理论力学-刚体的基本运动

1、目录 平动和定轴转动是刚体的两种最简单、最基本的平动和定轴转动是刚体的两种最简单、最基本的运动；以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成运动；以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成是由这两种运动的合成。因此，这两种运动称为是由这两种运动的合成。因此，这两种运动称为。 2-1 刚体的平移刚体的平移刚体的平移刚体的平移平移的特点平移的特点 在运动过程中，刚体上任意一条直线的方位都保持不在运动过程中，刚体上任意一条直线的方位都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动平行移动，简，简称为称为平移平移。1. 刚体的平移刚体平刚体平移移的定义的定义 平移

2、的实例平移的实例 平移的实例平移的实例 平移的实例平移的实例 刚体刚体的平移的平移 刚体刚体的平移的平移 1.1.当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，并且位置平行。并且位置平行。证明证明：A1B1A2B2二、二、平移的特点平移的特点 2.2.当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相 等，各点的加速度也相等。等，各点的加速度也相等。 刚体作平移时的特点刚体作平移时的特点1 1可由图说明。可由图说明。 刚体作平移时的特点刚体作平移时的特点2 2可证明如下：可证明如下：AOrBrABxzyBvAA

3、上式再对时间上式再对时间t求导一次，即得求导一次，即得 故故 或或 ttABddddrrABvv ABaa 即，在每一瞬时，平移刚体即，在每一瞬时，平移刚体内任意两点的速度和加速度内任意两点的速度和加速度分别相等。分别相等。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B20ddABt刚体平移时，刚体内任一线段刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。的长度和方向都保持不变。因而因而ABrrAB AB为刚体上任意一矢量，则有为刚体上任意一矢量，则有A 平移刚体上各点的速度平移刚体上各点的速度 平移刚体上各点的加速度平移刚体上各点的加速度 应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也应该

4、注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。线。 由上述刚体平移的特点可见，当刚体作平移时，只须由上述刚体平移的特点可见，当刚体作平移时，只须给出刚体内任意一点的运动给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的就可以完全确定整个刚体的运动。运动。 这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。 如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为这些特殊情形称为平面平移或直线平移平面平移

5、或直线平移。 综上所述，可以得出刚体平移的几个主要结论： 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和和 加速度。加速度。 刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意 一点的运动分析。一点的运动分析。在图示机构中，已知：在图示机构中，已知：O1A=O2B=l， O1O2=AB， AC=0.5BC。O1A，O2B 与三角板铰接，与三角板铰接， O1A匀角速度匀角速度 转动。转动。ABO1O2llMC试问：试问：(1). 三角板三角板ABC作什么运动？作什么运

6、动？其角速度等于多少？其角速度等于多少？(2). 三角板三角板BC边中点边中点M的速度的速度和加速度各为多少？和加速度各为多少？ 思考题思考题 CvBvMvM=vB =raM=aB=r2答：答：(1). 因为三角板因为三角板ABC作平移运动，所以其角速度等于零。作平移运动，所以其角速度等于零。 (2). 三角板三角板ABC作平移运动，点作平移运动，点M与点与点B有相同的速度和加速有相同的速度和加速 度。度。 例例2-1 2-1 荡木用两条等长的钢荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长索平行吊起，如图所示。钢索长为长为长l，长度单位为，长度单位为m。当荡木摆。当荡木摆动 时 钢 索 的

7、摆 动 规 律动 时 钢 索 的 摆 动 规 律为为 ，其中，其中 t 为时为时间，单位为间，单位为s；转角；转角0的单位为的单位为rad。试求当。试求当t=0和和t=2 s时，荡木时，荡木的中点的中点M的速度和加速度。的速度和加速度。OABO1O2ll（+）M例题 2-1 由于两条钢索由于两条钢索O1A和和O2B的长度相的长度相等，并且相互平行，于是荡木等，并且相互平行，于是荡木AB在运在运动中始终平行于直线动中始终平行于直线O1O2，故荡木作，故荡木作平移。平移。 为求中点为求中点M 的速度和加速度，只需求出的速度和加速度，只需求出A点（或点（或B点）的速度和加速点）的速度和加速度即可。点

8、度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点。如以最低点O为起点，规为起点，规定弧坐标定弧坐标s向右为正，则向右为正，则A点的运动方程为点的运动方程为tls4 sin0将上式对时间求导，得将上式对时间求导，得A点的速度点的速度tltsv4 cos4dd0解：OABO1O2ll（+）M再求一次导，得再求一次导，得A点的切向加速度点的切向加速度代入代入t = 0和和t = 2，就可求得这两瞬时，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点点的速度和加速度，亦即点M在在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：tltva4 s

9、in16dd02tA点的法向加速度点的法向加速度tllva4cos16 22022n0002 （铅直向上）0 （水平向右）00an (ms2)at (ms2)v (ms1)(rad)t (s)04l016l20216OABO1O2ll（+）M2-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动规律转动规律角速度角速度 角加速度角加速度 当刚体运动时，如其上（或其延展部分）有一条直线当刚体运动时，如其上（或其延展部分）有一条直线始终保持不动，这种运动称为始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动刚体的定轴转动。 该固定不动的直线称为该固定不动的直线称为转轴转轴。 当刚体作定轴转动时

