一次，及

6、二次导数 式中c2- 0dcUU=c2一exp x dx D吐U；expUx 0dx2D2D令斜0得即U需要满足c（x） C边界条件为iVc( x) =Gc2expxID 丿 Uqx（3 3）Ci 7qlexpUluL .Dc(x)Uexp U-1:ql_qD U所以，氧浓度在D.XojUlDxDlnUexp (U% )1 IUlD达到最小值为保证组织内部不会出现缺氧的情况，要求Cminc(-4)n6.6.(V)求以下变系数方程的级数解(a(a)解：将幕级数(4.54.5)代入方程，逐项比较系数，令首项xcJ的系数为 0 0,得到指标方程1为心)产0G =0, C2二1，属于第一种情况，可以将

7、 c c 代入递推公式确定各系数。2令xn c项的系数为0 0，得递推公式为ani( n c 1)(n c) lam( n c 1) a02首先将& =0=0 代入递推公式，有UlD-1qDinU2exp.1D)-11U1D(a(a)d2yxdx21 理 y =02 dx(b)d2yxdx2(1 _2x)3 _2y =0dx(c(c) )d2ydyx(1一 診记-9y=0指标方程的两个根为(-4)n则方程的第二解为y2=、山(2 n+1)!可得an 1an1_n(n 1) 1( n 1)1(n 1)(n E)an(-1)n1n !(n)!2(-4)nao :2n!ao则方程的第一解为y

8、14)nzo2n!ax1接着将C2代入递推公式，整理得2an(-1)nn!( n 丄)!2ao(2n 1)!a0二(-4)nax注：级数推导详见微积分下册第274274 页y(x，c)=d n c(n c-1).(1 c)当 c=0c=0 时，上式给出方程的第一解y1二、西 2x “ 二 aoe2x心 n!第二解即 y2=?cao2 n c(；二1).(1 c)c到的级数，递推公式为2n爲驚然后将 C C1= o o 代入得到第一解为最后得到方程的通解为y = A% By2= A：(4)naxn B (n 1no2n!7 (2n 1)!ax(b(b)指标方程 C C2= =0 0 ,重根 C

9、C1=C=C2=O=O递推公式为an 1an 1can, ,将递推公式表示成 a an对参数 c c 的函数形式ann c (nc)于是含有任意参数c c 的幕级数 y(x,c)y(x,c)由下式给出y1n =o2a。(1-x)32nao对各项求导，并令c c= 0 0 得x11yaoe2x-ao；-(r- 3:x2n-)n所以方程的通解为y = A% By2(c c)将幕级数代入后比较系数得到指标方程递推公式指标方程的根为2c + 2c=on +c +3an 1ann +c +1G = ,c2二-2两根相差一个整数m m 时，递推公式中 a am的系数将成为 o o 而使之无法确定。首先确定

10、由大根得n n -c2 x考虑以下含任意常数 c c 的级数 y(x,c)y(x,c)方程的通解为y二A% By27.7.环形法兰上的散热问题可用以下方程描述1 d dTk (r) =h(T To)r dr dr式中 k k 和 h h 分别为法兰的导热系数和向周边环境的传热系数，T To为环境温度。边界条件为在内圆边界r r = = r r1处：T T = =在外圆边界r r = = r r2处：T T = = T T2试用有关的 BesselBessel 函数给出上述问题的通解并说明如何由边界条件确定通解中的任意常数。(提示：作变换y =T -T0, x =r. h k，化为标准形式)解：

11、Q0y(x,c)二、(n c 2)( n c 1)(c 1)(c 2)n： ：cax上述级数在 c c= -2-2 处有奇异性，第二解 y y2由下式给出j、亍(n c 1)(n c 2)y2=CO|_n=00n-tcaox=a0(-n2In x nlnx-n2-n 1)xn，n=0r2ln x12 i=ao3 2_3(1x)3x2(1x) x(1 x)32=0作变换：y =T-To,x=r,hk1dr = dx代 dT_dy h. dr dx，k原式可化为：喚旳x dx dxX29yx2y =0(0 阶变形 BesseI 方程)dx dxk =0,y(x)= Al(x) BKo(x)y(*

