四年级奥数知识点(上)教程文件

1、四年级奥数知识点(上)第一讲第一讲 加减法的巧算速算加减法的巧算速算【例题【例题4】计算：1.248+（152127） 2. 324（12497）【思路思路】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。 我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。1.248+（152127） 2.324（12497）=248+152127 =324-12

2、4+97=400127 =200+97=273 =297 【例题【例题5】计算下面各题。（1）286+879679 （2）812593+193 【思路】【思路】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。变号。小结：加减法的巧算速算共5种典型题型种典型题型一是一是减整法减整法二是二是选定基数法选定基数法三是三是调换运算顺序法调换运算顺序法四是四是去括号法去括号法五是五是添括

3、号法添括号法练习：练习：【练习【练习1】1.99999+9999+999+99+9 2.9+98+996+9997 3.1999+2998+396+497 4.198+297+396+495 5.1998+2997+4995+5994 6.19998+39996+49995+69996.【练习【练习2】1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.【练习【

4、练习3】1.1208569208 2.283+691833.13285+68 4.2318+6251318+375 【练习【练习4】1.348+（252166）2.629+（3201293. 462(262129) 4. 662(315238) 5.5623(623289)+452(3522116.736+678+2386(336+278)186【练习【练习5】1.368+18598592.582+3932933.632385+285 4.27562748+1748+2445.612375+275+（388+2866.756+1478+346（256+278）246第二讲第二讲 乘除法的巧算速

5、算乘除法的巧算速算奥数知识奥数知识： 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变通过对算式适当变形，形，将其中的数转化成整十、整百、整千化成整十、整百、整千的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算一些数变得易于口算，从而使计算简便。【例【例1】计算32525。 【思路】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。 32525 =（3254）（254） =1300100 =13【例【例2】计算2512548 【思路】经过仔细观察可以发现：在这道连乘算

6、式中连乘算式中，如果先把先把25与与4相乘相乘，可以得到100；同时把把125与与8相乘相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律乘法交换律和结合律使计算简便。 2512548 =（254）（1258） =1001000 =100000【例【例3】计算（1）（360+108）36 （2）（45075）15 【思路】两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数【思路】两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。 利用这一性质，可以使这道题计算简便。（1）（360+1

7、08）36 （2）（45075）15=36036+10836 =450157515=10+3 =305=13 =25【例【例4】计算15861793。 【思路】【思路】在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置调换因数或除数的位置。 15861793 =15879613 =2613 =366【例【例5】计算下面各题。（1）1239616 （2）200（254） 【思路】【思路】这两道题都是乘除混合运算乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点，采用加括号加括号或去括号去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以

8、概括为：概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。括号要变号。（1）1239616 （2）200（254）=123（9616） =200254=1236 =84=738 =32 小结：乘除法的巧算速算乘除法的巧算速算常用常用3种方法：种方法：一是同时扩大（缩小）除数与被除数倍数凑整一是同时扩大（缩小）除数与被除数倍数凑整二是调换运算顺序凑整二是调换运算顺序凑整三是去括号（添括号）三是去括号（添括号）【练习【练习 1】 1.45025 2.525253.3500125 4.100006255.9000225 【练习

9、【练习2】1.12515842.253.255641254.1252532 5.7516 6.12516【练习【练习3】计算下面各题。1（720+96）24 2（450090）45388118947336+10536+146365（10000100010010）10 【练习【练习4】1.238361195 2.624483128 3.138276950 4.406312104203【练习【练习5】计算下面各题。1.612366183 2.1000（1254）3.（13856）（456）4.241345678345（678241） 第三讲 小数巧算知识点拨一、基本运算律及公式一、基本运算律及公式

10、一、加法一、加法加法交换律加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：abba其中a，b各表示任意一数例如，788715.总结：总结：多个数相加，任意交换相加的次序，多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变其和不变加法结合律：加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。即：abc（ab）ca（bc）其中a，b，c各表示任意一数例如，568（56）85(68).总结：总结：多个数相加，也可以把其中的任意两多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。个数或者多个数相加，其和不变。二、减法二、减法在连

