微分方程与差分方程简介

1、第九章第九章 微分方程与差分方程简介微分方程与差分方程简介9.1 9.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义一、微分方程的定义二、微分方程的解二、微分方程的解定义定义 凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数 (或微分或微分) 的的方程称为方程称为微分方程微分方程，未知函未知函未知函数是多元函数的微分方程未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方称做偏微分方本章仅讨论常微分方程本章仅讨论常微分方程,并简称为微分方程并简称为微分方程.一、微分方程的定义一、微分方程的定义有时有时简称为方程简称为方程，数是一元函数的微分方程数是一元函数的微分方程称做常微分方程称做常微分方程，程程.(

2、(1) ) y= kx, k 为常数；例如，下列方程都是微分方程例如，下列方程都是微分方程 ( (其中其中 y, q q 均为未知函数均为未知函数).).( (2) ) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；;113yay ( (4) ).,(0sind22为常数lglgtqqd( (5) )32)(22xyxy( (3) )微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为数，称为微分方程的阶微分方程的阶.例如，方程例如，方程 (1) - (3) 为为通常，通常，n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x, y, y , , y(n

3、) = 0，其中一定含有其中一定含有 y(n).方程方程 (4) - (5) 为二阶微分方程为二阶微分方程.一阶微分方程，一阶微分方程，如果方程如果方程 F(x, y, y , , y(n) = 0中左端函数中左端函数F为为)(,nyyy的线性函数（即一次函数），的线性函数（即一次函数），称该方程为称该方程为n阶阶线性线性(常常)微分方程微分方程,其一般形式为其一般形式为则则).()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn 不是线性微分方程的微分方程不是线性微分方程的微分方程,统称为统称为非线非线性微分方程性微分方程.二、微分方程的解二、微分方程的解定义定义 任何代入微分方程后

4、能使其左右任何代入微分方程后能使其左右两端相等的函数，都叫做该方程的解两端相等的函数，都叫做该方程的解. .用显函数表示方程的解，该解称为方程的用显函数表示方程的解，该解称为方程的显式解显式解； 用隐函数表示方程的解，该解称为方用隐函数表示方程的解，该解称为方程的程的隐式解隐式解； 若微分方程的解中含有任意常数若微分方程的解中含有任意常数C C的个的个数与方程的阶数相同，数与方程的阶数相同， 且这些任意常数是相互且这些任意常数是相互独立的（即不能合并），则称此解为该方程的独立的（即不能合并），则称此解为该方程的通解通解( (或一般解或一般解).). 若再给出若干个条件（称为若再给出若干个条件（

5、称为初始条件初始条件），），以确定通解中的所有任意常数，所得到的解，以确定通解中的所有任意常数，所得到的解，称为微分方程满足初始条件的称为微分方程满足初始条件的特解特解. .例如函数例如函数y = x2 + + C 是微分方程是微分方程 y = 2x 的的通解；通解；而而 y = x2 +3就是方程就是方程 y = 2x 的的再如函数再如函数y =Cex 是微分方程是微分方程的通解；的通解；如果给出初始条件如果给出初始条件yy 的的y(0) = 0 ，可得可得C = 0 ， 从而就得到特解从而就得到特解y=0.特解特解.二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是,|0000yyyyxxx

6、x及或或 y(x0) = y0 与与 y (x0) = y 0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为为初值问题初值问题.求解某初值问题，就是求方程的特解求解某初值问题，就是求方程的特解.)(,|0000yxyyyxx或通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是例例 1 验证函数验证函数 y = 3e x xe x 是方程是方程y + 2y + y = 0 的解的解.解解 求求 y = 3e x xe x 的导数，的导数，y = - 4e x + xe - x, y = 5e x - xe - x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，

7、代入原方程的左边，(5e x - xe - x) + 2(- 4e x + xe - x) + 3e x xe x即函数即函数 y = 3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所给二阶微分方程的解所以该函数是所给二阶微分方程的解.= 0，9.2 9.2 最简单的微分方程最简单的微分方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程二、齐次微分方程二、齐次微分方程如果微分方程可化为如果微分方程可化为形式形式,则该微分方程称为则该微分方程称为可分离变量方程可分离变量方程.( (1) ) 分离变量分离变量该类微分方程可按照下面方法求解：该类微分方程可按照下面方法求解：xxfyygdd)

