行进中的数学(第二课时)

1、第第一章：代一章：代数的发展数的发展行进中的数学行进中的数学2.1 数的表示 历史上数的表示由繁至简经历了非常漫长的过程。历史上数的表示由繁至简经历了非常漫长的过程。 中国甲骨文数字，罗马数字，玛雅数字是不同地中国甲骨文数字，罗马数字，玛雅数字是不同地域的数的表示法。域的数的表示法。 阿拉伯数字则是阿拉伯数学家花拉子米在印度游阿拉伯数字则是阿拉伯数学家花拉子米在印度游学后向西方推广的，最终在补充了学后向西方推广的，最终在补充了”0 0”之后成为之后成为了使用最广的数字表示法。了使用最广的数字表示法。2.2 数的扩充 历史上的数经历了这样的一个扩充过程：历史上的数经历了这样的一个扩充过程：复数复

2、数(加入了虚数加入了虚数)整数整数(加入了负整数加入了负整数)有理数有理数(加入了分数加入了分数)实数实数(加入了无理数加入了无理数)自然数自然数(其实是正整数其实是正整数)非负数非负数(加入了数字加入了数字”0”)提问： 你知道第一次数学危机是因为哪个数的你知道第一次数学危机是因为哪个数的产生而引发的吗？可以说说关于它的故产生而引发的吗？可以说说关于它的故事吗？事吗？3.1 数学符号数学符号的发展跨越了数学符号的发展跨越了1千多年的历史，从第一阶段的千多年的历史，从第一阶段的”文字叙述代数文字叙述代数”(公元三世纪以前公元三世纪以前)到第二阶段的到第二阶段的”简化代简化代数数”(约为公元三世

3、纪到约为公元三世纪到16世纪世纪)最后再到第三阶段的最后再到第三阶段的”符符号代数号代数”。在这其中，丢番图，以及我们熟知的韦达，笛卡尔都做了在这其中，丢番图，以及我们熟知的韦达，笛卡尔都做了巨大的贡献，他们将繁琐的文字表达方式改进为使用巨大的贡献，他们将繁琐的文字表达方式改进为使用x,y,z代表未知量，用代表未知量，用a,b,c代表已知量。代表已知量。 而其他的另外一些学者，则引入了：而其他的另外一些学者，则引入了： 这些我们已经非常熟悉的运算符号，至此，代数这些我们已经非常熟悉的运算符号，至此，代数也走进了她的下一个时代。也走进了她的下一个时代。 , , , ,3.2 代数运算 引入数学符

4、号之后，人们开始对于方程，方程组的叙述做引入数学符号之后，人们开始对于方程，方程组的叙述做到了简约而不简单，而这个极大的简化也正式将代数运算到了简约而不简单，而这个极大的简化也正式将代数运算推上了历史的舞台。推上了历史的舞台。 而各种算术中的运算法则在代数运算中的通用性更是大大而各种算术中的运算法则在代数运算中的通用性更是大大的加速了人们对于方程求解这一类在日常生活和科学研究的加速了人们对于方程求解这一类在日常生活和科学研究中占据重要地位的数学问题的研究，最终导致了新的数学中占据重要地位的数学问题的研究，最终导致了新的数学学科的发现。学科的发现。 可以说，数学符号和代数运算不仅仅是一个简单的用

5、符号可以说，数学符号和代数运算不仅仅是一个简单的用符号代替繁琐的文字的过程，而更是与各种数学思想方法一样，代替繁琐的文字的过程，而更是与各种数学思想方法一样，都是人类智慧的伟大结晶。都是人类智慧的伟大结晶。4.1 方程求解 作为中学数学课程中的主要内容的初等作为中学数学课程中的主要内容的初等代数，中心内容之一便是方程理论，而代数，中心内容之一便是方程理论，而作为方程理论中最为基本和重要的方程作为方程理论中最为基本和重要的方程求解问题的一般性结论也是从古至今数求解问题的一般性结论也是从古至今数学家们一直在追寻的。学家们一直在追寻的。4.1.1 多元一次方程组的解法 对于多元一次方程组的问题，睿智