11、减或者加减混合运算中，如果算式中没没有括号，有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”例如：abcacb，abcacb，其中a，b，c各表示一个数在加减法混合运算中，去括号时：去括号时：如果括号前面是“”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“”变为“”，“”变为“”如：a（bc）abca（bc）abca（bc）abc在加、减法混合运算中，添括号添括号时：如果添加的括号前面是“”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“”，那么括号内的数的原运算符号“”变为“”，“”变为“”。如：abca（bc）abca（b

12、c）abca（bc）二、加减法中的速算与巧算二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1 1、 分组凑整法分组凑整法把几个互为“补数补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数“补数补数”就是就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千，就把其中的一个数叫做另一个数的，就把其中的一个数叫做另一个数的“补补数数”2 2、加补凑整法、加补凑整法有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整3 3、数值原理法、数值原理法先把加在一起为整十、整百、整千的数相加，然后

13、再与其它的数相加4 4、“基准数基准数”法，法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例题精讲模块一：分组凑整思想模块一：分组凑整思想【例例 1】 91.8 186.7 89.6 270.4 90.2 88.8 91.5【巩固巩固】 2006200.620.062.00699499.49.940.994【例例 3】 计算计算 56.4312.9613.574.338.965.67模块二、加补凑整思想模块二、加补凑整思想【例例 5 5】 (1) 0.99999(1) 0.99999 0.99990.9999 0.9990.999

14、0.990.99 0.90.9(2)199.8(2)199.8 19.9719.97 1.9961.996(3)999999999.7(3)999999999.799.799.7 9.79.7 0.7 0.7【巩固巩固】（1 1） 9.9969.99629.9829.98169.9169.93999.53999.5（2 2） 8989899899899989998999989999899999899999模块三、位值原理模块三、位值原理【例 7】924.68724.68524.68324.68 124.68 模块四、基准数思想模块四、基准数思想 【例 8】 计算 0.999990.99990.

15、9990.99 0.9 【巩固】 199.819.971.996第四讲 体育比赛中的数学问题一、一、知识点总结知识点总结1.单循环赛：单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。（通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）2.双循环赛：双循环赛：每两个队都要比赛一场，有主客场之分。 （每个队和同一个对手交换场地赛两次） 一共比赛场数=（人数-1）人数3.淘汰赛：淘汰赛：每两个队用一场比赛定胜负，经过若干轮之后，最后决出冠军。 （每场比赛输者打包回家） 二、二、做题方法做题方法 1.点线图点线图 2.列表法列表法 3.极端性分析极端性分析-根据个人比赛场数，猜个人最高分根据得分，猜“战况

16、” 例题分析例题分析 例题例题1：三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，每个班赛几场？一共要进行多少场比赛？ 解析解析：除了不和自己赛，和其他班都要赛，所以每个班赛4-1=3场。 一共进行的场数：342=6场 练习练习1：每个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几个学校参加比赛？ 解析解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+7=287+1=8个方法二：（人数-1）人数=282=5678=56，所以为8人例题例题2：20名羽毛球运动员参加单打比赛，淘汰赛，那么冠名羽毛球运动员参加单打比赛，淘汰赛，那么冠军一共要比赛多少场？解析：军一共要比赛多少场？解析：第一轮：202=10（场）

17、，10名胜利者进入下一轮 第二轮：102=5（场）， 5名胜利者进入下一轮第三轮：52=2（场）.1人，3名胜利者进入下一轮第四轮：22=1（场） 胜利者和第三轮中剩下的一人进入下一轮比赛第五轮：22=1（场）冠军一共参加了5场比赛。决出冠军决出冠军一共要比赛的场数：一场比赛淘汰一人，除了冠军不被淘汰：20-1=19场 例题例题3：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛象棋，单循环比赛，A已经赛了4盘，B已经赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，此时E赛了几盘？ 解析：解析：利用点线图 例题例题4：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛乒乓球，单循环比赛，胜者得2分，负者不得分，比赛结果如下：(1)A

