双曲线部分性质知识点总结

1、一、双曲线的定义1、第一定义：|PF1 PF2当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|-|MF2|=-2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=F2|时，轨迹是一直线上以F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。当a=0时，轨迹为两定点连线中垂线。2、 第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I的距离之比是常数e(e1)二、 双曲线的标准方程(cb2a2，其中|F1F2|=2c,焦点位置看谁的系数为正数)22 22焦点在x轴上： 冷_爲=1(a0,b0)；焦点在y轴上： 厶卑=1(a0,b0)a2b2a2b222mx - ny

2、 =1,(mn：0)；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：2yb22y2=2a 0)。注意：(1)距离之差的绝对值。(2) 2av|FiF2|焦点不确定时：2与双曲线笃a2与双曲线笃a2b三、特殊双曲线：等轴双曲线：2 2形式：x - y等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。共轭双曲线：(以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线)有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆；3、离心率倒数的平方和等于1。四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线五、相关性质：1、点与双曲线的位置关系：2、中点弦的存在性3、以PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右

3、支；外切：P在左支)2 2若P)(X0,y。)在双曲线 冷-与=1(a0,b0) 上,则过R的切线方程是X0Xyoya =1共焦点的双曲线系方程是=1共渐进线(y = _2x)a1、4、1、22x y2_2a k b -k的双曲线系方程是=12xa2b2y_2:k . b2)(实虚轴相等，即a=b)=人(九式0);2、离心率e =;3、两渐近线互相垂直， 为y=x；XX若Po(xo,yo)在双曲线b2 2xy22=1(a0,b0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切ab点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是X0，X -y02ya b=1.2x5、双曲线-aS丄F1PF2tan 26、以焦点

4、弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.7、点P处的切线PT平分PF1F2在点P处 的内角計1(a0,b0)的焦点角形的面积为2 2x y,8、设双曲线一2 =1(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意a b点，在PF1F2中，记NF1PF2= ,ZPF1F2 = P上F1F2P=丫 ,则有Sn厂=-=e-(sin -sin -) a2 2x y9、已知双曲线二2=1(ba0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP 0Q.a b11114a2b2a2b2(1)二 =石-土；(2) lOPf+IOQf的最小值为冷冬；(3)SPQ的最小值是 一2|OP|2|OQ

5、|2a2b2ba2b2-a2552 21, Fi、F2是乙日的焦点，其上一点p到Fi的距离等于9则P到焦点F2的距离.1716 202.双曲线x2-y2=8的左焦点F有一条弦P(在左支上，若|PQ=7, F是双曲线的右焦点，则PFQ勺周长是2 2 23-过点(2，刀且与双曲线；用有公共渐近线的双曲线方程是;-4=14.已知F1,F2是双曲线的左、右焦点,过F|且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于AB两点若=ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为.325.过点A(0,2)可以作4条直线与双曲线X2 J =1有且只有一个公共点42 26.过点P(4,4且与双曲线話一9=1只有一个交点的直线有3条

6、2 27.若-1上点p满足| PF1| | PF2 |=64(或.F1PF2),求SF1PF2=16.39163L动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？39.若B(-5,0),C(5,0)是三角形ABC的顶点，且sin B -si nCsi nA,求顶点A的轨迹510.圆M与圆C1: (x 4)2y2夕卜切，与圆C2 :(x 4)2 y2=2内切，求M轨迹11.已知双曲线的渐近线方程是y=|,焦点在坐标轴上且焦距是10,贝眦双曲线的方程为12求与2x2y8有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为8 22 213求与x24y64有公共焦点，且渐近线为X-. 3y=0的双

7、曲线为-y136122 2x y14.一一=1左支一点P到左准线l距离为d,若d,| PF1|,| PF2|成等比，求e范围a b2215. C:二 =1右顶点为A x轴上一点Q(2a,0),若C上一点P使APPQ二0,求e范围a2b245 516.渐近线方程为yx,贝吐亥双曲线的离心率e为一或一33 416已知双曲线的右顶点为E双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A B两点， 若/AEB=60, 贝贝亥双曲线的离心率e=217.设e1,62分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1PF 0,贝ye?e2的值为2(辛2)18.已知中心在原

8、点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(.3,0).(1)求双曲线C的方程；若直线：y=kx+m(kM0m丰(与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分 线过点A(0,1)，求实数m的取值范围.2 2 2解析：(1)设双曲线方程为x2書=1(a0,b0).双曲线C的方程为xy2=1.a b3联立y=kx+m整理得(13k2)x26kmx3m23=0.551-3 k2工0直线与双曲线有两个不同的交点，22=12(m+13k)0可得m23k21且k2设M(X!,yi),N(X2,沁,MN的中点为B(xo,y).将代入，得m24m0,二mv0或m4.又3k2=4m+1O(kz0)即m-

9、419.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(J3,0)2(1)求双曲线C的方程；y2=13(2)若直线I : y =kx2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA OB 2(其中O为原点).求k的取值范围.(-1,-1.(3,1)3319直线I:y =kx 1与双曲线C：2x2- y2=1的右支交于不同的两点A、B。(I)求实数k的取值范围；(n)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求 出k的值。若不存在，说明理由。解:(I)将直线I 的方程 y 二 kx 1 代入双曲线 C 的方程 2x2- y2= 1 后,整理得则Xl+X2=6kmTak2，X0=Xl+X23 kmTak2，yo=kxo+m=m213k由题意,AB丄MN,kAB=3km13k2-k(2Qm丰0)整理得3k2=4m+1(k2-2)x22kx 2 =0. 依直线解得 k 的取值范围是-2 k02k门为X22: 01 -k2-21 -k2解得一、2 k：1 k 2：k.63 -k2k或k，但2：k：-174k故直线AB的方程为x y 022三三. 三三一二二设C x