中国石油大学自控原理第5章dxg

1、自动控制原理 第5章频域分析法专业基础课之一专业基础课之一邓晓刚信息与控制工程学院自动化系第第5章章 频域分析法频域分析法n5-1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念n5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性n5-3 开环幅相频率特性分析开环幅相频率特性分析n5-4 奈奎斯特判据奈奎斯特判据n5-5 稳定裕度稳定裕度n5-6 闭环系统频率特性分析闭环系统频率特性分析n研究背景研究背景时域分析时域分析t、复域分析、复域分析s、频域分析、频域分析w wn频域分析法频域分析法应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法域分析法控制系统中的信号可表示为

2、不同频率正弦信号控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成的合成不同频率正弦信号的响应反映了系统性能，根不同频率正弦信号的响应反映了系统性能，根据频率特性分析系统的性能据频率特性分析系统的性能n特点特点(1)具有明确的物理意义，可以用实验方法获得，具有明确的物理意义，可以用实验方法获得，对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义具有重要的实际意义(2)由于频率响应法主要通过开环频率特性的图由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。量少的特点。(

3、3)频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。部分非线性系统的分析。5-1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 一、频率特性的定义一、频率特性的定义1、频率响应、频率响应: 线性系统对正弦输入信号的线性系统对正弦输入信号的稳态响应稳态响应例：例：RC电路如图所示，电路如图所示， 11)(TssGRCT ( )siniu tAtw施加正弦输入施加正弦输入( )?ou t 则输出则输出22sin( )iiAuAtU sswww施加正弦输入施加正弦输入( )1(

4、)1oiUsU sTs2211( )( )11oiAUsU sTsTssww传递函数传递函数输出输出2222( )sin()11tToA TAu tetarctg TTTwwwww假设初始状态为零，由拉氏反变换求方程的解假设初始状态为零，由拉氏反变换求方程的解指数衰减项指数衰减项稳定的正弦输出稳定的正弦输出:频率响应频率响应700.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345线性系统的频率响应：线性系统的频率响应：siniuAtwt22( )sin()1oAu ttarctg TTwww一个稳定的线性定常系统，

5、如果对其输入一个正一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正弦信号，系统的稳态输出弦信号，系统的稳态输出(稳态响应稳态响应)也是同一频率也是同一频率的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。 11)(TssG8ttuisin)(1)输入为输入为相对输入，输出有相位差，幅度不同相对输入，输出有相位差，幅度不同9ttui2sin)(2)输入为输入为输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变10ttui3sin)(3)输入为输入为输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定n2. 频率特性

6、频率特性输入输入：xtXtxwsin)(yttYtywsin)(稳态输出：稳态输出：( )( )yxYAXw w频率特性频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输线性定常系统在正弦输入作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。出的稳态分量与输入的复数比。 幅频特性幅频特性相频特性相频特性频率特性表达式：频率特性表达式： 幅频特性；幅频特性； 相频特性相频特性)()(wwjGA)()(wwjG-实频特性；实频特性； -虚频特性虚频特性)(wP)(wQ复数式：复数式：)()()(wwwjQPjG极坐标式：极坐标式：)()()()()(wwwwwAjGjGjG指数式：指数式：)()()()()(wwww

7、wjjGjeAejGjG)(w)(wA)(wjG)(wP)(wQj)(sin)()()(cos)()(wwwwwwAQAP)()()()()()(122wwwwwwPQtgQPA各表达式之间的关系：各表达式之间的关系：频率特性本质上就是一种数学模型，频率特性本质上就是一种数学模型，那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢？二、频率特性与传递函数的关系二、频率特性与传递函数的关系 ()( )()( )jsjG sG jAe wwww( )YAXw()( )sjG jG sww( )yx w频率特性与传递函数的关系为：频率特性与传递函数的关系为：幅频特性幅频

8、特性相频特性相频特性aG(jw)的相角的相角aG(jw)的幅值的幅值线性系统微分方程频率特性传递函数S=pjw w=sjw w=p时域、复域和频域数学模型之间的关系时域、复域和频域数学模型之间的关系三三 频率特性的几种图示方法频率特性的几种图示方法1、幅相频率特性曲线、幅相频率特性曲线奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist）曲）曲线，或极坐标图线，或极坐标图2、对数频率特性曲线、对数频率特性曲线伯德（伯德（Bode）图）图3、对数幅相特性曲线、对数幅相特性曲线尼柯尔斯（尼柯尔斯（Nichols）曲）曲线线1、幅相频率特性曲线（、幅相频率特性曲线（Nyquist曲线）曲线）:w时，时， 在复平面上的

