基本不等式完整新版(非常全面)

1、1 1 / / 8 8基本不等式专题辅导一、知识点总结1 1、基本不等式原始形式（1 1）若a,b三R，则a2b2_2ab2以（2 2）若a, b R，则 abab 乞a2 22 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b R，则a b _2 ab3 3、基本不等式的两个重要变形（1） 若a, b R,则-_bab2（2 2）若a,b R*，则ab：a b飞 2丿总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式_ 21 1、设a,b均为正数，证明不等式：.a

2、b 一11+-a b2 2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2ab bc ca4 4、 求最值的条件：“一正，二定，三相等”5 5、常用结论1（1 1）若x A0， 贝 yX +兰2（当且仅当x =1时取“= =”）X1（2 2）若x 0 0，则X2（当且仅当x=1时取“= =”）X（3 3）若ab 0，则b_2（当且仅当a = b时取“= =”）b b a a2 2（4 4）若a,b R，则 abab 乞（口）2乞旦匚2 22 2（5 5）若a,bR*，则丄仝玩兰吐轧 4丄 + +1 12 2 V V 2 2a a b b特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“= =”

3、6 6、柯西不等式（1 1）若a,b,c,d R，则（a2b2（c2d2） -（ac bd ）23 3、已知a b c = 1，求证：a2b2c -34 4、已知a,b, R，且a b 1，求证：(1_a)(1 _b)(1 _c) _8a b c（2 2）若耳耳,比匕也R，则有:（aj a22a32）（1d2b?2R2）_（曲a?b2%b3）2（3 3）设aa?,a*与 b,b2, ,bn是两组实数，则有(a；+a2? + +a：) (b；+b22+b；)兰(a +a2b2+and)25 5、已知a,b, c R，且a b c = 1，2 2 / / 8 8题型三：利用不等式求最值（一）（凑项

4、）41 1、已知x 2，求函数y=2x-4的最小值;2x 47 7、（ 2013 年江苏卷（数学）选修 4 4 5 5 :不等式选讲已知a _b 0，求证: :2a3b3_ 2ab2-a2b6 6、（ 2013 年新课 标H卷数学（理）选修 4 4 5 5 :不等式选 讲设a,b,c均为正数,且a b c = 1, ,证明：1( (i)ab bc ca；( (32 , 2 2a b c , n)-_1._1.b c a题型二：利用不等式求函数值域1 1、求下列函数的值域21(1 1)y = 3x22x2(2 2)y = x(4 -x)1(3 3)y = x(x 0)x(4 4)1y = x(x

5、： ：0)x变式 1 1： 已知x 2，求函数y二2x42x 4的最小值;变式 2 2:已知x：2, 求函数y = 2x42x - 4的最大值;3 3 / / 8 8变式 1 1 当S：时，求y =4x（8 -2x）的最大值;变式：求函数 y y = = . . 4x4x 3 3 亠，1111 - -4x4x（3 3 ；：；： X X ：1 1）的最大值;4 44 43变式 2 2：设0：x，求函数y =4x（32x）的最大值。5A练习：1 1 已知 X X ,求函数 y y =4x=4x _2_2 I I 的最小值;44x4x -5-52 2、若0：x：2，求y =、x（6 - 3x）的最大

6、值;5A2 2、已知X，求函数 y y = =4x4x_ _2 2 - 的最大值;44x4x5 5变式：若0：x：4，求y =x （8 -2x）的最大值;题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1 1、当i： 一时，求y =x（8 -2x）的最大值；3、求函数y= 2x-1亠. 5 - 2x（：: x：:总）的最大值;2 24 4 / / 8 8变式 5 5：1 1（4 4 1 1）若x, y 0且2x，y，求的最小值；x y（2 2）若a,b, x, y R且三垃二仁求x，y的最小值;x x y y变式1：已知a,b 0,a22，求t =11的最小值;a b4 8变式 2 2：已知x,y 0

7、,1，求xy的最小值;x y题型五：巧用“1”的代换求最值问题1 11 1、已知a, b . 0, a 2b = 1，求t= 的最小值;a b法一：19变式 4 4：已知x, y 0，且4，求x y的最小值;x y5 5 / / 8 8变式 6 6：已知正项等比数列满足：a a62a5，若-14存在两项am, an，使得.aman= 4a1，求的最小值；m n6 6 / / 8 8题型六：分离换元法求最值（了解）x?+7x +101 1、求函数y（x = -1）的值域;x +1题型七：基本不等式的综合应用ab1、已知log2a log2b _ 1，求39的最小值变式:求函数x28x -1（x

