2021版新高考数学一轮复习讲义：第三章第四讲三角函数的图象与性质(含解析)

1、第四讲三角函数的图象与性质1-ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理双基自测也昱遊|_理知识点一周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x+ T)= f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数非零常数 T 叫做这个函数的 周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期正弦函数、余弦函数都是周期函数，_2knk Z, kM0)_都是它们的周期，最小正周期是 2n.知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y= sin xy= c

2、os xy = tan x图象JpLSZTTF定义域x|x Rx|xRn ,.x|x R，且XM+ knk Z值域y1wyw1y1wyw1R单调性在n+2kn,2kn_, k Z上递增；在手2kn号+一 2kn_, k Z上递减在(2k1)n2kn,k Z 上递增：在2kn,(2k +1) d k Z 上递减在(+kn才+ kn,k Z 上递增最值x=子+ 2knk Z) -2时，ymax= 1 ； x=于+ 2knk Z)一 2- 4时，ymin= 一 1x=2knkZ)时，ymax= 1 : x =n+2knkZ)时，ymin= 1无最值奇偶性一奇_偶_奇 _对称性对称中心(kn,0),k

3、Zn小kn+2，0 kZ kn _x.(T，0)，kZ对称轴x=kn+=, kZ_x=knk Z_无对称轴最小正周期2n2nn重兰莹上1 .函数 y= sin x ,nx 0,2 的五点作图法的五个关键点是(0,0)、匸,1)_、_(n0)_、_(3n，-1)_、_(2n0)_._. .n函数 y= cos x, x 0,2 血五点作图法的五个关健点是_(0,1)_、_(2, 0)_、_(n2 .函数 y= sin x 与 y= cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，如 y= cos x 的对称轴为 x= knk Z),而不是 x= 2kn：k Z).nn3

4、 .对于 y = tan x 不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kn?,kn+ ?)(k Z)内为增函数.题组一走出误区1 .(多选题)下列命题错误的是(ABC )A . y = sin x 在第一象限是增函数B .正切函数 y= tan x 在定义域内是增函数C.y= sin |x|是周期为n的函数D.y = cos x, x (0,4n不是周期函数题组二走进教材2.(必修 4P45T3 改编)函数 y= tan 2x 的定义域是(D )A . xX丰kn+ n，k ZB . x|x丰号+ 才,k ZC.x|x丰kn+ n，kZD.X|XM号+ kZnkn nkn解析由2XMkn

5、+2, k Z,得XM + 4, k Z ,所以 y= tan 2x 的定义域为x|x丰+n4, k Z.3.(必修 4P40T4 改编)下列关于函数y= 4sin x, x n n的单调性的叙述，正确的是、_(3nn-0)(2n1)(B )A .在n0上是增函数，在0 ,n上是减函数B.在n，n上是增函数，在nn及【n，n上是减函数C. 在0 ,n上是增函数，在n0上是减函数nnn nD.在运，n及n 2上是增函数，在2，刁上是减函数n n. .n n解析函数 y= 4sin x 在n刁和【2，n上单调递减，在2, ?上单调递增.故选 B.4.(必修 4P38T3 改编)函数 y= 3 2c

6、os (x+的最大值为_5 ，此时 x=乎+ 2kn*Z).nn3n解析函数 y= 3 2cos (x+ 4)的最大值为 3+ 2 = 5，此时 x + 4=n+2kn,k Z ,即 x=+ 2kg Z).题组三考题再现5.(2019 全国卷n,5 分)下列函数中，以 2 为周期且在区间(才，上单调递增的是(A)A . f(x) = |cos 2x|B . f(x) = |sin 2x|C. f(x) = cos xiD . f(x) = sin |x|解析A 中，函数 f(x) = |cos 2x|的周期为n，当 x (扌，n时，2X(才，力，函数 f(x)单调_. .nn nn递增，故 A

7、 正确；B 中，函数 f(x) = |sin 2x|的周期为 2,当 x (4,刁时，2x (?,n,函数 f(x)单调递减，故 B 不正确；C 中，函数 f(x) = cos x|= cos x 的周期为 2n故 C 不正确；D 中，f(x)sin x, x 0,=sin |x|=由正弦函数图象知，在x 0 和 x0 时，f(x)均以 2n为周期，但在sin x, x0,整个定义域上 f(x)不是周期函数，故D 不正确，故选 A .6.(2019 全国卷I,5 分)关于函数 f(x)= sin |x|+ |sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间 g,n上单调递增f(x)在