9、运动轨迹在复平面上的运动轨迹)(wjG简称幅相曲线或极坐标图简称幅相曲线或极坐标图幅频特性、实频特性为幅频特性、实频特性为的偶函数的偶函数相频特性相频特性、虚频特性、虚频特性为为的奇函数的奇函数 幅相曲线关于实轴对称幅相曲线关于实轴对称 一般只做一般只做 时的变化曲线时的变化曲线0:w)()()()()(wwwwwjQPeAjGj2211)(wwTAwwTtg1)(：0w1)(wA0)(w：T1w707. 0)(wA45)(w：w0)(wA90)(w例：绘制例：绘制RC电路的电路的幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线1()1G jjTwwj01( )Aw()G jw0ww)()(1111)(22w

10、wwwwwjQPTjTjTjG幅频特性幅频特性相频特性相频特性2、对数频率特性曲线、对数频率特性曲线 伯德（伯德（Bode）曲线）曲线 坐标系：半对数坐标系坐标系：半对数坐标系对数相频特性曲线对数幅频特性曲线横坐标按横坐标按的对数的对数 线性分度，标以线性分度，标以wlg1210ww110lglglglg1212wwww0.1110十倍频或十倍频程，用符号十倍频或十倍频程，用符号dec表示表示1w2w)(lg20)(wwAL均匀分度，单位分贝，均匀分度，单位分贝，符号符号dB纵坐标纵坐标 以度或弧以度或弧度为单位进行线性分度为单位进行线性分度度纵坐标纵坐标对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线( )

11、w横坐标按照横坐标按照w的对数的对数wlg进行线性刻度进行线性刻度；对数相频特性曲线对数相频特性曲线3、对数幅相特性曲线、对数幅相特性曲线尼柯尔斯（尼柯尔斯（Nichols）曲线）曲线 L(w) dBf(w)将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。常用频率特性曲线比较常用频率特性曲线比较名称名称幅相频率特性曲线对数频率特性曲线 对数幅相特性曲线常用名常用名奈奎斯特图奈奎斯特图伯德图伯德图尼柯尔斯图尼柯尔斯图坐标系坐标系极坐标极坐标半对数坐标半对数坐标对数幅相坐标对数幅相坐标sjjjijjjiesTsTsTssssKsG)

12、12() 1() 12() 1()(2222Ks1s11Ts) 12(22ss) 1(s12122TssTse比例环节比例环节延迟环节延迟环节微分环节微分环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节积分环节积分环节5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、比例环节一、比例环节传递函数：传递函数： ksG)(频率特性：频率特性：kjGw)(1、幅相频率特性、幅相频率特性kAw)(0)(wkPw)(0)(wQ2、对数频率特性、对数频率特性kALlg20)(lg20)(ww0)(w二、积分环节二、积分环节传递函数：传递函数：ssG1)(www11)(jj

13、jG频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性ww1)(A90)(w0)(wPww1)(Q2、对数频率特性、对数频率特性wwwlg201lg20)(L90)(w三、微分环节三、微分环节传递函数：传递函数：ssG)(wwjjG)(频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性ww)(A90)(w0)(wPww)(Q2、对数频率特性、对数频率特性wwlg20)(L90)(w四、惯性环节四、惯性环节传递函数：传递函数： 11)(TssG频率特性：频率特性： 221111)(wwwwTjTjTjG1、幅相频率特性、幅相频率特性2211)(wwTAwwTtg1)(2211)(wwTP221)

14、(wwwTTQ 惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下： wwwTPQ)()(2211PQPPQP22412122QP2、对数频率特性、对数频率特性22221lg2011lg20)(wwwTTLwwTtg1)(采用分段直线（渐近线）近似：采用分段直线（渐近线）近似：即11wwTT0)(wL低频渐近线低频渐近线 ：即11wwTTwwwlg20lg20lg20)(TTL高频渐近线高频渐近线 最大误差：最大误差：dBL32lg20)(wBode Diagram of G(jw)=1/(jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (

15、deg)Magnitude (dB)-25-20-15-10-50100101102-90-450)()(Tarctgwwlog20dBTw)(0 dB最大误差10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差五、一阶微分环节五、一阶微分环节传递函数：传递函数：ssG1)(wwjjG1)( 频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性221)(wwAww1)(tg1)(wPww)(Q2、对数频率特性、对数频率特性 221lg20)(wwLww1)(tg低频渐近线低频渐近线 ：即11ww0)(wL：即11wwwwwlg20lg2

