CFD2013-第1讲-基本方程

1、2011年春季中国科学院力学研究所课程年春季中国科学院力学研究所课程计算流体力学计算流体力学 李新亮李新亮Tel: 82543801力学所主楼力学所主楼219参考数目：参考数目： 傅德薰等：傅德薰等：计算流体力学计算流体力学，计算空气动力学计算空气动力学 阎超：阎超：计算流体力学方法及应用计算流体力学方法及应用， 任玉新等：任玉新等： 计算流体力学基础计算流体力学基础 J. Blazek: Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications E. F. Toro: Riemann Solvers and numerical met

2、hods for fluid dynamics 1Copyright by Li Xinliang讲义、课件上传至讲义、课件上传至 （流体中文网）（流体中文网） - “流体论坛流体论坛” -“ CFD基础理论基础理论”也可到如下网址下载也可到如下网址下载：https:/ 流体力学基本方程流体力学基本方程 计算流体力学计算流体力学(CFD) 的概念及意义的概念及意义 流体力学的基本方程流体力学的基本方程 偏微分方程组的类型偏微分方程组的类型 重点重点: 流体力学基本概念：连续介质假设，流动描述方法流体力学基本概念：连续介质假设，流动描述方法 N-S方程及其无量纲化（熟记）；方程及其无量纲化（熟记

3、）； 双曲型方程性质；双曲型方程性质；2Copyright by Li Xinliang 计算流体力学计算流体力学: Computational Fluid Dynamics 简称简称CFD第一章第一章 绪论绪论3Copyright by Li Xinliang计算流体力学是通过计算流体力学是通过数值方法数值方法求解流体力学控求解流体力学控制方程，得到流场的制方程，得到流场的离散的定量描述离散的定量描述，并以此，并以此预测流体运动规律的学科预测流体运动规律的学科CFD: 通过离散求解流动方程得到流动信息流动控制方程流动控制方程 理论解理论解（解析解）（解析解）精确解：精确解： Poiseuil

4、le解，解， Blasius解，解， Plantdl 湍流边界层解湍流边界层解渐进解、近似解：渐进解、近似解： Stokes解解数值解数值解差分法、差分法、 有限体积法、边界元法、谱（元）方法、有限体积法、边界元法、谱（元）方法、 粒子方法粒子方法 借助计算机来实现数值求解借助计算机来实现数值求解在计算机产生之前，数值方法已然产生在计算机产生之前，数值方法已然产生 方程复杂（非线性偏微方程组），方程复杂（非线性偏微方程组）， 解析解很难获得解析解很难获得4Copyright by Li Xinliang计算流体力学计算流体力学(CFD): (CFD): 在航空航天领域得到广泛应用在航空航天领域

5、得到广泛应用 1970 1970 年代，年代， 飞机设计主要依赖风洞实验飞机设计主要依赖风洞实验 YF-17 YF-17研制，风洞实验研制，风洞实验13,50013,500小时小时 19801980年代，年代，CFDCFD逐渐发展，逐渐发展， 部分取代实验部分取代实验 YF-23 YF-23，风洞实验，风洞实验5,5005,500小时，小时，CFDCFD计算计算15,00015,000机时机时YF17YF23YF175Copyright by Li Xinliang 90 90年代，年代， CFD CFD 在飞机设计中发挥了主力作用在飞机设计中发挥了主力作用 波音波音777777， CFDCF

6、D占主角占主角 2000 2000 之后，之后， CFD CFD 取代了大部分风洞实验取代了大部分风洞实验 波音波音787787：全机风洞实验仅：全机风洞实验仅3 3次次波音787波音777 航天领域，航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件实验难点：复现高空高速流动条件 6Copyright by Li XinliangCFD 面临的挑战及主要任务：面临的挑战及主要任务：多尺度复杂流动的数学模型化多尺度复杂流动的数学模型化; 湍流的计算模型；湍流的计算模型； 转捩的预测模型；转捩的预测模型； 燃烧及化学反应模型；燃烧及化学反应模型； 噪