18、与E并列第一 (2)B是第三名 (3)C和D并列第四名求B得分？解析：解析：根据个人比赛场数猜最高分每人比赛4场，全胜得8分，有并列第一，就没有全胜，所以不可能得8分；有并列倒数第一，所以没有全败，没有0分；而每个人得分是个偶数，在0和8之间的偶数只有2,4,6，三个分数，三个名次，所以B得4分 学案学案5：四名同学单循环比赛，胜者得2分，负者得0分，平者各得1分。已知甲乙丙三人得分分别为3分，4分，4分，且丙无平局，甲有胜局，乙有平局，那么丁同学得分？解析：解析：共比赛场数 342=6场每场比赛两人共得2分，6场比赛共得62=12分所以丁得分12-2-4-4=1分第第五五讲讲 整除整除概念复

19、习：约数：约数：整数a除以整数b(b0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。如：4是2的倍数，2是4的约数。公约数：公约数：亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；如：3是6和9的公约数；30和40，它们的公约数有1，2，5，10。最大公约数：最大公约数：公约数中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。如30和40，它们的最大公约数是10。互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。称两数互质。 整除的特性：整除的特性：一、看一、看末末位：位：能被能被2整除的特征

20、：整除的特征：如果一个数的个位数个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。能被能被5整除的特征：整除的特征：如果一个数的个位数个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。能被能被4（或（或25）整除的特征：）整除的特征：如果一个数的末两位末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。能被能被8（或（或125）整除的特征：）整除的特征：如果一个数的末末三三位位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。二、看二、看数字和数字和：能被能被3（9）整除的特征：整除的特征：如果一个数的各位数字之各位数字之和和能被3（9）整除，那么这个数能被3（9）整除。能被能被99整除的特征：

21、整除的特征：如果一个数从右向左两位两位和能被99整除，那么这个数能被99整除。能被能被999整除的特征：整除的特征：如果一个数从右向三位三位和能被999整除，那么这个数能被999整除。三、看数段差三、看数段差 能被能被7（11/13）整除的特征：整除的特征：如果一个数奇数位上奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）（大数减小数）能被7（11/13）整除，那么这个数能被7（11/13）整除。 当一个多位数中有一个或几个数字用字母表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如， 表示这个三位数的百、十、个位依次是3，a，

22、5；例例1：判断下列各数是否能被3整除：2574，38974，587931例例2：六位数 能被3整除，字a=？解：解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，5或8。例3：已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或146520例例4： 在四位数562中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？ 解：如果如果

23、56562 2能被能被9 9整除整除： 那么56213应能被9整除， 所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除； 如果如果56562 2能被能被8 8整除整除： 那么62应能被8整除， 所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除； 如果如果56562 2能被能被4 4整除整除： 那么2应能被4整除， 所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。数的整除具有如下性质：数的整除具有如下性质：性质性质1： 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数

24、整除数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质性质2： 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性质性质3 ：如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9763整除。根据整除

25、的性质根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被判断一个数能否被6整除，整除，因为623，2与3互质，所以如果这个数既能被这个数既能被2整除又能被整除又能被3整除整除，那么根据整除的那么根据整除的性质性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。例例5：要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？【发散思维】由于18ABC6能被36整除，36=49，且4和和9互质，互质，所以这个6位数既能被既能被4整除又能被

26、整除又能被9整除整除。 再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。【解题步骤】18ABC6能被4整除，则C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。 18ABC6能被9整除，则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。 要使所得的商最小，就要使18ABC6尽可能小，即ABC尽可能小，因此首先A尽可能小，其次B,最后C尽可能小。 先试取A=0，此六位数之和为15+B+C,欲使B+C尽可能小，而且15+B+C能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。则C=3,B=0.当A=0,B=0,C=3时，此六位数能被36

27、整除，而且所得的商最小，为18003636=5001。例例6： 五位数 能被72整除，A与B各代表什么数字？分析与解分析与解：已知 能被72整除。因为7289，8和9是互质数，所以 既能被8整除，又能被9整除。根据能被根据能被8整除的数的特征，整除的数的特征，要能被8整除，那么末三位数末三位数 能被能被8整除，整除，由此可确定B6。再根据能被被9整除的数的特征整除的数的特征（各位数字之和能被各位数字之和能被9整除整除），即：A329BA3f296A20，能被9整除因为lA9，所以21A2029。在这个范围内只有27能被9整除，所以A7。解答例4的关键关键是把72分解成89，再分别根据能被8和9