16、0lg20)(L高频渐近线：高频渐近线：Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)051015202510010110204590)()(Tarctgww)(log20dBTw)(0 dB六、振荡环节六、振荡环节传递函数：传递函数： 222222121)(nnnssTssTsGwwwTn1w频率特性：频率特性：wwwwwwwwnnnjTjTjG2211)(222221、幅相频率特性、幅相频率特性 2222222211211)(wwwwwwwnnTTA212211212)(wwwww

17、wwnntgTTtg ：0w1)(wA0)(w ：Tn1www21)(A90)(w ：w0)(wA180)(w 谐振峰值谐振峰值：值较小时幅频特性的极大值值较小时幅频特性的极大值。令令0)(wwddA 得：得：2211wTr谐振频率谐振频率 2202121)(wrrAM谐振峰值谐振峰值 2212121wwrnrAonnA90)(21)(ww0ReG(j)ImG(j)1AB2222)(nnnsssGwww振荡环节2、对数频率特性、对数频率特性 222222221lg2021lg20)(wwwwwwwnnTTL：Tn1ww低频段低频段0)(wL高频段高频段：Tn1wwwwwlg40lg40lg20

18、)(22TTL 221wnw w = r振荡环节振荡环节0dBL()dBw wn21lg20w wr2121lg20(0 0.707)-40 (w wn)= - 90o2nn22nS2S(s)Gw w ww w w 3810-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1七七 二阶微分环节二阶微分环节2)()(21)(nnsssGww2)()(21)(nnjjjGwwwww2222)2()1 ()(nnAwwwww2112)(nntgwwwww)(2)(1)(2nnjjGwwwww2)(1)(nPwww)(2)(nQwww2)(

19、rAwImG(jw)ReG(jw)1onnA90)(2)(ww221221wwrnrA二阶微分环节) 10, 0(12)(22wwwnnnsssG例如，二阶振荡环节的倒数环节是)(1)(12sGsG)()(1lg20)()()(11212wwwwwLAL互为倒数的环节互为倒数的环节互为倒数的两个环节，对数相频和对数幅频特性相反10-1100101-10010203040频 率 rad/sec幅度dB二 阶 微 分 环 节 的 幅 频 特 性40db/dec=0.2=0.4=0.810-1100101-40-30-20-10010频 率 rad/sec幅度dB震 荡 环 节 的 幅 频-40db

20、/dec=0.2=0.4=0.8交 接 频 率二阶微分幅频二阶振荡幅频)()(12wwLL10-1100101-150-100-500频 率 rad/sec角度震 荡 环 节 的 相 频 特 性=0.2=0.4=0.810-1100101050100150频 率 rad/sec角度二 阶 微 分 环 节 的 相 频 特 性=0.2=0.4=0.8二阶微分相频二阶振荡相频)()(12ww八、延迟环节八、延迟环节传递函数：传递函数：sesG)(wwjejG)( 频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性 1)(wAww)( 2、对数频率特性、对数频率特性 0)(wLww)(5-3系统的开环

21、频率特性系统的开环频率特性一一、系统开环幅相频率特性的绘制、系统开环幅相频率特性的绘制开环传递函数：开环传递函数：niisGsG1)()(开环频率特性：开环频率特性：wwniijGjG1)()()1( )injiiAe ww1()1( )niinjiiAe wwwwniiAA1)()(wwnii1)()()( )jAe ww绘制思路：绘制思路：)()()(wwwjQPjG()()( )jG jAe www3）确定趋势和象限确定趋势和象限( ),0, 1, 2kk w 1( )() ,0, 1, 22kk w 绘制步骤：绘制步骤： 1）确定起始点）确定起始点: =0+处的点处的点2）确定终点）确

22、定终点 ： =处的点处的点 4）确定与实轴或虚轴的交点确定与实轴或虚轴的交点实轴交点：令实轴交点：令Q()=0 求得相应求得相应x，再求，再求P(x) 或令或令 求得相应求得相应x，再求再求A(x)虚轴交点：令虚轴交点：令P()=0 求得相应求得相应y，再求，再求Q(y) 或令或令 求得相应求得相应y，再求再求A(y)【例例1】0型系统的开环传递函数为型系统的开环传递函数为 15110)(sssG绘制系统的开环幅相频率特性。绘制系统的开环幅相频率特性。解解： www51110)(jjjG 2231251110)()(wwwwiiAAwwwwww550)()(111131tgtgtgtgii 2