7、声模型噪声模型可处理间断及多尺度流场的高可处理间断及多尺度流场的高分辨率分辨率、强鲁棒性、高效强鲁棒性、高效数值方法；数值方法； 高精度激波捕捉法；高精度激波捕捉法； 间断有限元法间断有限元法; 可处理复杂外形、易用性强的算法；可处理复杂外形、易用性强的算法； 复杂外形复杂外形 网格生成工作量大网格生成工作量大 多块分区算法；多块分区算法； 无网格法；无网格法； 粒子算法；粒子算法；7Copyright by Li Xinliang课程安排课程安排1.1. 流体力学基本方程流体力学基本方程2.2. 双曲型方程组及其间断（双曲型方程组及其间断（RiemannRiemann）解）解3.3. 差分法

8、差分法 （1 1）：）： 数学基础及数学基础及FourierFourier分析方法分析方法4.4. 差分法差分法 （2 2）：）： 高精度激波捕捉格式高精度激波捕捉格式5.5. 差分法差分法 （3 3）：）： 通量分裂技术通量分裂技术6.6. 有限体积法（有限体积法（1 1）7.7. 有限体积法（有限体积法（2 2）8.8. 代数方程组的求解代数方程组的求解9.9. 不可压方程的数值方法不可压方程的数值方法10.10. 网格生成技术网格生成技术11.11. 湍流湍流与转捩（与转捩（1 1）12.12. 湍流与转捩（湍流与转捩（2 2）13.13. 燃烧及化学反应流动初步；燃烧及化学反应流动初步

9、；14.14. 并行计算编程初步并行计算编程初步 （MPI Part1)MPI Part1)15.15. 并行计算编程初步并行计算编程初步 (MPI part2, OpenMP)(MPI part2, OpenMP)8Copyright by Li Xinliang 1.1 流体力学基本方程组流体力学基本方程组连续介质假设连续介质假设第二章第二章 流体力学基本方程流体力学基本方程1. 基本概念基本概念流体质点：微观充分大，宏观充分小流体质点：微观充分大，宏观充分小流体连续地充满整个空间流体连续地充满整个空间 举例说明流体密度定义举例说明流体密度定义体积为V的控制体),(zyx平均密度： 控制体

10、内流动的总质量/控制体体积)/(3mkg)(3mV310610910121021103010控制体内的平均密度随体积变化规律微观充分大，宏观充分小控制体太大，有宏观波动控制体太小，有微观波动0( , , )lim( , , )Vx y zx y z流动描述方法流动描述方法Euler描述描述Lagrange描述描述描述流体信息：密度、速度、压力、温度等给出每个时刻每个给出每个时刻每个空间点上的物理量空间点上的物理量),(tzyxff 研究的区域跟踪每个流体质点，记跟踪每个流体质点，记录物理量随时间的变化录物理量随时间的变化),(000tzyxff 初始时刻的位置),(000zyx),(zyx物质

11、（随体）物质（随体）导数导数fVtfdtdf（场）例：例： 乘火车从北京乘火车从北京到上海，一路上记到上海，一路上记录车厢外的温度随录车厢外的温度随时间变化时间变化时间时间影响影响空间空间影响影响),(000zyxCopyright by Li Xinliang112. 基本方程基本方程基于基于Euler描述描述任意点),(zyx目的：给出目的：给出t时刻（时刻（x,y,z）点处物理量（密）点处物理量（密度，速度、压力、温度）满足的方程；度，速度、压力、温度）满足的方程； 通过解方程得到这些物理量；通过解方程得到这些物理量；),(),(),(),(tzyxTtzyxptzyxVtzyx 1)

12、围绕围绕(x,y,z)点取一控制体点取一控制体; 2) 根据基本定律（质量、动量、能量守恒）根据基本定律（质量、动量、能量守恒）, 给出控制体内总量（积分量）的变化规律；给出控制体内总量（积分量）的变化规律； （总质量、总动量、总能量的变化规律：（总质量、总动量、总能量的变化规律： 积分型方程积分型方程） 3) 令控制体尺度趋近于令控制体尺度趋近于0， 得到得到(x,y,z)点物理量的点物理量的微分型方程微分型方程控制体示意图xyx特点：特点： 控制体不动控制体不动 （Euler描述）描述）12控制体质量（动量、能量）增加控制体质量（动量、能量）增加=穿过控制面流入穿过控制面流入的净质量（动量