8、n, n有 4 个零点f(x)的最大值为 2其中所有正确的结论的编号是(C )A.B.C.D.解析方法一：f( x) = sin | x|+ |sin ( x)| = sin |x|+ |sin x|= f(x),：f(x)为偶函数，故正确；当 2xn时，f(x)= sin x+ sin x = 2sin x,.f(x)在(？,n上单调递减，故不正确；f(x)在n n的图象如图所示，由图可知函数f(x)在nn只有 3 个零点，故不正确；Ty= sin |x|与 y = |sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，二 f(x)可以取到最大值 2，故正确.综上，正确结论的序号是故选 C.方法二

9、： f( x)= sin | x|+ |si n ( x)| = sin |x|+ |sin x|= f(x),.f(x)为偶函数，故正确，nn排除 B ;当 2x 0，得 sin x?,作出单位圆与直线y = ?的交点，可知 2kn+5nWxW2kn+S(kZ).故选 B.rn ,当 x 0, 时,n n _2x 6 6，百,sin (2x g) 2，1,n3故 3sin (2x & , 3,3即此时函数 f(x)的值域是2，3.(3)f(x) = 1 cos2x+ 3cos x 4= cos2x+订 3cos x+ 4=所以 cosx 0,1，所以当 cos x=名师点拨？三角函数

10、定义域、值域的求解策略求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，可借助三角函数线或 三角函数图象或借助单位圆求解.三角函数的值域或最值的求法：对于形如y= asin x+ bcos x 的函数求最值，通过公式化为 y= ,a2+ b2sin (x+ )的形式，借助三角函数的图象求最值(值域)；对于形如 y= Asin2x+ Bsin x + C 函数求最值，一般通过换元法求解(使用换元法时要注意新元的取值范围).师生共研2nn解析(1)f(x)= 3sin(3 2x) = 3cos (g 2x)=乜2r、rn(cos x 2 ) + 1,因为 x 0, 2】,考点二三角函数的单调

11、性2(1)(多选题)(2020 山东泰安第二次段考2n)函数 f(x) = 3sin (石2x)的一个单调递增区间是(AD )7nA.12,13n12nB .祛7n12，函数取得最大值 1.D 12，12(2)(2020 洛阳模拟)已知30，函数 f(x)= sin (x+在(扌，n上单调递减，则3的取值范围是(A )15A.2, 4(0,23cos (2x令 2kn n2x2knk1 32，4nnnnZ,解得 kn12 xwkn+12，k Z.所以函数 f(x)的增区间为 kn乜，k 计乜,k 乙令 k= 0,1,可得选项 AD 正确，故选 A、D (2)由扌xn得扌3+n3x+n0)的单调

12、区间时，要视“wx+为一个整体，通过解不等式求解但如果w0,那么一定先借助诱导公式将w化为正数，防止把单调性弄错图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解如某些含绝对值的三角函数注：正、余弦型单调区间长度为半周期.(2) 已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.变式训练 1n(1)函数 f(x) = tan(2x )的单调递增区间是(B )kn nkn5nA 3 12, 2+12】(k Z)kn nkn5nB(7-12，7+初(kZ)n ., 2nC.(kn+6，kn+)(kZ)n .5nDkn石，kn+袒(kZ)(2)(2018 课标全国n，

13、10)右 f(x)= cos x sin x 在0，a上是减函数，则实数 a 的最大值是(C )AnBn423nC 4D n解析(1)由 kn n2x 30,3n3na 上是减函数，所以n解得 00)的最小正周期为n则该函数的图象AD )nA 关于点(3，0)对称B .关于直线 x= 4 对称nC.关于点(4，0)对称nD .关于直线 x= 12 对称解析由 T=冗知3=罕=2； = 2,n所以函数 f(x) = sin (2x + 3).3函数 f(x)的对称轴满足 2x+n= n+knk Z),解得 x= 12 +Z);n函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x+ 3 = knk Z),

14、3解得 x=n+kn：kGZ).故选 A、D .名师点拨？(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y=n4.例 4 已知函数 f(x)= sin (x+0)+3cos (x+ B),氏-nn2是偶函数，贝 y 0 的值为C.n解析因为 f(x)= 2sin (x+n+ 0是偶函数，所以3+0=2+ kn,即0=6+ kn(k Z)，又因角度 3对称性Asin(3x+或 y=Acos (wx+2 冗、n册或 y= Atan( (3X+$)(A,W,$为常数，心0 的形式，再分别应用公式T = 或 T = 求解.|3|3|三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，