23、222210(1 5)60( ),( )11251125PQwwwwwwww 频率特性频率特性：0w10)(wA0)(w ：w0)(wA180)(w 起点起点终点终点 322110( )( )1125iiAAwwwwwwwwww550)()(111131tgtgtgtgii与虚轴交点：与虚轴交点：令令90)(w得：得：0.447w( )3.727Aw或者令或者令P(w)=0, 求求w 及及Q(w)趋势和象限趋势和象限: :0w0( ): 0180 w 时时三四象限三四象限【例例2】型系统开环传递函数为型系统开环传递函数为 11)(21sTsTsksG绘制系统的开环幅相频率特性。绘制系统的开环幅

24、相频率特性。 解：解： wwww2111)(jTjTjkjG222212111( )11AkTTwwwwwww211190)(TtgTtg 21 2122222222212121( ) ( )1111kTTk TTPQTTTTwwwwwwww开环频率特性开环频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性 1222221221 2222212( ) 111( )11k TTPTTkTTQTTwwwwwwww222212111( )11AkTTwwwwwww211190)(TtgTtg：0ww)(A90)(w起点起点 渐近线计算：渐近线计算：12( )( )Pk TTQww 终点终点：w0)(wA与负实

25、轴的交点：与负实轴的交点：令令 21 22222121 ( )011kTTQTTwwwww得：得：211TTw2121)(TTTkTPw270)(w趋势与象限：趋势与象限：-90o, -270o第第IIIII象限象限总结：总结：开环频率特性开环频率特性 2121122112211)(2)()1(1)(2)()1()()(nllllnjjmkkkkmiijTjTjTjjjjkjGwwwwwwwwnnnmmm21212 2起点：0w 1 0 )(00wwwwkkA2)(0ww 终点：w 0)(wwA2)()(wwmn二二. 系统开环对数频率特性系统开环对数频率特性wwwwniiniiLAAL11)

26、()(lg20)(lg20)(wwnii1)()(系统幅频特性是各环节幅频特性的叠加系统幅频特性是各环节幅频特性的叠加系统相频特性是各环节相频特性的叠加系统相频特性是各环节相频特性的叠加幅频特性幅频特性相频特性相频特性wwniijGjG1)()(wwnijiieA1)()(wwniijniieA1)(1)(【例例3】试绘制系统开环传递函数试绘制系统开环传递函数 11010)(ssG的的Bode图。图。比例环节：比例环节：2010lg20)(1wL0)(1w惯性环节：惯性环节：101w01lg20)(2wL0)(2w解：解：101wwwwlg2020lg2010lg20)(2L90)(2w 1(

27、 )Lw1( ) w2( )Lw2( ) w( )Lw( ) w绘制开环对数幅频特性曲线步骤：绘制开环对数幅频特性曲线步骤： （1）将开环频率特性写成典型环节乘积的形式：）将开环频率特性写成典型环节乘积的形式： 2121122112211)(2)() 1(1)(2)() 1()()(nllllnjjmkkkkmiijTjTjTjjjjKjGwwwwwwww并确定开环放大系数并确定开环放大系数 K、系统的无差度、系统的无差度 和各个转折频率：和各个转折频率： iiw1kkw1jjT1wllT1w将各个转折频率从小到大标注在频率轴上。将各个转折频率从小到大标注在频率轴上。（2）绘制对数幅频特性的低

28、频渐近线）绘制对数幅频特性的低频渐近线wwlg20lg20)(KL斜率：斜率：decdB/20：1wKLlg20)(w（3）从低频渐近线开始，沿着）从低频渐近线开始，沿着w增大的方向，每遇到一个增大的方向，每遇到一个转折频率，改变一次分段直线的斜率：转折频率，改变一次分段直线的斜率：当遇到当遇到一阶微分一阶微分iw时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/20当遇到当遇到二阶微分二阶微分kw时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/40当遇到当遇到惯性环节惯性环节jw时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/20当遇到当遇到振荡环节振荡环节lw时，斜率变化量为时，斜率变化量为dec

29、dB/40依次得到的分段直线即为系统的近似对数幅频特性曲线。依次得到的分段直线即为系统的近似对数幅频特性曲线。 高频渐近线斜率：高频渐近线斜率： decdBmn/)(20截止频率：截止频率： )(wL和和dB0的交点频率的交点频率cw ) 130/)(12() 15 . 0 (40)()(sssssHsG【例例4】绘制如下开环传函的幅频曲线绘制如下开环传函的幅频曲线转折频率：转折频率：0.5 2 30斜率增量：斜率增量：-20 +20 -20（2）dBL521 . 040lg20)(1 . 000wwdBL385 . 040lg20)(5 . 000ww解解： （1）开环放大系数开环放大系数