12、质)订ToAlnhk)BKoh,质)订-Toy(s.hk)込-ToAlo(r2、.hk)BKo(r2k)-T -To由上两个方程可解得 A, B(T!-To) Ko(r.hk)(T2-To) Ko(ri.hk)Ko(rhk)Io(r.hkKo(r.hk)Io(rhk)(-To)lo(r.hk)(T2-To) lo(rvhk)Ko(rhk)|o(r.hkKo(r/k)|o(r.hk)8.8.(V)用矩阵解法求以下一阶线性微分方程组的通解，并将通解用实函数表示。(1)y1y1y1、1广35、y1=S丿3令2(1(1)解：系数矩阵 A A 的特征方程为det解得 A A 的特征值 =3,，2_1当3

13、时，特征向量方程为类似的得到 毎=_1对应的特征向量为X=(1,-1)T因此，微分方程的通解为(2(2)解：系数矩阵 A A 的特征方程为3九det 5解得 A A 的特征值 打,2=4i当4i时，特征向量方程为式中的方程线性相关，取X X1为独立变量，令 X X1= 1 1,得到=4i相应的特征向量为(1,4LZ3)T, ,相应的复数形式的解为5f1 1、4i _3 e4i=4i _3 (cos4t+isin4t)I5丿15(cos4tsin4t34+ i 43 cos4t一s-cos4t - - sin4tI 55)55上述实部和虚部为方程的两个线性无关特解，因此方程组的通解为(1(1)待

14、定系数法式中的两个方程线性相关，取(1)=(1,1)T(A - iI )x =22：=0X Xi为独立变量，令 X Xi= 1 1，得到=3 3 相应的特征向量为(A- l)x*3 4i-5cos4tsin4t=G卍2丿-cos4t -4sin4t559.9.(V)对于上题(1 1)中的系数矩阵AC2cos4t -5expAtexpAt2、，请用下述方法求矩阵函数si n4t5lagrangelagrange 插值法解：将特征根代入方程，得到3tao(t) 3(t)二ea(t) a!(t) =eai(t) (e3te)41ao(t) (e3t3eJ)4(2(2)将特征根代入方程(7.247.2

15、4 )得nexp At八eitli(A)iA10.10.如所示, ,两相互联接的搅拌釜中装有体积分别为V V1和 V V2的溶液，初始时刻釜中溶质浓度分别为 y y10与 y y20, ,从 t t = = 0 0 开始，两釜中的溶液以流量q q 通过管道泵送而相互交换，管道体积可以忽略，求两釜中的溶质浓度随时间的变化关系。习题 1010:两互联搅拌釜的动态响应解：由条件得，对第一个釜:M 普二 q一*dtV2芈二 q % - y21+12、1-323te2计丿+ e -n;mn;则任何由矩阵级数定义的函数f f（A A）都可用不高于 n-1n-1 次的 A A 的多项式表示：f （A）二a0

16、Ia1A a2A2an4An考虑其参数形式（A）卢f（i）（1I）广叫（A广fi#（人一人）（人一人二）（ -九i十）（人一G）ryig6yi0二2y202彳+日必。-靭化-麵i日严2二2i其中日= =V Vq11.11.设 = = i i 为矩阵 A A 的特征值，试根据特征向量方程(246)(246)证明 SylvesterSylvester 定理(2.5.24)(2.5.24)。对于求齐次方有式 2.4.6:2.4.6:(A - l)X =0定义expA八Ak=I Ak!23!(1)2njf ( ) = a0a!.亠a2.亠 亠an若欲确定其中的ai(i=0,1(i=0,1,n-1),n

17、-1),常用的方法是用函数f (i)(i=1,2(i=1,2 ,n),lagrange,n),lagrange 插值法来得到，因f ( )是 n-1n-1 次的多项式，故可通过 lagrangelagrange 插值的方法来准确表达nf()八f(i)li()怪.J.(打)(站)(J乂n)(i - 1)(i - i)(i冷1)(i - n)将参数，代换为 A A 上式同样成立，有f严f严1) (A-)(AI) (A-nl)(y(A1)(人一打)(人i人)(入一入七)(入一打)此式即为 SylvesterSylvester 定理. .12.12. 不同形状的催化剂颗粒上的反应- -扩散问题可用以下