13、、能量的净质量（动量、能量）数学化数学化d总质量总质量总动量总动量d总能量总能量Ed ：质量密度，：质量密度， 单位体积内的质量单位体积内的质量 ：动量密度，：动量密度， 单位体积内的动量单位体积内的动量E : 能量密度，单位体积内的总能量能量密度，单位体积内的总能量xyz（不考虑源项）VVVEzyxVV2221 2 ()vECTuvw内能（完全气体）动能tyxFFzxFFzyFFVtttzzyyxx)()()()(后前下上左右（),(zyx单位时间单位时间内，穿过垂直内，穿过垂直x轴轴单位面积单位面积流过的流过的质量流量质量流量（从左向右流过为正）（从左向右流过为正）1vvCpCTpR/;p

14、vpvCC CCR流通量流通量(flux)Copyright by Li Xinliang13控制体质量（动量、能量）增加控制体质量（动量、能量）增加=穿过控制面流入穿过控制面流入的净质量（动量、能量的净质量（动量、能量）xyz),(zyxzzzFzzFyyyFyyFxxxFxxFttttzzyyxx)2/()2/()2/()2/()2/()2/()()(穿过垂直穿过垂直x方向方向单位面积单位面积面元的质量通量面元的质量通量xyzFFFtxyz xyzFFFtxyz 同样令,0 xyz EEExyzFFFEtxyz V2222221 2 ()1()12vECTuvwpuvw(1)tyxFFzx

15、FFzyFFVtttzzyyxx)()()()(后前下上左右（物理含义：物理含义： 通量的变化（散度）导致通量的变化（散度）导致净净通量通量14控制体质量（动量、能量）增加控制体质量（动量、能量）增加=穿过控制面流入穿过控制面流入的净质量（动量、能量的净质量（动量、能量）计算流通量计算流通量问题：问题： 如图，试计算如图，试计算单位时间单位时间内流过内流过右侧单位面积右侧单位面积面元的质量、动量和总能量。面元的质量、动量和总能量。注：外力冲量等同于流过的动量；注：外力冲量等同于流过的动量； 外力做功等同于流过的能量外力做功等同于流过的能量 zy质量通量：质量通量：uFx动量通量：动量通量： 流

16、过质量附带的动量流过质量附带的动量 + 表面上外力的冲量表面上外力的冲量 pVuFxp表面上（单位面表面上（单位面积）所受外力积）所受外力所受外力能量通量：能量通量：流过质量附带的能量流过质量附带的能量 + 表面上外力做功表面上外力做功+ 热传递热传递 xTkVpuEFxEFourier热传导定律：热流与温度梯度呈正比（向右为正）质量附带动量E: 能量密度，单位体积的能量基本概念：基本概念： 应力应力 （张量）（张量）npnPnp“把物体切开，其内部的力就暴露出来把物体切开，其内部的力就暴露出来”“切的方向不同，表面上的力也不同切的方向不同，表面上的力也不同”给定切割方向，就能得到表面力给定切

17、割方向，就能得到表面力xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppppppppP怎么描述连怎么描述连续体内部的续体内部的力呢？力呢？切切3次就够了：垂直次就够了：垂直x轴轴, 垂直垂直y轴，垂直轴，垂直z轴各切一次轴各切一次 沿垂直沿垂直x的平面剖开，的平面剖开，露出的面力露出的面力(,)Txxxxyxzpppp(,)Tyyxyyyzpppp沿垂直沿垂直y的平面剖开，的平面剖开，露出的面力露出的面力xp沿垂直沿垂直z的平面剖开，的平面剖开，露出的面力露出的面力(,)Tzzxzyzzppppypzp沿任意方向切割，暴露出的力如下计算：沿任意方向切割，暴露出的力如下计算：npxxpxypyxpyyp

18、npnP局部力的平衡关系局部力的平衡关系这个公式显示：这个公式显示：P是张量是张量什么叫什么叫“张量张量”？矩阵不一定是张量矩阵不一定是张量张量的定义张量的定义广义牛顿粘性定律：广义牛顿粘性定律：ijijijpP通常情况下：通常情况下：3/2pFVVVt)( 普通的线性应力普通的线性应力-应变关系：应变关系： klijklijSCP 各向同性假设)(21jkiljlikklijijklC)(,ijjiijkkijVVV)(3/2,ijjikkijijVVV流体特性：流体特性： 静止流体向各个方向的压力相等静止流体向各个方向的压力相等 （帕斯卡定律）（帕斯卡定律）ijijpP静止部分静止部分+运

