青岛版九年级上册数学《一元二次方程根与系数的关系》

1、一元二次方程根与系数的关系?教案 探究版一、教学目标知识与技能1掌握一元二次方程根与系数的关系2会运用一元二次方程根与系数的关系求一元二次方程的两根之和与两根之积， 并会解决一些简单问题过程与方法1经历探索一元二次方程根与系数关系的过程，培养学生的观察思考、 归纳概括能力2在运用一元二次方程根与系数关系解决问题的过程中，培养学生解决问题的能力 情感、态度通过学生自己探索、 发现根与系数的关系， 增强学生学习的信心， 培养学生科学的探索 精神二、教学重点、难点 重点：1从具体的一元二次方程中发现一元二次方程根与系数的关系，并用语言表述2灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决问题难点：对一元二次方

2、程根与系数关系的理解和推导三、教学过程设计一情境引入悟空和八戒在解一道题 “假设 x1，x2 是一元二次方程 2x2-7x+4=0 的两根， 那么 x1+ x2 与 x1x2 的值分别是多少？ 当八戒苦思冥想时， 悟空却随口说出了答案 你知道悟空是用什么诀窍 计算出来的吗？快开始本节内容的学习吧！设计意图：创设一个情境，学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识，激发了学生学习 本节内容的兴趣二探究新知实验与探究 1解下面的一元二次方程： x2+3x+2=0 , x2-5x+6=0， 3x2+x- 2=0, 2x2-4x+1=0 . 师生活动：教师出示问题，让学生独立完成此题解：把方程的左边因式分解，

3、得x+1x+2=0 所以Xi=-1, x2=-2. 把方程的左边因式分解，得x-2x-3=0 所以xi=2, x2=3 . 把方程的左边因式分解，得x+13x-2=0 所以xi=-l, x2=- 3 因为 a=2, b=-4, c=1 , b2-4ac=-42-4X2X1=8 >0,4 _、84 _2 .22:22222所以 x=，即 xi=, X2=2x242222根据1中所求出的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积，并把结果填入下表：一兀二次方程X1X2X1+ X2X1X2 x2+3x+2=0 x2- 5x+6=0 3x2+x- 2=0 2x2-4x+ 仁0师生活动：教师出示问题

4、，让学生独立完成此题.解： 观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导学生得出结论.发现：方程的二次项系数为 1, 一元二次方程的两根之和等于一次项系数的相反数， 两根之积等于常数项；方程的二次项系数不是1,两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比. 由此你猜测一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与方程的系数a，b，c之间 有什么关系？能证明你的猜测是正确的吗？与同学交流.师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、猜测并完成证明过程.一

5、兀二次方程X1X2X1+ X2X1X2 X +3x+2=0-1-2-32 x2- 5x+6=02356212 3x +x- 2=0-1333 2x2-4x+ 仁02 +运2-221222猜测：X1+ X2=_b , X1X2= c .aa证明：当b1 2-4ac> 0时,元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根是a"一土a .于是，两个根的和为b 亠、，b2-4ac b- b2 - 4acX1+ X2=+2a2a-;两a个根的积为 x1X2= " +-4ac A_4ac _ (-b) -(Jb? 4ac)2a2a4a2所以，一元二次方程的根与系数有以下的关系:2如果

6、一元二次方程 ax+bx+c=O的两个根是X1, X2,那么x什bX2=acX1X2 =a设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程.三例题精讲例1 关于x的方程3x2+mx-4=0有一个根是2，求另一个根及 m的值.师生活动：教师出例如题，让学生尝试利用一元二次方程的根与系数的关系完成此题.解：方法1，设方程的另一个根为X1,那么由一元二次方程根与系数的关系，得m 金X12，(3由，得2x1 -.32xi=- -.代入，得32 m +2= .解得 m=-4.3 3所以，方程的另一个根是_23方法 2,把 x=2 代入 3X2+ mx-