28、整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上解题顺序上，应先确定应先确定B所代表的数字所代表的数字，因为因为B代表的数字不受代表的数字不受A的取值大的取值大小的影响，小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。 【巩固练习】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能得小。解：假设这个数为865ABC，因为能被5整除，所以C为0或5 因为能被4整除，所以末两位末两位BC数能被4整除，当C为0时，B为2、4、6、8；当C为5时，B没有取值，所以，C只能为0； 因为能够被3整除，所以各位数字之和各位数字之和能被3整除，即，即8+6

29、+5+A+B+C能被3整除。8+6+5+A+B+C=8+6+5+A+B+0=19+A+B当B为2时，19+A+B=21+ A，所以A为0、3、6、9；当B为4时， 19+A+B=23+ A，所以 A为1、4、7当B为6时， 19+A+B=25+ A，所以 A为2、5、8当B为8时，19+A+B=27+ A，所以 A为0、3、6、9因为要求这个数值尽可能的小，所以A、B、C要尽可能的小，所以： A=0，B=2，C=0，所以这个数为：865020例例7：要使六位数 能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？分析与解：分析与解：因为3649，且4与9互质，所以这个六位数 应既能被4

30、整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要 能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使 这个六位数 尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数 的各位数字之和为12BC。它应能被9整除，因此BC6或BC15。因为B，C应尽量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使 尽可能小，应取B1，C5。当A=0，B=1，C5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156364171。 例例8： 判断七位数1839673能否被11整除。分析与解分析与解：奇数位上的数字之和为1363=13，偶数位上的数字之和为897=24，因

31、为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根据能被根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以整除的数的特征，也能求出一个数除以11的的余数。余数。一个数除以一个数除以11的余数，与它的的余数，与它的奇数位上的数字之和奇数位上的数字之和减去减去偶数位上的数字之和偶数位上的数字之和（大数减小数大数减小数）所得的所得的差差除以除以11的余数相的余数相同同。 例例9：求 除以11的余数。 分析与解分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。（9100-1101）11=79911=727，11-7=4，所求余数是4。 例10：六位数 能被33整除，求A+B。 分析与解分析

32、与解： 由33=311，且3与11互质，所以六位数 既能被3整除又能被11整除。 因为能被3整除， 所以5+A+6+3+4+B=18+A+B能被3整除， 所以：A+B可以为0、3、6、9、12、15、18 因为能被11整除，所以（A+3+B） -（5+6+4）= （A+B）-12能被11整除。 如果（A+B）12能被11整除，则A+B可以为12、23. 因为A+B小于20，所以A+B=12试除法和数字谜法试除法和数字谜法：当末尾数末尾数不知道，用试除法试除法。当前边或中间数前边或中间数不知道，用数字谜法。数字谜法。例例11：9 是12的倍数，求这个数的末位？解：设解：设 =9，则，则9912=

33、8.3，99-3=96，则 =6例例12：如果：如果2 能被能被79整除，求这个数的末两位？整除，求这个数的末两位？解解1：设这个数为：设这个数为299，则，则299 79=3.62，299-62=237,这个数的末两位为这个数的末两位为37.解解2：设这个数为：设这个数为200，则，则200 79=42，200+（79-42）=237例例13：能同时被：能同时被7、17整除的最大和最小四位数是多少？整除的最大和最小四位数是多少？解（一）设这个数为9999：则：9999 7=1428.3，说明能被7整除的最大四位数是9999-3=9996，那么9996-n 7都能被7整除，依次为9989、99