8、1）的值域;2 2、（ 20092009 天津）已知a,b .0,求1J2 2、abab 的最小值;a a b bx 22、求函数亍的最大值;（提示： 换元法）变式 1 1： （20102010 四川）如果a b 0，求关于a,b的表达21 1式a的最小值；ab a（a-b）.x亠1变式：求函数汁廿的最大值;变式 2 2： （20122012 湖北武汉诊断）已知，当a .0,a = 1时， 函数y =loga（x-1）1的图像恒过定点A，若点A在直线mx - y n =0上，求4m- 2n的最小值；7 7 / / 8 84 4、（ 2013 年山东（理）设正实数x,y,z满足x2- 3xy -

9、 4y2-z =0，则当空取得最大值z2 1 2时，的最大值为（）x y z9A A.0B B.1C C.D D 34（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）变式 1 1:已知a,b . 0,满足ab = a b 3，求ab范围;变式 3 3: （20112011 浙江）已知x, y 0,x2y2x1,变式 2 2： （20102010 山东）已知x, y 0,1_l_ 12 x 2 y一3求xy最大值；（提示：通分或三角换元）2变式：设x, y, z是正数，满足x-2y，3z = 0,求的xz最小值；3 3、已知x, y 0,x 2y 2xy =8，求x 2y最小值;8 8 / /

10、8 8求xy最大值；9 9 / / 8 8题型九：利用柯西不等式求最值1 1、二维柯西不等式a b（a,b,c,dR,当且仅当；即 ad 二 be 时等号成立）c d若a,b,c,d R，则（a2b2）（c2d2） _ （ac bd）22 2、二维形式的柯西不等式的变式（1）Ja2+b2%：c2+d2纠 ac+bda b（a,b,c, d R,当且仅当；即 ad 二 be 时等号成立）c d（2）. a2b2. c2d2亠 ac bda b（a,b,c,dR,当且仅当；即 ad 二 be 时等号成立）c d3 3、二维形式的柯西不等式的向量形式ap|a|pap|a|p（当且仅当7 或存在实数

11、k,使 ak 时,等号成立）4 4、三维柯西不等式若ai,a2,a3,b1,b2,b R，则有：(訂a22a32)(1d2b22b32)一a?b2asbs)2（a,bR,当且仅当色二邑二旦时等号成立）b b2 d5 5、一般n维柯西不等式设*2, ,an与 db,bn是两组实数，则有: :2 2 22 2 2 2（印 a a2 a an）（b,戈mg） Gb, azdmabn）（aR,当且仅当引吕bi b2詈时等号成立）题型八：利用基本不等式求参数范围1 a1 1、（ 20122012 沈阳检测）已知x,y .0,且（x y）（）_9x y恒成立，求正实数a的最小值；11 n2 2、已知x y

12、 z 0 0 且恒成立,x_y y_z x_z如果n N，求n的最大值；（参考：4 4）（提示：分离参数，换元法）I- |- 2(3)(a b)(c d) _ (. ac . bd )（a,b,c,d 一 0,当且仅当a b；即ad=bc时等号成立）14变式：已知a, b - 0满则一 一=2，若a b亠c恒成立,a b求c的取值范围；1010 / / 8 8题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1 1、设x,y,z R，若x2y2z24，则x - 2y 2z的最小值为 _ 时，（x, y,z）二 _4 4、（2013 年湖南卷（理）已知a, b, c三，a 2b 3 6,则a24b29c2的最小值是（Ans:12）析：(x-2y 2z)2乞(x2y2z2)12(2)222=4 9 = 36 x _2y 2z最小值为-62 2、设x, y, z R,2x - y -2z =6，求x2y2z2的最5、( 2013 年湖北卷(理)设x,y,z R, ,且满足：x2y2z2= 1, ,x 2 y 3z = . 14, ,求x y z的值；小值m，并求此时x, y, z之值。424m=4；(x,y,z)=(333)3 3、设x, y, z R,2x -3y z = 3，求x2(y -1)2z2之最小值为_ ，此