19、动部分运动部分通常情况下，第二粘性系数（膨胀粘性）可忽略03/216基本概念：力与变形的关系基本概念：力与变形的关系 （本构方程，应力（本构方程，应力-应变关系）应变关系） 流体特性：流体特性： 粘性力与变形速率呈正比粘性力与变形速率呈正比 （牛顿粘性定律）（牛顿粘性定律）静止流体牛顿实验示意图Copyright by Li Xinliang17zyp所受外力kjii ppxzxyxx压力粘性（剪切力）p压力（垂直压力（垂直表面向内）表面向内）xxxyxzxyzuFx质量通量：质量通量：动量通量：动量通量：xzxyxxxuwuvpuupVuF能量通量：能量通量：)()(xTkwvuEpuxTk

20、VpuEFxzxyxxE穿过穿过x-方向控制面的通量（密度）为：方向控制面的通量（密度）为：穿过y-, z-方向的通量同样计算无粘通量无粘通量粘性通量粘性通量Copyright by Li Xinliang18zGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(EwvuU将其带入（将其带入（1）式，得到最终的控制方程）式，得到最终的控制方程(N-S方程）方程）：)()(21pEuuwuvpuuUF)()(22pEvvwpvuvvUF)()(23pEwpwwvwuwUF粘性通量无粘通量含义：质量（动量、能量）的变化含义：质量（动量、能量）的变化 = 外界输入的净质量（动量、能量）外界输入的

21、净质量（动量、能量）质量密度质量密度动力密度动力密度能量密度能量密度13121113121110)(wvuxTkUG23222123222120)(wvuyTkUG33323133323130)(wvuzTkUGRTp补充关系jidivVxujixuxuiiijjiij),322(),(Copyright by Li Xinliang19)()(21pEuuwuvpuuUFN-S方程各项物理含义剖析方程各项物理含义剖析压力做功压力做功流入质量带来的能量流入质量带来的能量单位时间内，流经垂单位时间内，流经垂直于直于x-轴单位面积平轴单位面积平面的面的无粘流通量无粘流通量质量流量质量流量流入质量带

22、来的流入质量带来的x-方向动量方向动量压力（提供的冲量）压力（提供的冲量）流入质量带来的流入质量带来的y-方向动量方向动量流入质量带来的流入质量带来的z-方向动量方向动量13121113121110)(wvuxTkUG单位时间内，流经垂单位时间内，流经垂直于直于x-轴单位面积平轴单位面积平面的面的粘性流通量粘性流通量粘性力提供的粘性力提供的x-方向冲量方向冲量粘性力提供的粘性力提供的y-方向冲量方向冲量粘性力提供的粘性力提供的z-方向冲量方向冲量由于热传导输入由于热传导输入的热量的热量粘性力做功粘性力做功 N-S方程的无量纲化方程的无量纲化无量纲量：无量纲量： 物理量与特征量之比物理量与特征量

23、之比,UTpRR特征量：A 速度速度417.2m/s, 密度密度2.86kg/m3 温度温度262K 压力压力88740Pa 速度速度1.85 密度密度 0.62 温度温度 0.86 压力压力 0.75A点的物理量：点的物理量：有量纲描述有量纲描述无量纲描述无量纲描述优点：直观优点：直观优点：便于对比优点：便于对比特征量：特征量： 对于某物理量，对于某物理量，人为设定人为设定的值的值 （可任意）（可任意）例如，例如， 设定密度的特征量为：设定密度的特征量为：*无量纲密度定义为：无量纲密度定义为：*/ 也可以设定成也可以设定成其他值，但必其他值，但必须是密度量纲须是密度量纲1.8含义：含义： 密

24、度为特征密度的密度为特征密度的1.8倍倍无量纲形式的优点：无量纲形式的优点： 数值更加简洁、便于对比；数值更加简洁、便于对比； 一组解可反映一系列（相似的）流动；一组解可反映一系列（相似的）流动；缺点：缺点： 数值的物理直观性差数值的物理直观性差各有优缺点，可相互补充 无量纲方式可任意无量纲方式可任意)/(,/,/,/,/,/2*UppTTTLUttUuuLxxzGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(EwvuU)()(21pEuuwuvpuuUF)()(22pEvvwpvuvvUF)()(23pEwpwwvwuwUF1312111312111Re0)(wvuxTPCUGrp2