30、K40，系统型别，系统型别v1，40( )20lg20 lg20lgLKwww低频段渐进线：低频段渐进线：（3）从低频渐近线开始，）从低频渐近线开始，每遇到一个转折频率，改变每遇到一个转折频率，改变 一次分段直线的斜率一次分段直线的斜率0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40-20-40) 1s301)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 低频段低频段：5 .0 w w时为38db转折频率转折频率： 0.5 2 30斜率增量斜率增量： -20 20 -20 斜率斜率: -20 -40 -20 -401 .0 w w时为

31、52db L()曲线曲线52db38db 1wc【例例5】设开环频率特性为设开环频率特性为 )05. 01)(125. 01)(101 ()()1001 (10)(223wwwwwwjjjjjjG试绘制其近似的对数幅频特性曲线。试绘制其近似的对数幅频特性曲线。解：（解：（1）转折频率：）转折频率：01. 01w1 . 02w8125. 013w204w （2）低频渐近线：）低频渐近线：wwlg22010lg20)(3Lwwlg4060)(L（3）绘制曲线）绘制曲线 (4) 截止频率的计算：截止频率的计算： 8 1 . 0 ，wc令令0)(wL得：得：01010010lg20223www-400

32、-20-40-60【例例6 6】已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递定系统的传递函数。函数。解解: (1): (1)由于低频段斜率为由于低频段斜率为- -20dB/20dB/decdec所以有一个积分环节；所以有一个积分环节；(2) (2) 在在w=1w=1处，处，L(w)=15dBL(w)=15dB， 所所以以20lgK=1520lgK=15，K=5.6K=5.6(3) (3) 在在w=2w=2处，斜率由处，斜率由-20dB/-20dB/decdec变为变为-40dB/-40dB/decdec，故有惯性环，故有惯性环节节1/(s

33、/2+1)1/(s/2+1)(4) (4) 在在w=7w=7处，斜率由处，斜率由-40dB/-40dB/decdec变为变为-20dB/-20dB/decdec，故有一阶微，故有一阶微分环节分环节(s/7+1)(s/7+1) 121() 171(6 . 5)(ssssG三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统最小相位系统：最小相位系统： 非最小相位系统：非最小相位系统： 有一个或多个零点位于复平面的右半平面有一个或多个零点位于复平面的右半平面 开环不稳定系统：开环不稳定系统： 有一个或多个极点位于复平面的右半平面有一个或多个极点位于复平面

34、的右半平面 所有开环所有开环零极点零极点都位于复平面的左半平面都位于复平面的左半平面 所有开环所有开环极点极点都位于复平面的左半平面都位于复平面的左半平面 或系统具有延迟环节或系统具有延迟环节 例：2112)(sssG2212)(sssG 22222211lg404lg2014lg20)()(wwwwwwLLwww11122)(tgtgwww11222180)(tgtg90090)0()()(111w27018090)0()()(222w112)(3ssssG 22222131lg404lg2014lg20)()(wwwwwwLL21802180)(11113wwwwwtgtgtgtg9009

35、0)0()()(333w10-210-1100101102-90090180Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-40-30-20-10010Magnitude (dB)-40-20G2G3G1例110)(1ssGsessG5 . 02110)(2110)(wwAwwarctg)(1www5 . 0arctg)(2ReGImG10120-90 在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。是最小的。 任何非最小相位传递函数的

36、相角范围，都大任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围于最小相位传递函数的相角范围 最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系；而对于非最小相位系统不成有唯一的对应关系；而对于非最小相位系统不成立，因为不同的非最小相位系统具有相同的幅频立，因为不同的非最小相位系统具有相同的幅频特性。特性。 结论：结论： 仅由幅频特性曲线不能确定非最小相位系统仅由幅频特性曲线不能确定非最小相位系统的传递函数，但可确定最小相位系统的传递函数的传递函数，但可确定最小相位系统的传递函数另一种定义方式另一种定义方式(不常用）不常用）最小相位系统

