数学-人教B版-选修2-1-教学设计1：2.2.2椭圆的几何性质- 椭圆的几何性质-第二章 圆锥曲线与方程-教学设计

1、2.2.2椭圆的几何性质 知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题 过程与方法目标椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率，让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新 教学过程一.复习引入椭

2、圆的定义及两种标准方程形式.二.思考分析图中椭圆的标准方程为1(a>b>0)问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y0得x±a，故A1(a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，b)，B2(0，b)问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：xa，a，yb，b问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁三.抽象概括(1)椭圆的简单几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)

3、范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e(0<e<1)(2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆1椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题设P(x，y)为椭圆1(a>b>0)上任意一点

4、，由图形易知当x0时，|OP|取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x±a时，|OP|取得最大值a，这时P位于长轴端点处2椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上3椭圆中的基本关系：焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2b2c2；焦点到长轴邻近顶点的距离为ac(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为ac(常称为远地距离) 四.例题分析及练习例1求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率思路点拨化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相

5、应几何性质精解详析将椭圆方程变形为1，a3，b2，c .椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率e.感悟体会已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等训练题组11若椭圆y21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.B.C. D.【解析】由椭圆方程知长轴长为2a，短轴长为2，2a2×24，a2，c ，e.【答案】A2已知椭圆x2(m3)y2m(m>0)的离心率e，求m

6、的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标【解】椭圆方程可化为1.m>0，m>，即a2m，b2，c .由e得 ，m1.椭圆的标准方程为x21.a1，b，c.椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)；四个顶点分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1(0，)，B2(0，).例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.思路点拨解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.精解详析(1)设椭圆的方程为1(a>b>

7、0)或1(a>b>0)由已知得2a10，a5.e，c4.b2a2c225169.椭圆的标准方程为1或1. (2)依题意可设椭圆方程为1(a>b>0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的标准方程为1. 感悟体会利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数训练题组23已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1【解析

8、】由题意2a12，a6.又e，c2，b2622232，椭圆方程是1.【答案】D4求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x29y236有相同的焦距，且离心率为；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，4)【解】(1)将方程4x29y236化为1，可得椭圆焦距为2c2.又因为离心率e，即，所以a5，从而b2a2c225520.若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为1；若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为1.(2)依题意2a2·2b，即a2b.若椭圆焦点在x轴上，设其方程为1(a>b>0)，则有解得所以标准方程为1.若椭圆焦点在y轴上，设其标准方程为1(a>b>0

9、)，则有解得所以标准方程为1. 例3如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2F1F2，MF1F230°.试求椭圆的离心率思路点拨通过已知条件MF2F1F2，MF1F230°，得到RtMF1F2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a，b，c之间的关系，进而求出椭圆的离心率精解详析设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2F1F2，所以MF1F2为直角三角形又MF1F230°，所以|MF1|2|MF2|，|F1F2|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|MF2|2a，因此|MF1|，|MF2|，2c×，即，即椭圆的离心率

10、是.感悟体会求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：(1)直接求出a和c的值，套用公式e求得离心率；(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆定义以及a2b2c2等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或范围训练题组35已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.【解析】2，|2|.又POBF，即，e.【答案】D6设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P.若F1PF2为

11、等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_【解析】由题意知PF2F1F2，且F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|F1F2|2c，|PF1|·2c，从而2a|PF1|PF2|2c(1)，所以e1.【答案】1五.课堂小结与归纳1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用六.当堂训练1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,1

12、3)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(±13,0)B(0，±10)C(0，±13) D(0，±)【解析】由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，±)【答案】D2若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1【解析】由已知得a9,2c·2a，ca3.又焦点在x轴上，椭圆方程为1.【答案】A3(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30

13、76;的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.【解析】由题意可得|PF2|F1F2|，2(ac)2c，3a4c，e.【答案】C4已知椭圆1的离心率e，则m的值为()A3 B3或C. D.或【解析】由椭圆的标准方程，易知m>0且m5.若0<m<5，则a25，b2m.由1()2，得m3.若m>5，则a2m，b25.由1()2，得m.所以m的值为3或.【答案】B5如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且ac，则椭圆的方程是_【解析】如图所示，cosOF2Acos 60°，即.又ac，a2，c，b2(2)2()

14、29.椭圆的方程是1.【答案】16直线x2y20经过椭圆1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_【解析】由题意知椭圆焦点在x轴上，在直线x2y20中，令y0得c2；令x0得b1.a.e.【答案】7.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率【解】法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2| b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.e21，e.法二：设椭圆方程为1(a>b>0)，则M(c，b)代入椭圆方程，得1，所以，所以，即e.8.如图，已知椭圆1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若F1AB90°，求椭圆的离心