25、322212322212RePr0)(wvuyTCUGp3332313332313RePr0)(wvuzTCUGpjidivVxujixuxuiiijjiij),322(Re),(Re),2(222wvueE出现的无量纲参数出现的无量纲参数： *ReLU)(,*2*TRaaUMa 不同的无量纲方式得到的方程的形式不同不同的无量纲方式得到的方程的形式不同无量纲状态方程：无量纲状态方程：TMap2121常见的无量纲形式常见的无量纲形式用动压作为特征压力；可减少一个无量纲参数pRT 有量纲量特征量（有量纲）pRT *2*pURTT*2(/)pT RTU*2*aRT*22/1/()RTUMaTMap2

26、1N-S方程的简化方程的简化1） 不可压缩情况下不可压缩情况下2） 无粘情况下（无粘情况下（Euler方程）方程）0 V11)(pFVVVt通常：const0dtd2/ )()(VVVVVVVV变形：V1假设粘性系数为常数（温度变化较小的情况）22Copyright by Li Xinliang0)()()(321zUFyUFxUFtU0 xuctu)()0 ,(xxu方程的精确解：方程的精确解：)(),(ctxtxu含义：含义： 以常速度以常速度c向右传播。向右传播。 波形，振幅保持不变波形，振幅保持不变23Copyright by Li Xinliang （常用）特例：常系数线性单波方程（

27、常用）特例：常系数线性单波方程 2.2 偏微方程的分类及特征偏微方程的分类及特征基本概念：椭圆型、双曲型、抛物型方程 1. 一阶偏微分方程一阶偏微分方程(,)x 初值：uxt=0uxt=t0t=0时刻与时刻与t=t0时刻物理量的分布时刻物理量的分布txt=t1t=t2t=t3x-ct=const重要概念：重要概念： 特征线特征线自变量空间的一条曲自变量空间的一条曲线，该曲线上物理量线，该曲线上物理量的方程可简化的方程可简化ABc0 扰动波向右传播：扰动波向右传播： 左端左端(A)需要给定边界条件；需要给定边界条件； 右端右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件只能被动接受，无法给定边界条件 （

28、即使给定，对计算域也无任何影响（即使给定，对计算域也无任何影响, 且造成且造成B端的非适定性）。端的非适定性）。c 矩阵矩阵A可对角化可对角化 - 双曲型双曲型 特征方程（特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化有两个相同实根，且无法对角化 - 抛物型抛物型特征方程（特征方程（3）无实根）无实根 - 椭圆型椭圆型对于变系数情况，对于变系数情况， 局部讨论局部讨论29Copyright by Li Xinliang4. 讨论讨论Euler方程组方程组0Utxf(U)(2pEupuuEuf(U)UxxUAf(U)uucucuuu22232223112)2(1)3(2/)3(010UfA将矩阵将

29、矩阵A对角化对角化SSA1321000000一维非定常一维非定常Euler方程转化为方程转化为三个单波方程三个单波方程: 扰动波分别以速度扰动波分别以速度 传播传播一维非定常流动：一维非定常流动：30Copyright by Li Xinliangcucuu321,推导321uuuEuU1213,/,u uuu Eu守恒变量：质量守恒变量：质量密度、动量密度、密度、动量密度、能量密度能量密度2112pEu22311(1)()2upuu1221321223223212123) 1()(uuuuuuuuupEupuuffff(U)好性质：好性质： 齐次函数齐次函数f(U)U)f(5. 双曲型方程组

30、边界条件提法双曲型方程组边界条件提法0 xvtvjjj变换成为了变换成为了彼此独立彼此独立的的n个单波方程个单波方程方法：方法： 独立独立给定给定j个方程的边界条件个方程的边界条件 如果如果 j0, 则在则在左左端给定端给定vj的边界条件的边界条件 如果如果 j0, 则在则在右右端给定端给定vj的边界条件的边界条件 特点：特点： 左、右边界总共给定左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征个边界条件，各自的个数视特征值的符号确定值的符号确定ABj=1j=2可推广到一般的双曲型方程组可推广到一般的双曲型方程组0 xtUAUCopyright by Li Xinliang31条件条件描述描述边界条件设定边界条件设定 超音速入口超音速入口给定给定3个边界条件个边界条件 亚音速入口亚音速入口给定给定2个边界条件个边界条件 超音速出口超音速出口无需给定边界条件无需给定边界条件 亚音速出口亚音速出口给定给定1个边界条件个边界