6、的古对于多元一次方程组的问题，睿智的古代数学家们早已给出了解决的办法，代数学家们早已给出了解决的办法，九章算术九章算术中就有专门的一章中就有专门的一章”方程方程”来求解此类问题。运算采用的是被称为来求解此类问题。运算采用的是被称为”遍乘直除遍乘直除”的方法，而这种方法实际上的方法，而这种方法实际上便是现在我们常用解决多元一次方程组便是现在我们常用解决多元一次方程组的加减消元法。的加减消元法。4.1.2 一元二次方程的解法 而我们现在熟知的一元二次方程的求根公而我们现在熟知的一元二次方程的求根公式是由花拉子米在式是由花拉子米在600600年后建立的年后建立的: :2240,2bbacaxbx c

7、xa 而公元而公元3 3世纪，中国数学家赵爽则对于一元世纪，中国数学家赵爽则对于一元二次方程二次方程2xkxc 给出了一个根的公式给出了一个根的公式21(4 )2xkkc4.1.3 一元三次，四次方程的解法三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。卡丹公式卡丹公式(三次方程三次方程)：3( ,; ,0)xpxq p qR p q232333,( )() ,( )()223223xabqqpqqpab方程的解为：方程

8、的解为：含二次项的三次方程可以化为不含二次项的三次方程，只需令含二次项的三次方程可以化为不含二次项的三次方程，只需令其中的其中的x=y+a,其中其中a待定。待定。而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里得出的。而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里得出的。4.1.4 韦达定理和代数基本定理韦达定理是在我们的学习中极其重要的定理，但是完整的韦达定韦达定理是在我们的学习中极其重要的定理，但是完整的韦达定理我们却并不熟悉：理我们却并不熟悉：101100(0)nnnna xa xaxaa韦达定理：对韦达定理：对n次方程，次方程，1,nxx它的它的n个根个根 满足公式：满足公式： 12100312

9、00,(1)niijiijnnijknijkaaxx xaaaax x xx xxaa 而另一个在代数史上占有重要地位的便是代数基本定理：复系数而另一个在代数史上占有重要地位的便是代数基本定理：复系数n次代数方程在复数范围内有次代数方程在复数范围内有n个根。而这两个定理也为代数方程的个根。而这两个定理也为代数方程的理论研究带来了极大的便利。而这之后数学史上最具浪漫色彩的理论研究带来了极大的便利。而这之后数学史上最具浪漫色彩的两位数学家的诞生也揭开了抽象代数神秘的面纱。两位数学家的诞生也揭开了抽象代数神秘的面纱。4.2 抽象代数的萌芽 抽象代数也是人们研究代数方程的产物。抽象代数也是人们研究代数

10、方程的产物。 1818世纪后，人们开始研究高于四次的方程的代数求根的方世纪后，人们开始研究高于四次的方程的代数求根的方法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表论文法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表论文关关于代数方程解的思考于代数方程解的思考，他认为次数不低于五次的方程的，他认为次数不低于五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们的研究工作年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们

11、的研究工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，即抽象代数时代。即抽象代数时代。4.2.1 阿贝尔 厄米特评价阿贝尔：厄米特评价阿贝尔：“他工作中丰富的数他工作中丰富的数学思想可以让数学家学思想可以让数学家们忙碌们忙碌500500年。年。” 他的论文他的论文高于四次高于四次的一般方程的代数求的一般方程的代数求解不可能性的证明解不可能性的证明是代数学发展史上里是代数学发展史上里程碑式的重大突破。程碑式的重大突破。4.2.2 伽罗瓦罗素说，他的死使数学的发罗素说，他的死使数学的发展推迟了几十年。展推迟了几十年。伽罗瓦最主要的成就是提出伽

12、罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。理论。作为这个理论的推论，可以作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、根式不可解，以及用圆规、直尺直尺( (无刻度的尺无刻度的尺) )三等分任三等分任意角和作倍立方体不可能等意角和作倍立方体不可能等结论。结论。( (即三大几何作图问题即三大几何作图问题) ) 4.2.3 抽象

13、代数简述 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵、由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵、变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代

14、数，包含有群、环、伽罗瓦理论、格论等许多分支，并与数学包含有群、环、伽罗瓦理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。学的通用语言。 提问： 你知道证明代数基本定理的第一人是谁吗？你知道证明代数基本定理的第一人是谁吗？ 你还知道哪些高等代数或是抽象代数中的你还知道哪些高等代数或是抽象代数中的数学概念呢？数学概念呢？ 伽罗瓦利用代数方法证明了三大几何作图伽罗瓦利用代数方法证明了三大几何作图问题的不可作给我们什么启发呢？问题的不可作给我们什么启发呢？小结 从古老的算术的纯数字运算发展到如今代