37、： 非最小相位系统： 有一个或多个零点或极点位于复平面的右半平面 所有开环零极点零极点都位于复平面的左半平面 或系统具有延迟环节 包含了开环不稳定系统，但不能保证最小相位系统具有最小相角范围的含义！ w wL(w w) dB520.0020.020.21.0w wc0-20-20-40-40-60已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线渐进线已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线渐进线求系统的开环传递函数及截止频率求系统的开环传递函数及截止频率w wc19321932年，奈奎斯特（年，奈奎斯特（NyquistNyquist）提出了频域稳定）提出了频域稳定判据判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据。

38、奈氏判据的本质：奈氏判据的本质：由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性)()(wwjHjG（1）闭环系统特征式）闭环系统特征式)()(1sGsH奈奎斯特稳定判据将开环频率响应奈奎斯特稳定判据将开环频率响应 与与（2 2）右半）右半s s平面内的零点数和极点数平面内的零点数和极点数联系起来联系起来5-4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据的数学基础一、奈奎斯特稳定判据的数学基础1、幅角原理、幅角原理可以证明，对于可以证明，对于 s 平面上给定的一条不通过任何奇点的平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在连续封闭曲线，在 F(s) 平

39、面上必存在一条封闭象曲线平面上必存在一条封闭象曲线与之对应。与之对应。F(s) 平面上的原点被封闭平面上的原点被封闭象象曲线包围的次数和方向，在曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。和方向与系统的稳定性联系起来。nnpspspszszszssF2121)(复变函数复变函数ImRewj平面s平面)(sF00如果如果S平面封闭平面封闭曲线只包围一个零点，曲线只包围一个零点，F(s) 轨迹将顺时针包围原点一次轨迹将顺时针包围原点一次 如果如果S平面封闭曲线既不包围零点又不包围极点，平面封闭

40、曲线既不包围零点又不包围极点， F(s) 轨迹将不包围原点轨迹将不包围原点6(1.52.4)(1.52.4)( )1( ) ( )1(1)(2)(1)(2)sjsjF sH s G sssss 幅角原理：幅角原理： 设设s平面闭合曲线平面闭合曲线G G包围包围F(s)的的Z个零点个零点和和P个极点，则个极点，则s沿沿G G 顺时针运动一周时顺时针运动一周时,在在F(s) 平面平面上，上， F(s)的闭合曲线的闭合曲线G GF 逆时针包围原点的圈数为逆时针包围原点的圈数为 R = P Z R 0 : 逆逆时针包围时针包围F(s)平面坐标原点的圈数平面坐标原点的圈数 R 0db的频率范围内，对数相

41、频特性的频率范围内，对数相频特性 (w w)穿穿越越(2k+1) 线的次数线的次数N = N+ - N-满足满足Z = P 2N = 0注意：型别注意：型别v0时，需要在相频起始段向上补时，需要在相频起始段向上补做做90v的虚直线。补做虚直线的穿越皆为负穿越的虚直线。补做虚直线的穿越皆为负穿越其中其中P为负反馈系统在右半为负反馈系统在右半s平面开环极点的个数平面开环极点的个数【例例5 5】某单位反馈系统开环传递函数那为某单位反馈系统开环传递函数那为)2 . 01)(02. 01 (160)(ssssG试利用试利用BodeBode图判断系统是否稳定。图判断系统是否稳定。解：系统为最小相位系统解：

42、系统为最小相位系统开环系统无右半平面极点，即开环系统无右半平面极点，即0P1N0N2)(2NNR2RPZ闭环系统不稳定临界稳定：幅相曲线穿越临界稳定：幅相曲线穿越(-1,j0)(-1,j0)对于对于最小相位系统，最小相位系统，且且P=0P=0要稳定，必须要稳定，必须Z=P-2N =0=0，即，即N=0.N=0.)0,1(j临界点：临界点：G(jw)曲线过曲线过(-1,j0)点时，点时， G(jw) =1 同时成立！同时成立！ G(jw) = -180o5-5 稳定裕度稳定裕度0j1-1G(jw w) 偏离临界点偏离临界点(-1,j0)(-1,j0)的的程度反应了相对稳定性程度反应了相对稳定性G

43、HGj01j01图图A A图图B B相对稳定性也影响时域指标相对稳定性也影响时域指标假设假设最小相位系统最小相位系统，图，图A A，图图B B哪个更稳定呢？哪个更稳定呢？截止截止频率频率 ：极坐标曲线与单位圆相交所对应的频：极坐标曲线与单位圆相交所对应的频率，亦称剪切频率率，亦称剪切频率cwcccjGAwww1)()(j01cw)(cw再滞后再滞后 )(cw意义：意义：系统就处于临界稳定系统就处于临界稳定为使最小相位系统稳定，相为使最小相位系统稳定，相角角裕度必须为正裕度必须为正,即即0)(180cw180)(wc用负角度计算用负角度计算1、稳定裕度、稳定裕度: 相角裕度相角裕度，幅值裕度幅值