34、82、9975.9999 17=576.7，说明能被17整除的最大四位数是9999-7=9992，那么9992-n 17都能被17整除，依次为9975、9958、9941. 综上，能同时被7、17整除的最大四位数是9975。（二）设这个数为1000：则1000 7=142.6，说明能被7整除的最小四位数是1000+（7-6）=1001，那么1001+n 7都能被7整除，依次为1008、1015、1022、1029、1036、1043、1050、1057、1064、1071、1078.100017=58.14，说明能被17整除的最小四位数是1000+（17-14）=1003，那么那么1003+n

35、 17 都能被都能被17整除，依次为整除，依次为1020、1037、1054、1071.。综上，能同时被7、17整除的最小四位数是1071 例14：一个五位数的末三位为999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？（数字谜法）（数字谜法） 解：设这个五位数数为 999。 999除以23，可以是四位数或三位，因为求最小值，所以，商为三位数，设为 ，则得竖式： 2 3 9 9 9 根据上图计算，这个五位数为25999第第六六讲讲 列方程式解应用题列方程式解应用题一一、 解简易方程解简易方程 什么是方程？什么是方程？首先，它是一个等式（用等号连接的式子）。例如：X+2=7 这里的x是我们

36、要求的数，在没有求出之前我们还不知道x是多少，称它为未知数。未知数。 像上面的“含有未知数的等式含有未知数的等式”叫叫做方程。做方程。 求方程的未知数的值（叫做方程的解）的过程叫做解方程。解方程。 使得方程的左右两边都相等的未知数的值称之为方程的解方程的解。 二、二、等式的基本性质等式的基本性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式. 【例】下列各式，属于方程的是？ （1）68-3.4=-x （2） 5x-3.61.2 (3)x3.2=6 (4) 0=x (5)x+y=5 (6) 6(x-2)7 (7) 2.3(1-1.5

37、)x=x+x 【例】解方程。 6x+5-7=16 40.9-4x=1.2 600（15x）=200 x62.5=1.1 三三、解解方程的一般步骤方程的一般步骤 （一）（一）把一个数从方程的一边移动到另一边，要改变符号把一个数从方程的一边移动到另一边，要改变符号（加变减，减变加， 乘变除，除变乘）。 10-3x=4 3x-5+2x+4=14 45-6x+9x=15 7x+18-6x+12=60 （二）（二）有多个未知数的方程，要把含有未知数的部分移动有多个未知数的方程，要把含有未知数的部分移动到方程的同一边，不含有未知数的部分移动到方程的另一边。到方程的同一边，不含有未知数的部分移动到方程的另一

38、边。 3x+5=6x-10 5x-8=16-3x 20-4x=x+5 16-2x=46-8x （三）（三）有括号的先打开括号有括号的先打开括号（原则：乘法对加减法的分配律）。 2(4x+3)=x+1 3(2x-3)=2 2x-3(4x-9)=x-6 括号前面的乘号可以省略括号前面的乘号可以省略 ：2(2x+7)=5-4(x-1)+21 四四、 列列方程解应用题的一般步骤是方程解应用题的一般步骤是（五步）（五步） 弄清题意，找出已知条件和所求问题； 设未知数x，依题意确定等量关系； 根据等量关系列出方程； 解方程； 检验检验，写出答案。 【例】已知一个三角形的面积是40平方厘米，它的高时8厘米，

39、请问高所在的底边长多少？ 【解析】1 1、已知两个条件：、已知两个条件：三角形面积=40平方厘米，高=8厘米。求一个量：求一个量：高所在的底边长？2、依题意确定等量关系：、依题意确定等量关系：三角形面积公式：面积=底边长高；设未知数设未知数x：设高所在的底边长为x厘米： 底 高 2 = 三角形面积 设为X 8厘米 40平方厘米3、列方程：、列方程：40=x 8 24、解方程：、解方程：x=10（厘米）（厘米）5、检验、检验，把x=10带入方程，看等式两边是否相等。6、写答案、写答案：答：答：高所在的底边长高所在的底边长为为10厘米。厘米。* *红字为解题过程红字为解题过程六六、方程解应用题方程