18、方程描述dcAdrx=R:- Dhm(cA -cb)dr式中 s s 为颗粒的形状指数，s s = = 0 0 为片形，s s = = 1 1 为长圆柱形，s s = = 2 2 为球形，D D 为内扩散系数，k k 为一级反应速率常数，h hm为外表面传质系数，c cb为流体相本体浓度。(a)(a) 选择适当的特征尺度将问题无量纲化；(b)(b) 分别求取 s s = = 0 0，1 1，2 2 时的粒内浓度分布；(c)(c) 求催化剂有效系数D判_s 2dxx缶-Rkcb与 ThieleThiele 模数 = R Rk和 BiotBiot 数Bi二匕聖 之间的关系，并讨论这两个参数对的影V

19、 DD响趋势。解：取颗粒的半径为x的特征尺度。取Cb为CA的特征尺度 可将问题无量纲化。f (i)f C )上的 n n 个点上的值其中lj(讨二丄上(sX :X邑)g.:x选择R与cb分别为自变量x与因变量cA的特征尺度，作变换r=x/R,c=cA/cb代入方程和边界条件，整理得:sd(rsS2cr dr drc de门r=0:0drdcr = 1:Bi(c-1) = 0drBi二hmR/D(2)S=0L、r D 1)二kcAx : Xd2cA,小D2- kcA二0dx2特征方程：D2-k = 0 dCACix = 0CA=hm(CA H)(eDxJ D)A-kRkRkD(eD-eD)-Dd

20、CAdrx = RdCA不 9dr-hm(CA -Cb)hm(CCb)kRD) _D(G-C2DR)C1=C2=p而(J、kxS=11：D (xxXD1x1dcADAD2x dx dxdj 1 dCAkc 0dx2x dx DA此方程为变系数方程c=0时，:a。kn 2n浮x黯厂kcAdx dx%kc-kcAanxn c代入方程，n=0得:QO an( n c)(n c-1)xn c_2n=0令x_2的系数为零c(c -1) c = 0q = c2= 0令xn c的系数为零oO| cd八an(n c)xn c2-上n=0Dn=0n+ca“xkan.2(n c 2)(n c 1) an 2(n

21、c 2) 3an= 0an 2=kanD( n c 2)2aoy y(x,o)二二kcA、- -()xnT(2n)(2n -2)(2) DCA=Ayi+By2A,B均为任意常数a2n2n2 22 22 2占)(2nC)2(2n c- 2)2()(2 c)2DDO2n2n 丹.a0 0 xkn ny(x,C)2 202 22 2()n n(2n+c)2(2n+c-2)2()(2+c)2D将上式对C求导，再令C=0 得第二解：2n4C-ax_ (j)n(2n c)2(2n c- 2)2()(2 C)2(D)12n00 ao(2X)k11(上)nln x_1_丄_1n=o(n!)2D“23oO二aJ

22、(x)ln x八n二a。2n2n 丹a xay(x,c)八ndy厂当“QC(2x)2nnS=21?2；:cAD 2(x ) = kCAx；x；x设CA宜x可将原方程化为：D兽一ky =0dx通解为：CA二x(A-Bx = 0 A= -BX1(AkDey=AekDxBe/Ae跖x+ Be昭加B)(AeDBe)xdcA1/A子八字(Ae dx x-kDx)dx-B.kDeBe-kDx)2xx = Rr dcA-Ddx二hm 7)A = _B_A(Ae“厂今)丄(ARR=hm -Q) D一D1(人戶 +Be呵 +R (A初De BAR)R)2A二hm(CA-cJRR(，DekDR、Dke kDR)2

23、hm( cAcb) RB二R(+)_(ekDR-e%R)is*RdcA .AL才hm -cb)dxs 2hm(CA-Cb)RkcbR2-DhmRDhmRk(CA- q)(s 2) Bi所以与Bi成正比，与2成反比13.13.对于可逆反应A B，反应的转化率由于受到化学平衡的限制而难以提高，采用反 应-分离耦合操作的方法就可以打破这一限制。设在一催化剂颗粒内部发生上述双组分可逆反应，同时也筛选出了某种吸附剂，使得A A、B B 的吸附性能呈现较大差别，这样，我们就可以将催化剂与吸附剂掺混，然后采用逆流移动床来实现反应-分离耦合操作。设吸附等温线为线性，反应关于固相浓度为一级，忽略颗粒内外的传质阻