15、对y= Asin(WX+妨代入 x = 0，若 y= 0 则为奇函数，若 y 为最大或最小值则为偶函数.若y = Asin (WX+妨为n奇函数，贝 U 片 knk Z)，若 y = Asin (WX+妨为偶函数，贝 U$=空+ kMk Z).求函数 y= Asin(WX+妨的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题.1vy= sin x 的对称中心是(kn, 0), (k Z),.y= Asin (WX+的对称中心，由方程WX+$= kn解出 x=W，故对称中心为(W0)(k Z).n2/ y= sin x 的对称轴是 x= kn+, k Z,n .n .kn+2_ kn+2_ WX+= k

16、n+ n解军出 x=-，即 x=-为函数 y= As in (WX+的对称轴方程.2WW3函数 f(x)= Asi n(WX+)(A,W,为常数，A丰(图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线 x= xo或点(xo,O)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(xo)的值进行判断.k 冗注意 y= tan x 的对称中心为 Q， 0)(k Z).变式训练 2(1) (角度 1)(2019 北京，5 分)函数 f(x)= sin22x 的最小正周期是 二_(2) (多选题)(角度 2)下列函数中，最小正周期为n的奇函数是(BD )nA .

17、 y = sin (2x + ?)nB. y= cos (2x+ 2)C. y= sin 2x+ cos 2xnnD. y = sin(2x_ 4)+ cos(2x ：)21cos 4x2n n解析f(x)= sin22x =，：f(x)的最小正周期 T =：= (3) (角度 3)(2018 江苏)已知函数 y= sin (2x+ )( j的图象关于直线 x=对称，则的值是_产.6nn(2) y= sin (2x+ )= cos 2x 是偶函数，不符合题意.y= cos (2x+ 2)= - sin 2x 是 T =n的奇函数，符合题意，同理C 不是奇函数，D 为 y= ,;2sin 2x，

18、故选 B、D .2n2nnn. -n n(3) 由题意可得 sin (3+0) =，所以3+ 片 2+kn片一 6+ knk Z),因为一 2,nn所以 k= 0,(j)=6*故填一 6*MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升三角函数的值域与最值2si n x+ 11y=五21的值域为一1_.n函数 f(x) = 2sin xsin (x+6),当 x 0,y= sin x+ cos x sin xcos x 的最小值是 ( A )B 1+ .2D.22si n x+ 15解析(1)解法一：y = 2 +sin x 2 sin x 255由于一

19、1wsin x 1,所以一 5W三一；，sin x 231函数的值域为3, 3.2sin x+ 12y+ 1解法二：由 y=，解得 sin x=sin x 2y 21wsin x1,2y + 11312H 一cos 2xsin 2xn(2)f(x)= 2si n x(s in x+?cos x)= . 3s in2x+ sin xcos x=2+ 2- = sin (2x 3)i 例 6(1)函数，函数 f(x)的值域为_0 ,函数 y=仝哑的值域为3+ cos x0,34_.若 x 是三角形的最小内角，则函数A - 2+2C. 1 1ww1,解得3 ywy 231函数的值域为3, 3.3+兀

20、、sin (2x 3) -23, 1 2+3f(x) 0 ,厂.1 + sin x(3)解法一：由 y=得 sin x-ycos x= 3y 1,3 + cos x3y 1/sin (x+ =、1 +、1 + sin x解法二：可理解为点 P( cos x, sin x)与点 C(3,1)连线的斜率，点 P( cos x,3+ cos xsin x)在单位圆上，如图所示.1 + sin x故 t=满足 kcAWtwkcB,设过点 C(3,1)的直线方程为 y 1 = k(x 3)，即 kx y+13 + cos x3k= 0.|1 3k|33由原点到直线的距离不大于半径1，得-w1，解得 0w

21、kw-.从而值域为0,-.Jk2+144n(4)由条件知 0 xw-,令 t = sin x+ cos x= ,2sin (x + 4),又 0 xw扌，拖+；wg,得 1tw,2;Tx0,n2】，n n2n2x33，亍,7ty其中 sin1 +3y 1F|w1，解得i cos 片 .；1 + y22t2 1又 t = 1 + 2sin xcos x, 得 sin xcos x= ?,t2 111得 y= t丁 =夬1)2+1,则+ .2 y1,1所以函数的最小值为一 2+ ,2故选 A .名师点拨？求三角函数值域或最值的方法(1)y= asin x+ b(或 y= acosx+ b)的值域为|a|+ b, |a|+ b.（2）y= asin2x + bcos x + c 可转化为关于 cos x 的二次函数，求在给定区间上的值域（或最值）即可.22利用二倍角公式辅助角/22(3)y=asin x+bsin xcos x+ccosd降幕整理y=Asin 2x+Bcos 2x公式y=* A+B sin (2x+妨，再利用 sin （2x +妨的有界性求解，注意 2x+ $的取值范围.asi n x+ bacos x+ b(4)y=