40、解应用题与与算术解应用题算术解应用题的联系与区别的联系与区别 联系：联系：都是以四则运算的意义，相互关系以及常见的数量关系为基础和依据的 区别区别：1、解题思路不同。、解题思路不同。列方程解应用题，列方程解应用题，以字母“X”代替未知数, 按题中的等量关系, 使字母“X” 直接参与列式计算；而算术解时而算术解时, 未知数处于特殊的地位, 不能直接参加运算,只根据已知条件和问题间的数量关系直接用已知数量列出算式。例3：一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是20厘米，高是多少厘米？如果本例用算术解，就属于逆向思考的问题逆向思考的问题，从而使学生思考困难，会出现不应有的错误。这时，应利用三角形的

41、面积计算公式列出方程求解。2 2、解题的步骤与方法不同。、解题的步骤与方法不同。列方程解应用题列方程解应用题是利用等式的性质进行计算，而算术解主要通过四则运算及其定律进行计算。比如上面例3就可用方程解：20X2100；算术解算术解则就是100202。3 3、难易程度不同。、难易程度不同。算术法算术法比较曲折、间接、不大容易掌握。而方程解则比较简明、清晰、容易掌握。在小学的应用题教学中，即使学了方程解法，也不宜用其完全代替算术解法。例4：买3张桌子和4把椅子一共用了308元。每把椅子32元，每把桌子多少元？ 本例是逆向思考的题目，如果用算术方法来想，解题思路和列式就很难。如果把每张桌子的价钱用X

42、表示，进行顺向思考，按照数量间的相等关系列方程就比较容易。 桌子 椅子 总数个数 3 4 每个的钱数 设为X 32 花费总数 3X + 324 = 308 七、七、设未知数的方法。设未知数的方法。列方程解应用题，首先要设未知数X, 是关键。一般来说，设未知数有两种方法：设未知数有两种方法：1.直接设未知数直接设未知数。题目问什么（求什么）就设什么。题目问什么（求什么）就设什么。例5：少年宫合唱队有64人，比舞蹈队人数的2倍多16人，舞蹈队有多少人？这题就直接设题目中问什么，即设舞蹈队人数有x人。根据题目的意思，列出方程：2X1664。2 2、间接设未知数。、间接设未知数。用间接法求出的用间接法

43、求出的X X并不是题目要求的结并不是题目要求的结果，求出果，求出X X后，还要根据题目中的数量关系求出题中要求的未后，还要根据题目中的数量关系求出题中要求的未知量。知量。例6：果园里桃树和杏树一共180棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？这例要求的未知数有两个未知数有两个，有很多的同学就会直接设桃树 和杏树各有X棵。这样设的话，就显得模棱两可的，不知道到底是设哪一个量。如果设杏树为X棵，就会给列方程和解方程带来困难。间接设桃树为X棵, 就显得容易多了.八八、正确分析数量关系，掌握列方程解应用题的思路和途、正确分析数量关系，掌握列方程解应用题的思路和途径。径。列方程解应用题的思路和

44、途径是多种多样的：。1.利用利用数形结合找等量关系列方程数形结合找等量关系列方程。在感知应用题情景的基础上，画出示意图，采用数形结合的方法分析数量关系，实际上使视觉参与了解题过程，它能直观地再现题目的数量关系，便于列出方程。例：同学们种向日葵，四年级种的棵数是三年级的3倍，还知道四年级比三年级多种128棵，问两个年级各种多少棵？解：设三年级种X棵，那么，四年级种3X棵。三年级：X 四年级：3X可列出方程： 3XX128 2 2、借助数量关系，找出等量关系列出方程。、借助数量关系，找出等量关系列出方程。在小学数学中，数量关系很多，比如面积、体积公式；常见的“三量”关系（单价数量总价、），几何图形

45、的特征等。根据数量关系就可列出方程。例8：已知：137、263。求：3？。这题就根据“任意三角形的内角和是180”这个特征来列出一个方程：3763X180，这样既简单又明了。九、直接设未知数解应用题九、直接设未知数解应用题例1：长方形周长是66厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？ 周长 = 2 （ 长 + 宽） 66厘米 X+3厘米 设为X厘米解：依题意设长方形的宽是x厘米，则长方形的长3+x（厘米） 则：（3+x）+x 2=66 6+4x=66 4x=60 x=15（厘米） x+3=18（厘米） 答：长方形的长18厘米，长方形的宽是15厘米例例2：某八位数形如 2abcdrf