44、裕度相角裕度相角裕度相角穿越频率相角穿越频率 ：极坐标曲线与负实轴交点所对：极坐标曲线与负实轴交点所对应频率。应频率。xw180)()(xxjGww)(1xjGhw幅值稳定裕度幅值稳定裕度j01h1xw意义意义：若系统的开环增益放大：若系统的开环增益放大 倍，则系统处于临界稳定倍，则系统处于临界稳定h要使最小相位系统稳定要使最小相位系统稳定1h1)(xjGhw【例例1 1】 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为3) 1()(sKsG设设K K分别为分别为4 4和和1010，根据，根据NyquistNyquist曲线确定系统稳定裕度曲线确定系统稳定裕度解：开环频率特性为解：开

45、环频率特性为3)1 ()(wwjKjG23)1 ()(2wwKAwwarctg3)(幅频幅频, ,与与K K有关有关相频相频, , 与与K K无关无关23)1 ()(2wwKA1)1)由由180)(xw得得1803xarctgw3xw2)2)当当K=4K=4时时21)31 (4)(23xAwwwarctg3)(2)(1xAhw幅值裕度幅值裕度1 .27233. 13180)(180arctgcw相角裕度为相角裕度为1,0h所以，系统稳定所以，系统稳定j014幅相曲线上与实轴的交点幅相曲线上与实轴的交点0R系统稳定系统稳定5 . 0)(xAw根据幅相曲线根据幅相曲线1)1 (4)(232ccAw

46、w233. 111631cw2)2)当当K=10K=10时时810)31 (10)(23xAw23)1 ()(2wwKA18 . 0)(1xAhw幅值裕度幅值裕度1)1 (10)(232ccAww9 . 1110031cw079 . 13180)(180arctgcw相角裕度为相角裕度为1,0h所以，系统不稳定所以，系统不稳定2)(2NNR系统不稳定系统不稳定j01410幅相曲线上与实轴的交点幅相曲线上与实轴的交点25. 1)(xAw根据幅相曲线根据幅相曲线相角稳定裕度相角稳定裕度)(wLww)(w0090180cw截止频率截止频率: :cw幅频曲线与幅频曲线与0分贝交点所分贝交点所对应频率对

47、应频率)(180cw系统稳定02、对数频率特性曲线对应的稳定裕度、对数频率特性曲线对应的稳定裕度幅值稳定裕度幅值稳定裕度( (增益裕度增益裕度) )(wLww)(w0090180dBhcw穿越频率穿越频率: :xw相频曲线与相频曲线与-180度交点所度交点所对应频率对应频率系统稳定系统稳定0dBhxw)()(log20 xxdBLjGhww意义意义：若系统的开环对数：若系统的开环对数辐频特性再增大辐频特性再增大hdB，则系，则系统处于临界稳定统处于临界稳定由由BodeBode图定义的幅值稳定裕度图定义的幅值稳定裕度0)(lg20 xdBjGhw1)(1xjGhw注意：由注意：由NyquistN

48、yquist曲线和曲线和BodeBode定义的幅值稳定定义的幅值稳定裕度的大小不一样裕度的大小不一样由由NyquistNyquist曲线定义的幅值稳定裕度曲线定义的幅值稳定裕度)(1lg20lg20 xdBjGhhw【例例3 3】 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为) 11 . 0)(1()(sssKsG分别确定分别确定K=5K=5和和K=20K=20时的相角裕度和增益裕度时的相角裕度和增益裕度解：绘制解：绘制BodeBode图，根据图确定系统的相角裕度图，根据图确定系统的相角裕度和增益裕度和增益裕度幅频特性与幅频特性与K K有关有关相频相频特性特性与与K K无关无关-1

49、50-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)K=5K=202 . 3xwdBh65dBh620K K越小，越小，幅值幅值裕度越大，越稳定裕度越大，越稳定-150-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)K=5K=201 . 25cw10202 . 4

50、20cwK K越小，相位裕度越大，越稳定越小，相位裕度越大，越稳定2 . 25cw1255-6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能一、一、低频渐近线与系统稳态误差的关系低频渐近线与系统稳态误差的关系低频段：低频段：第一个转折频率之前的频段。第一个转折频率之前的频段。)(wL开环频率特性曲线开环频率特性曲线 )(wL开环传递函数开环传递函数 稳态误差稳态误差开环频率特性：开环频率特性： 2121122112211)(2)() 1(1)(2)() 1()()(nllllnjjmkkkkmiijTjTjTjjjjKjGwwwwwwww低频渐近线低频渐近线 ：wwlg20lg