8、()(dxxfdyyg)()( (2) ) 两边积分两边积分Cxxfyygdd)()(3) 整理后即可得方程通解整理后即可得方程通解.一、可分离变量方程一、可分离变量方程的的例例 1 求方程求方程.1)sin(cos2的通解yxxy解解分离变量，得分离变量，得,)sin(cos12xxxyydd两边积分，得两边积分，得,cossinarcsinCxxy这就是所求微分方程的通解这就是所求微分方程的通解例例 2 求方程求方程.2的通解xyy 解解,2xxyydd两边积分，得两边积分，得21|Cxyee,|ln12Cxy化简得化简得,e1CC记21e,Cxye 2(0)xyCeC则分离变量，得分离变

9、量，得时，当0y 当当y = 0时，时， 原方程是成立的，原方程是成立的，2,.xyCeC是任意常数综上所述原方程的通解是综上所述原方程的通解是QPalog对数的一些运算公式：对数的一些运算公式：QaP xaalogxQPlnlnPQlnQPlnPQln(2)当左边有取对数时，不定常数通常取当左边有取对数时，不定常数通常取lnC ，可以简化计算过程可以简化计算过程.从该道例题可以看出，从该道例题可以看出，（1）有时）有时 将将lny写成写成lny, 将不会影响答案而将不会影响答案而且能简化计算过程；且能简化计算过程；求解过程可简化为：求解过程可简化为：,2xdxydy两边积分，得两边积分，得,

10、lnln2Cxy整理即得通解：整理即得通解：2,xyCe其中其中 C 为任意常数为任意常数.分离变量，得分离变量，得例例 2 求方程求方程.2的通解xyy 例例 3 求方程求方程 dx + + 2xydy = y2dx + + 2ydy 满足满足初始条件初始条件 y(4) =2 的特解的特解.解解将方程整理为将方程整理为.) 1() 1(22xyyxydd分离变量，得分离变量，得,1122xxyyydd两边积分，有两边积分，有.ln) 1ln() 1ln(2Cxy化简，得原方程的通解：化简，得原方程的通解：),1(12xCy即即1) 1(2xCy将初始条件将初始条件 y(4) =2 代入，代入

11、， 得得 C = 1. .故所求特解为故所求特解为, 1) 1(2 xy.2xy 即1) 1(2xCy例例 4 求求解解分离变量，得分离变量，得,)1 (122xxxyyydd两边积分，有两边积分，有Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122即即)ln()1)(1ln(222Cxyx因此因此, ,通解为通解为的通解的通解,以及以及y(1) =2 的特解的特解.)1 (122xxyyy即即,)11(122xxxxyyydd.)1)(1 (222Cxyx.10C于是于是, ,所求的特解为所求的特解为将将y(1) =2 代入通解可得代入通解可得.10)1)(1 (222xyx形如)(xyf

12、y 的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,uxuy从而)(ufuxu解法:二、齐次方程二、齐次方程此类方程可通过变换转化为可分离变量微分方程.)(ufuxuxxuufud)(d两边积分, 得xxuufud)(d积分后再用xy代替u,便得原方程的通解.分离变量，得例例 5 求解微分方程求解微分方程.tanxyxyy解解，令xyu ，则xuy uxuy从而代入方程得，代入方程得，tanduuxuudx1cot ddu uxx积分得，积分得，lnsinlnlnuxCsinuCx代回原变量，即得通解，代回原变量，即得通解，.sinCxxy原方程可写成原方程可写成 解解 2

13、2xxyyy1)(2xyxy例例6 6 2().x yx yy求解方程求解方程代入上式，得代入上式，得, uxy令,xuy 则,uxuy从而12uuuxu1uuux两边积分两边积分 得得以xy代上式中的 u 得 或写成或写成分离变量分离变量 得得 CxuulnlnCuxu lnCyxy ln1uuuxxdxduuu1作业：作业：P371P3713 3 （2 2）（）（3 3）（）（4 4）4 4 （1 1）（）（2 2）知识回顾：知识回顾：（1）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，阶数， 称为称为微分方程的阶微分方程的阶；（2）通解、特解；）通解、特