46、g ，它与3的乘积形如abcdrfg4，则七位数abcdrfg 应是 ？解：设abcdrfg =x则：2abcdrfg =20000000+ abcdrfg = 20000000+x abcdrfg 4 =10 abcdrfg + 4=10 x+4 依据题意列方程： 3 （20000000+x）= 10 x+4 60000000 + 3x = 10 x+4 59999996 = 7x x = 8571428答：七位数abcdrfg 应是 8571428。 例3：有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数。解：设最小的那个数为X ，那么中间的

47、数和最大的数分别为X+1 和 X+2。则 X+2（ X+1 ）+3（ X+2）=68 6X+8=68 6X=60 X=10所以这三个连续整数依次为10、11、12二、间接设未知数二、间接设未知数解应用题解应用题例：平行四边形例：平行四边形ABCD的周长是的周长是80厘米（厘米（cm），以），以AD边边为底时，高为为底时，高为12cm，以，以AB为底边时，高为为底边时，高为20cm，求，求ABCD的面积。的面积。分析：分析：平行四边形的周长是两条邻边之和的2倍，所以：AB+AD=40cm设：AB= Xcm，则AD=（40-X）cm根据平行四边形面积公式，得AB 20=AD 12，则：20X=12

48、（40-X）解得：X=15所以：平行四边形面积=15 20=300（平方厘米）例：小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了求原来每个人各有几个球？设：变动后，每个孩子有X个球 小龙 小虎 小方 小圆 共有原来： X+2 X-2 X2 X2 45个得：（X+2）+（X-2）+（X 2）+（X2）=45解：4.5X=45 X=10所以：小龙有12个，小虎8个，小方5个，小10个。练习：练习：1.已知三个连续奇数之和为为75，求这三个数？2.兄弟二人共养鸭5

49、50只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？3.一人看见山上有一群羊，他自言自语到：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有 只羊”山上的羊群共有_只4.某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？第第七七讲讲 行程问题行程问题相遇问题：相遇问题：所谓相遇问题相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题地作相向运动的问题。基

50、本公式：相遇路程相遇路程=速度和速度和相遇时间相遇时间相遇时间相遇时间=相遇路程相遇路程速度和速度和速度和速度和=相遇路程相遇路程相遇时间相遇时间例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？分析与解答：这是一道相遇问题。根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短64=10千米，这也是两人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米。因此，两人20（64）=2小时后相遇。例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同

51、向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即2000（11090）=10分钟。所以狗共行了50010=5000米。所谓相背问题相背问题是指两个运动的物体作背向运动背向运动的问题。在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立。相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立。例3

52、：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？分析与解答：分析与解答：这是一道相背问题。根据题意，甲乙两人共行的路程应该是5418=36千米，而两人每小时共行75=12千米。要求几小时能行完36千米，就是求36千米里面有几个12千米。所以，3612=3小时。追及问题：追及问题：追及问题的地点可以相同地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同可以不同，但方向一般是相同的方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。根据速度差、距离差和追及时间根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：速度差=快的速度-慢的

53、速度距离差（路程差路程差）=速度差速度差追及时间追及时间追及时间=距离差（路程差）速度差速度差=距离差（路程差）追及时间平均速度=总路程总时间解题的关键是：解题的关键是：在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙？分析与解答：分析与解答：这是一道追及问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）。甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米，甲每小时比乙多行135=8千米（速度差），即甲每小时可以追

54、上乙8千米。所以要求追上乙所用的时间，就是求24千米里面有几个8千米。因此，248=3小时甲可以追上乙。火车行程问题：火车行程问题： 1、火车树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度 解法：总路程 (火车车长)火车速度通过时间；路程路程长长火车车长火车车长2、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长桥(隧道)长度(总路程) 火车速度通过的时间； 火车车长火车车长桥桥长长路程路程长长3、火车人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度 （1）火车迎面行走的人：相当于相遇问题， 解法：路程路程和和 (火车车长) (火车速度人的速度)迎面错过的时间；