24、力和床层返混，则逆流移动床数学模型 由以下方程描述_DdcA|D .lx二RdxBi展开得:det A二dCAdnA.SkAnAkBnBdz dzdCBdnB;,S-=dz dznA =KACA,nBz = 0:CA=cA,t!B,kAnAkBnB-KBCBCB= cBtnB =nB,nA =nA式中，c c 和 n n 分别表示流体和固体相的浓度，. , ,.S分别为流体和固体的运动速度，求1 1） 解上述方程，给出浓度 A A、B B 的沿塔分布。2 2）如果令qA= “,CA-：SKACA，分 A A、B B 的净流率。研究表明，只有当边界上的间断条件表述为塔底（z z = = 0 0）

25、:bb亠bCA =CA,nA =nAv（c -CB%VS（nA-nA4）塔顶（z z =l=l）:-S（nA -nA（cA -CATtt.ttC CB, nB =nB式中上标“ + ”与“-”分别表示塔顶和塔底边界外部的值，根据上述条件确定流体相和 固体相的出口浓度。3 3）如果取以下参数KA=1.17, KB=1.80,S/=0.77, kAl /的浓度分布并作图考察各参数变化的影响。解：1 1）原方程组可化为如下形式：z =1:qB=】CB-：SKBCB，则二者分别表示床层任一截面上组q qA和 q qB的方向相反时，才能实现A A、B B 的分离，此时= 0.226, kA/kB=0.4

26、9计算相关CAkAk-K-dzU-JKAu-5KA&dc-kAk-K-&丿idz丿严SKBuJK-丿kBKB其特征方程为:det-SKAkA-SKAkBSKB-SKBkAKAfkAKA*k-K-k-K-kAKAflj、U7SKA)_USKB丿V-VSK-SK-/kAKAk-K-+kAKA-+-k-K-a+a2k-K-kAKA九+人2= 0kA- -SKA-SKB-SKA：-SKBSKAU7SKB丿十kBV-VSK V-VSKBJ_kAKA亠kBKBkAKA亠kBK与，=0对应的特征向量方程为:kAU USKAkAKA严USKBkKCB。令CB=1，得到特征向量:kAKA(1),

27、 kBKBTc (,1)kAKA-SKB-SKBcB。令CB=1，得到特征向量:综上，微分方程组的通解为:其特征值为：，=0,kA；.； sKA丄kBU SKB丿，为相异实根。即:kB=GkAKA 1丿AKACAnAq、c2为常数kAKA亠kBKBA .；%KBkAKA _ _kBKB& kA-SKB- -SKA_kAKA亠kBKBSKA-SKBKACQC-SKB-SKA(A - 11)c =-SKAkBKBV-VSKBCA1CB丿1。 取CB为独立变量，得 CA=kAKA USKAkBKB-SKB对应的特征向量方程为:kBKBkBKB(A - l)c =-SKBkAKA-SKAkAK

28、ACA0J取CB为独立变量，得 CA-SKAz=0时，CA=CA,CB=cB，知:(bkBKBsKBCA= GC2 -kAKAU -USKAbCBc2解得:SKAbCBkBkAKA十甘_9SKB,5_SKAkBkAkBKB .：- SKBkAKA：-SKA则得到原方程组的解:b r二:SKBbCACBV -VSKAkBKB-SKBkAKA-SKAb TSKBbCACBV -VSKAkBKB .-SKBkASKAkBKBkXkBKB b bkBKB .： sKBRAKAL；： ：SKAkBKBb bCB _CAkAKkAK_ e 异_SKBASKAz =1时，二nB，nA二nA，知:tnAIkA

29、KAr：kBKBSKA二SK二ClKAC2ekAkBKBB1丿U -5KBU7SKAnB-C|KB Kpqe|kAKA亠kBKBI一 ：FKA：“SKBkAKA:_：SKB-SKAkBKB -SKBt解得：C工匹KB$nB -nAkASKB-，C2学nB -nAkAkAKA 1kBKBe：-k：则得到原方程组的解:nA =-t止KBn nB二-n nBKBkA: :AnBtFAk kBK KB邑KBKA一：KBk kAk kB t&AKB+KAV -V：KBv -V：KA丿即 A A、B B 的沿塔分布。kBkAk kBkAKBKA-SKB-SKA严KSKA兀KB+KBrkBkAk k

