自考4183概率论与数理统计课件第07章

1、 第七章第七章 参数估计参数估计(一一) 考核知识点考核知识点 1. 1. 点估计点估计 2. 2. 矩估计法矩估计法 3. 3. 极大似然估计法极大似然估计法 4. 4. 单个正态总体均值和方差的区间估计单个正态总体均值和方差的区间估计( (二二) ) 考核要求考核要求1.1.点估计点估计1.1 1.1 参数估计的概念，参数估计的概念， 要求：识记要求：识记1.2 1.2 求参数的矩估计，求参数的矩估计， 要求：简单应用要求：简单应用1.3 1.3 求极大似然估计，求极大似然估计， 要求：简单应用要求：简单应用2.2.估计量的评价标准估计量的评价标准2.1 2.1 矩估计的无偏性，矩估计的无

2、偏性， 要求：领会要求：领会2.2 2.2 估计量的有效性、相合性，估计量的有效性、相合性， 要求：领会要求：领会3.3.区间估计区间估计3.1 3.1 置信区间的概念，置信区间的概念， 要求：领会要求：领会3.2 3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用要求：简单应用 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计参数估计估计废品率估计废品率估计新生

3、儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计降雨量估计降雨量在参数估计问题在参数估计问题中，假定总体分中，假定总体分布形式已知，未布形式已知，未知的仅仅是一个知的仅仅是一个或几个参数或几个参数.这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数 作出估计作出估计, 或估计或估计 的某个已知函数的某个已知函数 .)(g现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本 设有一个统计总体设有一个统计总体 , 总体的分布函数总体的分布函数为为F( x, ) ，其中，其中 为未知参数为未知参数 ( 可以是向量可

4、以是向量) . 参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计(),();xE XE Xx用样本均值 估计总体均值即22211()(),();nninisxxD XD Xsn用样本二阶中心矩估计总体方差即.AA用事件 出现的频率估计事件 发生的概率)1 . 0,(2 N（假定身高服从正态分布（假定身高服从正态分布 ） 设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计估计 为为1.68，这是这是点估计点估计.这是这是区间估计区间估计.估计估计 在区间在区间 1.57, 1.84 内，内，例如我们要估计某队男生的平均身高例如我们要估计某队男生的平均身高. 现从该总体选取

5、容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的任的样本，我们的任务是要根据选出的样本（务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值个数）求出总体均值 的估计的估计. 而全部信息就由这而全部信息就由这5个数组成个数组成 . 12,(0, ),0.nx xxU 设是来自服从区间(0, )上的均匀分布的样本为未知参数.求 的矩估计例例().2XE X解 总体 的均值2x由矩法，应有，2 . x解得 =0.1,0.7,0.2,1,1.9,1.3,1.8,比如，若样本值为则 的估计值12(0.1 0.70.2 1 1.9 1.3 1.8)2.7 7.1.2 极大似然法极大似然法 它是在总体类型已知条件下使用的

6、一种参数估它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法计方法 . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 . GaussFisher 然而然而,这个方法常归这个方法常归功于英国统计学家功于英国统计学家费希尔费希尔 . 费希尔费希尔在在1922年重新发现了年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质法的一些性质 .最大似然法的基本思想最大似然法的基本思想 先看一个简单例子先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过 .是谁打中的呢？是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外某位同学与一位猎人一起外出打猎出打猎 .

7、如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 . 你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人看来这一枪是猎人射中的射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想基本思想 . 最大似然估计原理：最大似然估计原理： 当给定样本当给定样本X1,X2,Xn时，定义时，定义似然函数似然函数为：为： 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本，样本的一个样本，样本的联合密

8、度的联合密度(连续型）或联合分布律连续型）或联合分布律 (离散型离散型)为为 f (x1,x2, ,xn ; ) . )(Lf (x1, x2 , xn; ) 这里这里 x1, x2 , xn 是样本的观察值是样本的观察值 . 似然函数：似然函数：)(max)( LL 最大似然估计法最大似然估计法就是用使就是用使 达到最大值的达到最大值的 去估计去估计 . )( L 称称 为为 的的最大似然估计值最大似然估计值 . 看作参数看作参数 的函数，它可作为的函数，它可作为 将以多大可将以多大可能产生样本值能产生样本值 x1, x2, ,xn 的一种度量的一种度量 .)( L )( L f (x1,x

9、2, xn; ) 而相应的而相应的统计量统计量称为称为 的的最大似然估计量最大似然估计量 .1(,)n XX两点说明：两点说明： 1、求似然函数、求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用的最大值点，可以应用微积分中的技巧。由于微积分中的技巧。由于ln(x)是是 x 的增函数的增函数, lnL( )与与L( )在在 的同一值处达到它的最大值，假定的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且是一实数，且lnL( )是是 的一个可微函数。通过的一个可微函数。通过求解方程：求解方程： 可以得到可以得到 的的MLE . 0)(lndLd 若若 是向量，上述方程必须用方程组代替是向量，上述方程必须用方程组

10、代替 . 2、用上述求导方法求参数的、用上述求导方法求参数的MLE有时行不有时行不通，这时要用最大似然原则来求通，这时要用最大似然原则来求 . 下面举例说明如何求最大似然估计下面举例说明如何求最大似然估计L(p)= f (x1, x2, xn; p ) 例例5 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体 XB(1, p) 的一个的一个样本，求参数样本，求参数p的最大似然估计量的最大似然估计量.nixxiipp11)1 (解：解：似然函数似然函数为为: ppXi110)1ln()()ln()(ln11pxnpxpLniinii对数似然函数对数似然函数为：为：niiniixnxpppL11)1()(