10、，转动轴以外的各点都分别在垂当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。点上。 刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点一、一、 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 定轴转动定轴转动实例实例 这就是这就是刚体的定轴转动运动刚体的定轴转动运动方程方程。 如已知这个方程，则刚体在如已知这个方程，则刚体在任一瞬时的位置就可以确定。任一瞬时的位置就可以确定。)(tf 刚体的位置可由角刚体的位置可由角完全确定。角完全确定。角也称为也称为角坐标角坐标，当，当刚体转动时，角坐标刚体转动时，角坐标随时间随时间t

11、t而变化，因而可表示为时间而变化，因而可表示为时间t的单值连续函数的单值连续函数三、转动规律三、转动规律1 1、转动方程、转动方程（1）、角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。单位时间内转角的变化。)(ddtft 转角转角对时间的导数，称为对时间的导数，称为刚体的角速度刚体的角速度，以以表示。表示。故有故有2. 角速度角速度（2）、当转角当转角随时间而增大时，随时间而增大时，为正值，反之为为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。 和和正负相同，则角速度的绝对

12、值随时间而增大，即刚正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。时间而减小，即刚体作减速转动。 )(dddd22tftt 角速度角速度对时间的导数，称为对时间的导数，称为角加速度角加速度，以以表示，表示，故有故有它表示单位时间内角速度的变化。它表示单位时间内角速度的变化。3. 角加速度角加速度 其中积分常数其中积分常数0 和和0 是在初瞬时刚体的转角是在初瞬时刚体的转角和角速度角速度之值之值。 t020021tt)(20202 匀变速转动公式匀变速转动公式2-3

13、 定轴转动刚体内各定轴转动刚体内各点的速度和加速度点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度定轴转动刚体内各点的速度定轴转动刚体内各点的加速度定轴转动刚体内各点的加速度刚体内在平行于转轴刚体内在平行于转轴z的任一直线上，各点具有相等的速的任一直线上，各点具有相等的速度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心都在转轴都在转轴z上。上。1 定轴转动刚体内各点的速度定轴转动刚体内各点的速度tRtsdddd 由于点由于点M绕点绕点O作圆周运动，用自然法表示。点作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐弧坐标标 s=R，式中的式中的s和和取相同的

14、正负号。对时间求导数，得取相同的正负号。对时间求导数，得xsyRMOvM0考虑到考虑到tvtsdd ,ddRv 故有定轴转动刚体内故有定轴转动刚体内 M 点的速度点的速度即即定轴转动刚体内任一点的速度定轴转动刚体内任一点的速度，等于等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。该点的转动半径与刚体角速度的乘积。Rv xsyRMOvM0 式中式中v与与两者正负相同，故速度两者正负相同，故速度是沿着点是沿着点M的轨迹圆周的切线，指向转的轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。动前进的一方。 在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的速度与各点的转动在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的速度与各点的转动半径成正比。平面上各点的

15、速度分布如图。半径成正比。平面上各点的速度分布如图。Rv 即即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积径与刚体角加速度的乘积。式中。式中和和at具有相同的正负号具有相同的正负号。tRRttvadd)(ddddtRa t 点点M的加速度包含两部分：的加速度包含两部分：切向分量和法向分量。切向分量和法向分量。或或OaMvanat切向加速度切向加速度2.2.定轴转动刚体内各点的加速度定轴转动刚体内各点的加速度不难看出，当不难看出，当和和正负相同时，切向加速度正负相同时，切向加速度at和速度和速度v有相有相同的指向，这

16、相当于加速转动；当同的指向，这相当于加速转动；当和和正负不相同时，则正负不相同时，则at与与v有相反的指向，这相当于减速转动。有相反的指向，这相当于减速转动。 OaMvanatOaMvanat即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积。法向加速径与刚体角速度平方的乘积。法向加速an恒向轨迹的曲率中恒向轨迹的曲率中心即圆心心即圆心O，因此也称为，因此也称为向心加速度向心加速度。 RRva22n)(2nRa 法向加速度法向加速度OaMvanat或或42222n2tRRaaa42 Ra总加速度总加速度它与半径它与半

17、径MO的夹角的夹角（恒取正值恒取正值）可可按下式求出按下式求出2nttanRRaa2tan或 显然，当刚体作加速转动时，加速度显然，当刚体作加速转动时，加速度a偏向转动前进的一偏向转动前进的一方；当减速转动时，加速度方；当减速转动时，加速度a偏向相反的一方；当匀速转动时偏向相反的一方；当匀速转动时a指向轴心指向轴心O。 OaMvanat 但是，总加速度但是，总加速度a与转与转动半径所成的偏角，却与转动半径所成的偏角，却与转动半径无关，即动半径无关，即在任一瞬时，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速定轴转动刚体内各点的加速度对其转动半径的偏角度对其转动半径的偏角 都都相同相同；平面上各点加速度的