30、B t tBn nB-皿k kAKBKAJSKBU7：KA丿kAKA-.kBKBIzeF F-SKBSKAIRAKA. kBKkBKB1e: rsKA： KBZ = 0时，因j；H%KB，否则静流率为 0 0，则由条件-(cB-cBJ - -s(n；-nB)得:b b：；b b：!；CB= CB,nB -nBz =1时，同上原因，由条件:(cA -cAj二：s(nA -n)得:tt tcA二cA,nA二n3)3)由条件得:2)2)kB80 =3伞7SKB0.49 1.17一 i -SKA-0.771.80-0.771.17二-3.90;kAKAkBKB_0.226 1.170.226 1.80

31、=0.517-sKA-SKB-1 1-0.77 1.17 l 1 -0.77 1.800.49一l则代入原浓度分布为：CA*cB0.517-4.13 cA-3.90cB-5.13 3.14cB-cA0.517=1.32(cA 3.90cB )1.32(3.14cB cA0.517nAnB=35.051nB-16.181 nA-20.101 2.04nB -nA0.517二17.177nB-7.930nA7.930 2.04nB -nAe11414.(V)发生在催化剂颗粒上的放热反应总是与传热相互耦合，从而导致多重稳态的产生和相关的稳定性问题，COCO 在铂催化剂表面的氧化反应曾被作为一个典型的

32、体系而得到广泛的研究。现考虑 COCO 在铂金属丝表面的氧化，相应的质量与热量衡算方程可表示为dA=k-A)-kAdt-cpddT二 h(T0-T) (-：H)kA4 dt试从上述方程出发，在稳态解附近作线性近似，导出相关的稳定性判据。解：方程右端为零时，所得的解是系统的稳态解，设为(A As,T,Ts), ,考虑系统的小扰动x二A -乓,y =T讥并令kA = rA代入原方程，即得扰动(x x, y y)满足的瞬态方程dxkfX (rATAS)dt孚 _ _ _y _：仏_AS)dt将 k k 展为泰勒级数，并忽略二阶及其后的高阶项，得到线性近似方程P（kf+氏）x-詹卜相应的特征方程为特征

33、根实部的正负由参数决定，分为以下情况：（1 1） 当 t tr0,0,0 0 时，两特征根的实部为负值，系统是渐进稳定的；（2 2） 当 t tr0,0,或者：0 0 时，至少有一个特征根的实部为正值，系统是不稳定的；（3 3） 当 t tr=0,=0,0 0 时，两特征根为相异的虚根，X X 与 y y 将围绕稳态进行振荡, 不是渐进稳定的。系统渐进稳定的物理变量判据为第二种解法：方程右端为零时，所得的解是系统的稳态解，设为（A As,T,Ts）, ,考虑系统的小扰动原方程化为TSA二kA,:4 汨Cpd4h;?Cpd式中：4AH p 4hCpd Cpddt：Ax（ ：g式中:4 H;?Cp

34、d4h;?Cpd其中 tr（S）（汀S-rA)-：系统是稳定的但tr，：= 0.汀S S=-kfx - kx -(k 一 ks)代dtfcPd dTPhy (-.：H)kx (k - ks)As4dt将 k k 展成泰勒级数，并忽略二阶以上项k =ksdk(T -Ts)土dkysdTsdTS方程化为1515 .考虑催化剂颗粒的内扩散阻力时，一般情况下颗粒热稳定性问题的分析将变得十分 复杂，但是，若对内扩散过程采用拟稳态假定，则问题就可以大大简化。试从第一章给出的催 化剂颗粒简化模型（1.5.151.5.15）、（1.5.161.5.16）出发，对热量衡算方程采用稳态附近的线性近似，然后针 对薄

35、片型催化剂颗粒（s s= 0 0）导出相关的失稳条件（斜率条件）。解:当s=0时，有：y-2yexp 1-4 =0& I U丿特征方程：九2 02expYh-丄11 = 01 I u丿得:人=exp|丄？”1一丄i,打=一0 exp卩？ 1一丄21 U力巳 2 I U丿dxdky -dTS%：H）ksxHAs卡4 dtdTS略去方程的高阶项再按稳定性的常规方法判断。空二-(kfks)x As坐dt f打cdTSyx dkh) yLHyxIdT丿s则万程的解为:代入热量衡算方程为：拒毛UbRexp 1_丄1ce叽4xce1 1厂dr_. u0、dx=B仙)+薛expd-U -1)*uexpf 1-4 c e叫 L对系统：=BiUb-uT C