7、4=0 ,得 12+2 m- 4=0 .m的值是-4.解得m=- 4.设方程的另一个根为 召，那么2+召=一卩二4 .解得332xi =3所以,2方程的另一个根是 -，m的值是-4.3设X1, X2是方程2x2+5x+仁0的两个根，求以下各式的值:(1)1 1EE ；(2)- x；师生活动：教师出例如题，引导学生利用一元二次方程的根与系数的关系完成此题.解：由一兀二次方程根与系数的关系，得X1+ X2= - 5 , X1X2=.2 2/ 2) 11 洛 X251(2) =()-( )=-5 X x2xx222例3 关于x的方程x2 _6x k = 0的两个根是 m和n,且3m+2n=20,求k

8、的值.师生活动：教师出例如题，学生思考、讨论，教师分析引导，师生共同完成解题过程.解： m，n是方程的两个根，'m + n =6, mn = k,0m+2 n= 20.x 2-，得-m=-8. m=8.将 m=8 代入，得 n=-2.将 m=8, n=-2 代入，得 k=8X(-2)=-16.当 k=-16 时，b2-4ac=36-4k=100 > 0，二 k=-16 .设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来解决一些问题.(四) 挑战自我方程x2- 5x- 6=0的根是X1和X2，求以下式子的值：(1) x： x| x1x2 ； (2)'.x2 x参考答案解：由一兀

9、二次方程根与系数的关系知：X1 + X2=5， X1X2=-6.(1) 原式=x；x；2x1x2- x1 x2= (x1x2)2-XtX2=52-(-6) =31 ；2222(2) 原式=X1 X2 _ (儿 X2)-2X1X2 _5-2 (-6) _ 37x1x2x1x2-66(五) 课堂练习1. 求以下方程两根的和与两根的积：2 2(1) X +2x-5=0; (2) 2x +x=1 .2. 小明在一本课外读物中读到如下一段文字：一元二次方程丁=()的两根是2和2-J3 .你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题.参考答案2 1

10、. 解：(1)设方程x +2x- 5=0的两根分别是X2.bc因为 a=1, b=2, c=- 5，所以 Xy+ x2= =- 2, xi x2= =_5.aa(2)把方程2x2+x=1化成一般形式，得 2x2+x-1=0 .设它的两根分别是 Xi、X2.因为a=2, b=1, c=-1,所以 X1+ X2= ba1 c1,X1 X2=2 a22.解：因为2 3 2 一 3 =4 , (23)(2 一、. 3) =1，所以这个方程的一次项系数是-4,常数项是1 .设计意图：通过本环节的学习，让学生稳固所学知识.(六) 课堂小结这节课我们主要学习了一元二次方程根与系数的关系，即假设方程ax2+

11、bx+c=O(a工0)的两个根是x2,贝y x1+x2 -b , X1 X2= c .aa师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容.设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容.四、课堂检测设计、 21 .X1, X2是一兀二次方程 x +2ax+b=0的两根，且 x什X2=3, X1X2=1，贝U a, b的值 分别是().A. a=-3, b=1B. a=3, b=13 3C. a= , b=-1D. a= , b=1222. m,n是方程x2+ 2 . 2x+1=0的两根，那么代数式.m2 n2 3mn的值为().A . 9B .出C. 3D . 53. 假设

12、关于x的一元二次方程x2+(m2- 9)x+m-1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是4. 设a, b是方程x2+x-2021=0的两个不相等的实数根，那么a2+2a+b的值为5. 方程x2+3x-1=0的两实数根分别为a不解方程求以下各式的值：(1) a2 + /； ( 2) a3 供 a 衣(3) +巨.a P参考答案1. D. 2. C. 3. -3.2 24. 2021 .解析：/ a 是方程 x+x-2021=0 的实数根，/ a +a-2021=0 ,2 2 a = -a+2021 .二 a +2a+b=-a+2021+2a+b=a+b+2021 .2 a, b是方程x +x-2021=0的两个不相等的实数根， a+b=-1,2 a +2a+b =a+b+2021=