11、niiniixnxpp11)1 (对对p求导并令其为求导并令其为0，)(111)(ln11niiniixnpxpdppLd=0得得即为即为 p 的的最大似然估计值最大似然估计值 .从而从而 p 的的最大似然估计量最大似然估计量为为 111(,)nniip XXXXn 11niipxxn (4) 在最大值点的表达式中在最大值点的表达式中, 用样本值代入就用样本值代入就得参数的得参数的最大似然估计值最大似然估计值 .求最大似然估计求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合分布率由总体分布导出样本的联合分布率(或联或联合密度合密度); (2) 把样本联合分

12、布率把样本联合分布率 ( 或联合密度或联合密度 ) 中自变中自变 量看成已知常数量看成已知常数,而把参数而把参数 看作自变量看作自变量,得到得到似然似然 函数函数L( ); (3) 求似然函数求似然函数L( ) 的最大值点的最大值点(常常转化为常常转化为求求ln L( )的最大值点的最大值点) ，即，即 的的MLE; 12,nx xx 设是总体的样本,已知总体的密度函数为例例 (1),1;(1)0,.xxf x其中参数其他12.试分别求出 的矩估计 和极大似然估计解 总体期望为(1)1()E Xx xdx,.1x由矩估计法 令得矩法方程解之得 的矩估计1.1xx,为求 的极大似然估计 易求得似

13、然函数为1ln ( )0.niidLnxd由以上似然方程解得 的极大似然估计21.niinx(1)(1)11( )(),nnniiiiLxx1ln ( )ln(1),niiLnx1.(2006-4)设总体X服从参数为的指数分布,其中未知,X1,X2,Xn为来自总体X的样本,则的矩估计为_.2.(2006-7)设总体X服从泊松分布,即XP(),则参数2的极大似然估计量为_. 3.(2007-4)设总体X具有区间0,上的均匀分布(0),x1,x2,xn是来自该总体的样本,则的矩估计 _.12,0,.()( ) ,0,0,4 200_7-_7_.xnexXf xx xxXx设总体 的概率密度为为总体

14、的一个样本 则未知参数 的矩估计5.(2007-7)设总体X服从参数为的泊松分布,其中为未知参数.X1,X2,Xn为来自该总体的一个样本,则参数的矩估计量为_.12.()0 2 (0),6 2007,-10nXx xxx设总体 服从 ， 上的均匀分布是来自该总体的样本为样本均值 则 的矩估计（）1.2.22xAxB xCDx(1)12.(),1;( ; )0,(1),7 2008-4,.nXxxf xx xx 设总体 的概率密度为其他其中是未知参数是来自该总体的样本 试求 的矩估计8.(2008-7)假设总体X服从参数为的泊松分布,0.8、1.3、1.1、0.6、1.2是来自总体X的样本容量为

15、5的简单随机样本，则的矩估计值为_12.()(0),0,( , )0,9 2008-0.,9,_.0_1xnXexf xxXx xxx 设总体 服从参数为的指数分布 其概率密度为由来自总体 的一个样本算得样本平均值则参数 的矩估计12.()(0)10 2009,2,_.-4nXx xxXx 设总体 服从参数为的泊松分布为 的一个样本其样本均值则 的矩估计值12.(),( ; ),0,_11 2009-7_xnXp xexx xx设总体 为指数分布 其密度函数为是样本 故 的矩法估计121,0,.()( , )0,0,0.(1);12 212.009- 0 xnexXf xxXXXXE X设总体

16、 的概率密度为其中, ,为来自总体 的样本求（ ）求未知参数 的矩估计12.()22.(0, ),0, _13 2010_ .1_nXx xxXx设总体 服从区间上的均匀分布是来自总体的样本 为样本均值为未知参数 则 的矩估计12.()( ,2 )_.14 20104nXUx xx设总体 服从均匀分布, , , 是来自该总体的样本,则 的矩估计 7.2 点估计的评价标准21232.(),(0,),(2),()11.2.4421 2006-4XXXNccABCD设是来自正态总体的样本 已知统计量是方差的无偏估计量 则常数 等于 .(),( ),().2 2006- 7 .EABCD若 为未知参数

17、 的估计量 且满足则称 是 的无偏估计量 有偏估计量渐近无偏估计量 一致估计量2123123.()( ,),3 2007_,11.42-10XNx x xXaxaxx 设总体为来自 的样本 则当常数时是未知参数 的无偏估计12312311.()( ,1),( ,),23, 4_.2008 1XNx x xxxkxk 设总体为其样本 若估计量为 的无偏估计量 则1231211232123.(),2,111111,5 2008-4244333_.XNx x xxxxxxx 设总体是(),是总体的简单随机样本是总体参数 的两个估计量 且其中较有效的估计量是22122.()(,),6 2008 10n

18、XNXXX 设总体为来自总体的样本,均未知,则的无偏估计是（）niiXXnA12)(11.niiXnB12)(11.niiXXnC12)(1.niiXnD12)(11.(),( )_7 200_,.9-1E设 是未知参数 的一个估计量 若则 是 的无偏估计2123411234212331241.() ( ,),111112(),45556618 2,009-4()7XNxxxxXxxxxxxxxxx 设总体其中 未知， ， ， 为来自总体 的一个样本则以下关于的四个估计:中 哪一个是无偏估计？4321.DCBA122221.()1()(29 20093 )1_ .7_nniiXXXXXXSXXaXa Sna假设总体 服从参数为 的泊松分布, ,是来自总体 的简单随机样本,其均值为 ,样本方差已知为的无偏估计,则7.3 7.3 参数的区间估计参数的区间估计7.3.2 7.3.2 单个正态总体参数的置信区间单个正态总体参数的置信区间2( ,)