14、解；（3）可分离变量微分方程的求解：）可分离变量微分方程的求解：分离变量；分离变量； 两边积分；两边积分； 整理即得微分方程的通解整理即得微分方程的通解.(4)(4)形如形如)(xyfy 的方程叫做齐次方程的方程叫做齐次方程 . .令令,xyu ,xuy 则代入原方程得代入原方程得,uxuy从而)(ufuxu解法解法: :下面按照分离变量方程来求解下面按照分离变量方程来求解, ,最后最后回代变量回代变量。9.4 9.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1 1、一阶线性微分方程的概念、一阶线性微分方程的概念2 2、一阶线性齐次方程、一阶线性齐次方程3 3、一阶线性非齐次方程、一阶线性非齐次方程一

15、、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程形如形如)()(xqyxpy的方程称为一阶线性微分方程的方程称为一阶线性微分方程,简称简称一阶线性方程一阶线性方程. “线性线性”是指在方程中含有未知函数是指在方程中含有未知函数y和它的导和它的导数数的一次项，的一次项，的项都是关于的项都是关于y、一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程其中其中q(x)称为称为自由项自由项.yy1 1、一阶线性微分方程的概念、一阶线性微分方程的概念称为一阶线性齐次微分方程称为一阶线性齐次微分方程, ,简称简称线性齐次方程线性齐次方程， 0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐为一阶线性非齐次微分方程，简称次微分方程，简称线性

16、非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程., 0)(yxpy若若 q (x)若若 q (x) 0，则方程成为，则方程成为一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程0)(yxpy是可分离变量方程是可分离变量方程.,)(xxpyydd两边积分，得两边积分，得,ln)(lnCdxxpy所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为.)(xxpCyde分离变量，得分离变量，得2 2、 一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程对比发现只差自由项不同，对比发现只差自由项不同，)()(xqyxpyxxpCyde)(已知一阶线性齐次方程已知一阶线性齐次方程0)(yxp

17、y的通解公式为的通解公式为因此猜想将齐次因此猜想将齐次方程通解中的方程通解中的C改为函数改为函数u(x),xxpxuyde)()(即3 3、一阶线性非齐次方程、一阶线性非齐次方程),()(xqyxpy)()()(xuxuxxpde代入将y)()(xxpxuyde由于xxpde)()(xpyxpxuxxp)()()(de)()()(xqxuxxpdexxpxqxude)()()(Cdxxqxuxxpde)()()()()()(Cdxxqyxxpxxpddee这就是一阶线性非齐次方程这就是一阶线性非齐次方程)()(xqyxpyCdxxqxuxxpde)()()(xxpxuyde)()(代入的通解。

18、的通解。上述讨论中所用的方法，是将常数上述讨论中所用的方法，是将常数C变为变为待定待定再通过确定再通过确定u(x) 而求得方程而求得方程的通解，这样的方法称为的通解，这样的方法称为常数变易法常数变易法.函数函数 u(x)，例例 1 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy 这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程为这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程为dxdyy211设所给线性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为,)(2xxuye

19、021yyCxyln21lnxCey21将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得xxxuee21)(2于是，有于是，有xxuxde221)(因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为2)(xxuye221)(xxue,2Cx e22)(xxC ee .2xxCee 解法解法二二 将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,2121xyye则)()()(Cdxxqyxxpxxpddee例例 1 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.,21)(xp,e21)(xxq则原方程的通解为则原方程的通解为)()()(Cdxxqyxxpxxpddee21)21()21(

20、Cdxexxxddee)21(22Cdxexxxee)21(22Cdxxxee)(22Cxxee.2xxCee 例例 2 求解初值问题：求解初值问题：. 1)(,cos yxyyx解解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,cos1xxyxy则则,cos)(xxxq,1)(xxp因此，所给线性非齐次方程的通解为因此，所给线性非齐次方程的通解为)()()(Cdxxqyxxpxxpddee)cos(11Cdxxxxxxxddee)cos(lnlnCdxxxxxee)cos(1Cxdxxxx).(sin1Cxx)(sin1Cxxy将初始条件 y() = 1 代入，).(sin1xxy所以，所求的特解为得 C = ，例例 3求方程求方程 x2dy + (y - - 2xy - - x2)dx = 0 的通解的通解.解解将原方程改写为22)21 (xyxyx则,21)(2xxxpq(x) = 1., 1212yxxy代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有)(222121Cxxxxxxxdeedd)()()(Cdxxqyxxpxxpddee)21(