18、；平面上各点加速度的分布如图。分布如图。 , 42 Ra 由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比。速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比。2tan加速度的分布规律加速度的分布规律 例2-2 滑轮的半径滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴可绕水平轴O转动，轮缘上缠有转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体物体A（如图）。已知滑轮绕轴（如图）。已知滑轮绕轴O的转动规律的转动规律=0.15t3 ，其中，其中t以以s计，计， 以以rad

19、计。试求。试求t=2 s时轮缘时轮缘上上M点和物体点和物体A的速度和加速度。的速度和加速度。 OM例题 2-2 首先根据滑轮的转动规律首先根据滑轮的转动规律 =0.15t3 ，求得，求得它的角速度和角加速度它的角速度和角加速度245. 0tt 9 . 0 代入代入 t =2 s， 得得, srad 8 . 112srad 8 . 1轮缘上轮缘上 M 点上在点上在 t =2 s 时的速度为时的速度为 sm 36. 01rvM解：OMOM轮缘上轮缘上 M 点在点在 t =2 s 时的加速度的两个分量时的加速度的两个分量2tsm 36. 0ra22nsm 648. 0ra总加速度总加速度 aM 的大

20、小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2taaaM556. 0 tan229OM 因为物体因为物体A与轮缘上与轮缘上M点的运动不同，前点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体由于细绳不能伸长，物体A与与M点的速度大小点的速度大小相等，相等，A的加速度与的加速度与M点切向加速度的大小也点切向加速度的大小也相等，于是有相等，于是有1sm 36. 0MAvv2tsm 36. 0 aaA它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。 例2-3 图示为一

21、对外啮合的圆柱图示为一对外啮合的圆柱齿轮，分别绕固定轴齿轮，分别绕固定轴O1和和O2转动，两转动，两齿轮的节圆半径分别为齿轮的节圆半径分别为r1和和r2。已知某。已知某瞬时主动轮瞬时主动轮的角速度为的角速度为1 ，角加速，角加速度为度为1，试求该瞬时从动轮，试求该瞬时从动轮 的角速的角速度度2和角加速度和角加速度2 。为简便起见，本。为简便起见，本例的例的1 ， 2 ， 1 ， 2都代表绝对值。都代表绝对值。 O1O2M1M2r2r1例题 2-3O1O2M1M2r2r1,21vv 2t1taa ,2211rr2211rr, 1212rr1212rr1212212112zzrri 齿轮传动可简化

22、为两轮以节圆相切并在切点齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因而两轮的啮合点处无相对滑动，因而两轮的啮合点M1与与M2恒具有恒具有相同的速度与切向加速度。即相同的速度与切向加速度。即或或因而从动轮的角速度和角加速度分别为因而从动轮的角速度和角加速度分别为显然，显然， 2 ，2的转向分别与的转向分别与1 , 1相反。相反。传动比为传动比为解：2-4 用矢积表示刚体上点的用矢积表示刚体上点的速度与加速度速度与加速度 用矢积表示刚体上点的速度用矢积表示刚体上点的速度 用矢积表示刚体上点的加速度用矢积表示刚体上点的加速度用矢量表示角速度与角加速度用矢量表示角速度与角加速度 沿刚体的转轴

23、沿刚体的转轴z画出一个矢画出一个矢量量=k （其中其中k为轴为轴z的单位的单位矢矢），称为刚体的角速度矢称为刚体的角速度矢。角速度矢角速度矢 定轴转动刚体的角速度矢定轴转动刚体的角速度矢被认为是滑动矢量，可以从转被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。轴上的任一点画出。 它的作用线表示出转轴的位它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则以某一比例表示置，而它的模则以某一比例表示出角速度出角速度的绝对值。的绝对值。的指向的指向由右手规定决定。由右手规定决定。1. 用矢量表示角速度与角加速度 同样，可以用矢量同样，可以用矢量=k 表示刚体的角加速度，它也是表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴

24、滑动矢量，沿转轴z画出。它的画出。它的大小表示角加速度的模，它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于指向则决定于的正负。的正负。kktddttddddkk角加速度矢角加速度矢 定轴转动刚体内任一点定轴转动刚体内任一点M的速度的速度v 的大小为的大小为 。由。由于于 ，因而，因而 Rv sinrR 。 sinrRv根 据 矢 积 的 定 义 ， 矢 积根 据 矢 积 的 定 义 ， 矢 积 r 的模也等于的模也等于 ，它的方向也，它的方向也与速度与速度v v的方向一致，故有矢积表达的方向一致，故有矢积表达式式sinrrv 定轴转动刚体内任一点的速度，定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。的矢积来表示。2. 用矢积表示刚体上点的速度 将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点M的加的加速度，而右端的导数为速度，而右端的导数为 vrrrttddddtsinaRrr式中第一个矢积式中第一个矢积r的模为的模为rvO13. 用矢积表示刚体上点的加速度速度的矢积表达式速度的矢积表达式逐项分析逐项分析 这矢积垂直由转轴这矢积垂直由转轴z和转动和转动半径半径O1M决定的平面决定的平面 OO1M