55、火车车长火车车长(路程路程和和)人人路程路程火车路程火车路程（2）火车同向行走的人：相当于追及问题， 解法：路程差解法：路程差 (火车车长) (火车速度人的速度) 追及的时间； 人人路程路程车车路程路程火车车长火车车长(路程差路程差) 4、火车火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度， （1）错车问题：相当于相遇问题， 解法：路程和 (快车车长慢车车长) (快车速度慢车速度) 错车时间； 慢车慢车路程路程路程和路程和快车快车路程路程快车车长慢车车长（2）超车问题：相当于追及问题 解法：路程差路程差 (快车车长慢车车长) (快车速度慢车速度) 错车时间；快车快车路程路程慢车慢车路程路程路程

56、路程差差慢车车长快车车长例1：一列火车通过一条长240米的铁路桥用了30秒，用这样的速度通过320的隧道用了34秒，求火车的车长和车速。分析与解：分析与解：从图中可知，火车过桥行驶的路程是桥长+车长；同样的道理，火车过隧道行驶的路程是隧道长+车长。两次所用时间的不同是因为铁路桥与隧道的长度不同引起的，利用两次的时间差与路程差可以求出火车的速度。解：火车的速度：（320240）（3430）=20米/秒； 车长：2030240=360米。答：火车的车长是360米，车速是20米/秒。第八讲 加法原理和乘法原理1、加法原理、加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第

57、二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn种不同方法。每一种方法都能够直接达成目标。2、乘法原理、乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2m3mn种不同的方法。3、注意、注意区分两个原理。要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的第一类中的方法都是独立的，因此使用加法原理加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成

58、，因此用乘法原理乘法原理。完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来。4、口诀、口诀加法原理：类类独立；乘法原理：类类相关。例例1：从甲地到乙地，有3条公路和2条铁路可以直接到达。从甲地到乙地共有多少种走法？ 【思路导航】加法原理。 分类：第一类，“走公路”，共有3种方法。 第二类，“走铁路”，共两种方法。 所以从甲地到乙地的方法总和是3+2=5（种） 解答：从甲地到乙地共有5种走法。例例2：十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来? 【分析】任意取一把钥匙去试开锁，要试9次；其次，再从剩下的9把钥匙中任取一把去试开锁，要

59、试8次照此方法进行下去，最后，只剩下一把钥匙和一把锁，就不需要试了。运用加法原理。 解：9+8+7+.+3+1=45 答：最多试开45次，就能把锁和钥匙配起来。例例3：用0,1,2,3,4,5,6组成四位数的密码共有几种？思路：其实就是组成四位数（千位可以为0）。分四步：确定个位数字个数、确定十位数字个数、确定百位数字个数、确定千位数字个数。（用乘法原理）。（用乘法原理）。每一位都有0,1,2,3,4,5,6，六种选择（加法原理）（加法原理）四位数个数=个位数字个数十位数字个数百位数字个数千位数字个数=6 6 6 6例例4：如图，从甲地到乙地有三三条路，从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地有两条

60、路，从丙地到丁地有四条路。问：从甲地到丁地有多少条路？【分析】1、甲到丁，是完成一件事，有两种途径，即：甲经乙到丁甲经乙到丁和甲经丙到丁甲经丙到丁，用加法原理。即：甲地到丁的路甲地到丁的路=甲经乙到丁甲经乙到丁+ +甲经丙到丁甲经丙到丁2 2、甲经乙到丁甲经乙到丁，分两步：即甲先到乙，由乙到丁，属完成一件事情的两步，用乘法原理，即甲经乙到丁的路甲经乙到丁的路=甲到乙的甲到乙的路路乙到丁的路乙到丁的路=33同理，甲经丙到丁甲经丙到丁的路的路=甲到丙的路到丙的路丙到丁的路丙到丁的路=24 。所以：甲地到丁的路甲地到丁的路=甲经乙到丁甲经乙到丁+甲经丙到丁甲经丙到丁=（甲到乙的路（甲到乙的路乙到丁的