51、20)(KL例例1：最小相位系统的：最小相位系统的Bode图如下，求误差系数。图如下，求误差系数。 1411)(ssKsGk解：解：KLlg20)(w低频渐近线低频渐近线 ：将（将（1，10）点代入，得：）点代入，得：10K 误差系数：误差系数：10)(lim0KsGkksp0)(lim0ssGkksv0)(lim20sGskksa 例2最小相位系统的Bode图如下，求误差系数。解： 11101)(ssKsGk wwlg20lg20)(KL低频渐近线 ：将（100，0）点代入，得： 100K)(lim0sGkksp100)(lim0kssGkksv0)(lim20sGskksa 误差系数：二、

52、中频段的斜率与系统稳定性的关系二、中频段的斜率与系统稳定性的关系 中频段： 截止频率cw（或0dB）附近的频段。 )(wL例3设系统的开环传递函数为 21221 11)(TTsTssTksG试分析相角裕度 与系统参数的关系。)(180cw解：ccTtgTtgww2111180180ccTtgTtgww21112111wwwwcctgtg111Tw221Tw（1）如果2ww 、c保持不变，仅随1w的变化而变化：w1w1如果1 T很大，则1w很小，即离cw很远， cctgtgwwww212190（2）如果1ww 、c保持不变，仅随2w的变化而变化：w2如果2 T很小，则2w很大，即离cw很远， w

53、211wwctg1112cctgtgwwww（3）如果 12wwH1111wwwwHtgtgcc(H:中频段的宽度)01wwcdd令 得：21wwwcHtgHtgm111中频段越宽（H越大）相角裕度m越大 系统的相对稳定性越高 三、开环频率特性和系统动态性能的关系三、开环频率特性和系统动态性能的关系 开环频域指标开环频域指标 cw、时域指标时域指标 st、%1、二阶系统、二阶系统)2()(2nnksssGww)2()(2nnkjjjGwwwww（1）与与%的关系的关系2222)(nnAwwwwwntgwww290)(1令令1)(wA 得：得：24214wwnc2412142)(180wtgc%

54、（2）cw、与st的关系 5 5 . 3nstwsntw5 . 3242145 . 3wcst代入24214wwnc 得：2412142tgtg221424wtgtcs7cstw一定，2、高阶系统、高阶系统近似公式：%1001sin14 . 016. 0%903521sin15 . 21sin15 . 12wcst9035 st、%cstw四、四、高频段对系统性能的影响高频段对系统性能的影响高频段：高频段： )(wL曲线在中频段以后（曲线在中频段以后（cww10）的频段。）的频段。 单位负反馈系统单位负反馈系统 ：)(1)()(wwwjGjGjkk高频段高频段 0)(lg20wjGk1)(wj

55、Gk)()(1)()(wwwwjGjGjGjkkk高频段的分贝值越低，说明系统对高频信号的衰减作用越大，高频段的分贝值越低，说明系统对高频信号的衰减作用越大，即系统的抗干扰能力越强。即系统的抗干扰能力越强。五、结论五、结论（1）如果要求具有一阶或二阶无差度，）如果要求具有一阶或二阶无差度， 则则)(wL应具有应具有20dB/dec或或40dB/dec的斜率。的斜率。 特性的低频段特性的低频段为保证系统的稳态精度，低频段应具有较高的分贝数。为保证系统的稳态精度，低频段应具有较高的分贝数。 （2）特性应以特性应以20dB/dec的斜率穿过的斜率穿过0dB线，且具有一定线，且具有一定)(wL的中频段宽度。的中频段宽度。（3）特性应具有尽可能高的截止频率特性应具有尽可能高的截止频率cw，以提高闭环，以提高闭环)(wL系统的快速性。系统的快速性。（4）特性的高频段应有较大的斜率，以增强系统的特性的高频段应有较大的斜率，以增强系统的)(wL抗干扰能力。抗干扰能力。5-7 闭环频率特性分析闭环频率特性分析一一.闭环频率特性曲线绘制闭环频率特性曲线绘制对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系 )(1)()()()(wwwwwjGjGjRjCj对于一般系统的闭环和开环系统频率特性的关系对于一般系统的闭